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全等三角形讲义-朱



§4.3

探索三角形全等的条件

【学习目标导航】 1、掌握三角形全等的“边边边” “角边角” “角角边” “边角边”的条件,了解三角形的稳定 性 2、在探究三角形全等的条件及应用的过程中,能有条理地思考并进行简单的推理 【相关知识衔接】 1、全等三角形,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2、全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等 【教材内容全解】 知识点 1 判定三角形全等条件:边边边 (1)要画一个三角形和△ABC 全等,只给一个条件(边或角) 或两个条件时,(能,不能)保证所画出的三角形一定全等; (2)给出三个条件画三角形有种可能,分别是,其中已知三个内角,可以画个形状相同,大小不 一的三角形. (3)给出三边长画三角形,它们都能够全等吗?. (4)结论:三边分别相等的两个三角形,简写为“”或“”. 【学习过程】 1、如图,在四边形 ABCD 中,AD=BC, AB=CD,说明: △ABC≌△CDA. 如图, 在△ABC 和△CDA 中



图 19.2.15

∴△ABC≌△CDA

2.如图, CD=AB,CE=DF,AE=BF,那么 AE∥BF 吗?说明你的理由. 解:AE∥BF,理由: ∵ CD=AB( ) ∴AD-CD=AD-(等式的基本性质 1)即 AC= 在△ACE 与△BDF 中,

E

F

) ?AE ? BF( ? A B C ∵ ?CE = DF( ) ? AC ? BD(已证)    ? ∴△ACE≌△BDF( ) ∴∠EAC=∠FBD( ) ∴ AE∥BF ( ) 3.如图,在△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点,AD 平分∠BAC 吗?AD⊥BC 吗?说说你的理由.
A

D

B

D

C

知识点 2 判定三角形全等条件:角边角 (1)画一个三角形使得两个内角分别是 60°和 80°,它们所夹的边长为 2cm,你能画出这个三

角形吗?与你的同伴进行交流,你们得到的三角形全等吗? (2)结论:两角及分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“” . 知识点 3 判定三角形全等条件:角角边 (1)画一个三角形使得两个内角分别是 60°和 80°,且 60°角的对边长为 2cm,你能画出这个 三角形吗?与你的同伴进行交流,你们得到的三角形全等吗? (2)结论:对应相等且其中一组等角的相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”. 【学习过程】 1.如图,AB 与 CD 相交于点 O,O 是 AB 中点,∠B=∠A,△AOC 与△BOD 全等吗?为什么? 解: △AOC 与△BOD 全等,理由如下: C ∵O 是 AB 中点 ( ) ∴AO= ( ) B 在△AOC 与△BOD 中, A O

( ??A ? ?B ? ∵ AO ? ____ ( ? ??AOC ? ? ____( ?
∴△AOC≌△BOD (

) ) )   

A

D

2.如图,∠B=∠C,AB=AC,你可以找出几对全等三角形?请说明理由.
D E

F B CBD⊥l, CE 3.如图,△ABC 中,AB=AC, ∠BAC=90°,直线 l 过点 A 且在△ABC 的外部 .过点 B,C 作 ⊥l,垂足分别为 D,E. (1) 找出图中的全等三角形,并予以说明; (2) 探索线段 BD,CE,DE 间的数量关系 D

A

E

l

知识点 4

判定三角形全等条件:边角边

B

C

(1)画一个三角形使得两条边分别是 2cm 和 3cm,它们所夹的角为 40°,你能画出这个三角形 吗?与你的同伴进行交流,你们得到的三角形全等吗? (2)结论:两边及分别相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“” . (3)画一个三角形使得两条边分别是 2cm 和 3cm,且 3cm 的边所对的角为 40°,你能画出这个 三角形吗?与你的同伴进行交流,你们得到的三角形全等吗? (4)两边及一边的对角分别相等的两个三角形(一定,不一定)全等. 【学习过程】 1.如图,AB∥CD, AB=CD,那么 AD∥BC 吗?说明你的理由. 解:AD∥BC,理由: ∵AB∥CD( ∴∠BAC=∠DCA( 在△ABC 与△CDA 中, ) )

A

D

B

C

? AC ? CA( ? ∵??BAC ? ?DCA( ? AB ? CD  ( ?
∴△ABC≌△CDA ( ∴∠BCA=∠DAC ( ∴ AD∥BC(

) ) ) 
) ) )
A E C B D

2.如图, AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE,那么∠B=∠D 吗?请说明理由.

3.如图, AD=AC,∠CAB=∠DAB,△ACE 与△ADE 全等吗?△BCE 与△BDE 全等吗?

【能力提升】 (1)如图,直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC= 90 , l 是 AD 的垂直平分线, 交 AD 于点 M,以腰 AB 为边做正方形 ABFE,EP⊥ l 于点 P. 求证:2EP+AD=2CD.
?

(2)如图,在直角梯形 ABCD 中,∠ABC= 90 ,AD∥BC,AB=AC,E 是 AB 的中点, CE⊥BD. ①求证:BE=AD ; ②求证:AC 是线段 ED 的垂直平分线; ③△ BCD 是等腰三角形吗?请说明理由.

?

附加思考题: (此题有很好地思维训练价值,值得深入思考探究) 以 ?ABC 的 两 边 AB 、 AC 为 腰 分 别 向 外 作 等 腰 Rt?ABD 和 等 腰 Rt?ACE , ?BAD ? ?CAE ? 90? .连接 DE , M 、 N 分别是 BC 、 DE 的中点.探究: AM 与 DE 的位置 关系及数量关系. ⑴如图① 当 ?ABC 为直角三角形时, AM 与 DE 的位置关系是;线段 AM 与 DE 的数量关 系是; ⑵将图①中的等腰 Rt?ABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转 ? ? ( 0 ? ? ? 90 )后, 如图②所示, ⑴问 中得到的两个结论是否发生改变?并说明理由.



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