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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):4.1平面向量的概念及其线性运算



课时跟踪检测(二十六) 平面向量的概念及其线性运算

1.下列等式:①0-a=-a;②-(-a)=a;③a+(-a)=0;④a+0=a;⑤a-b=a +(-b).正确的个数是( A.2 C.4 2.若 a+b+c=0,则 a,b,c( ) ) B.3 D.5

A.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 B.一定不可能构成三角形 C.都是非

零向量时能构成三角形 D.一定可构成三角形

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | BC | 3. (2012· 威海质检)已知平面上不共线的四点 O, B, A, C.若 OA +2 OC =3 OB , ??? 则 ? | AB |
的值为( 1 A. 2 1 C. 4 ) 1 B. 3 1 D. 6

4. (2012· 潍坊模拟)在四边形 ABCD 中,AB = DC , AB |=| BC |, 且| 那么四边形 ABCD 为( ) A.平行四边形 C.长方形 B.菱形 D.正方形

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5.(2012· 海淀期末)如图,正方形 ABCD 中,点 E 是 DC 的中点,点 F 是 BC 的一个三等分点(靠近 B),那么 EF =(

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)

? ? 1 ??? 1 ??? A. AB - AD 2 3 ? ? 1 ??? 1 ??? B. AB + AD 4 2 ? ? 1 ??? 1 ??? C. AB + DA 3 2

? ? 1 ??? 2 ??? D. AB - AD 2 3
6.(2012· 揭阳模拟)已知点 O 为△ABC 外接圆的圆心,且 OA + OB + CO =0,则△ ABC 的内角 A 等于( A.30° C.90° ) B.60° D.120°

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7. (2012· 郑州五校联考)设点 M 是线段 BC 的中点, A 在直线 BC 外,BC 2=16, AB 点 | + AC |=| AB - AC |,则| AM |=________. 8.(2012· 大庆模拟)已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点,且向量 OA ,OB ,OC ,

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??? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? OD 满足等式 OA + OC = OB + OD ,则四边形 ABCD 的形状为________. ??? ? ??? ? ??? ? 9.设向量 e1,e2 不共线, AB =3(e1+e2), CB =e2-e1, CD =2e1+e2,给出下列结
论:①A,B,C 共线;②A,B,D 共线;③B,C,D 共线;④A,C,D 共线,其中所有正 确结论的序号为________. 10.设 i,j 分别是平面直角坐标系 Ox,Oy 正方向上的单位向量,且 OA =-2i+mj,

??? ?

??? ? ??? ? OB =n i+j, OC =5i-j,若点 A,B,C 在同一条直线上,且 m=2n,求实数 m,n 的值.

11 设 e1,e2 是两个不共线向量,已知 AB =2e1-8e2,

??? ?

??? ? ??? ? CB =e1+3e2, CD =2e1-e2.
(1)求证:A,B,D 三点共线; (2)若 BF =3e1-ke2,且 B,D,F 三点共线,求 k 的值.

??? ?

12.如图所示,在△ABC 中,D,F 分别是 BC,AC 的中点, AE =

??? ?

??? ? ? ??? ? 2 ??? AD , AB =a, AC =b. 3
(1)用 a,b 表示向量 AD , AE , AF , BE , BF ; (2)求证:B,E,F 三点共线.

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??? ?

????

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a b 1.已知向量 p= + ,其中 a,b 均为非零向量,则|p|的取值范围是( |a| |b| A.[0, 2 ] C.(0,2] B.[0,1] D.[0,2]

)

2.(2012· 吉林四平质检)若点 M 是△ABC 所在平面内的一点,且满足 5 AM = AB + 3 AC ,则△ABM 与△ABC 的面积比为( 1 A. 5 3 C. 5

???? ?

??? ?

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) 2 B. 5 4 D. 5

3.已知 O,A,B 三点不共线,且 OP =m OA +n OB ,(m,n∈R). (1)若 m+n=1,求证:A,P,B 三点共线; (2)若 A,P,B 三点共线,求证:m+n=1.

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课时跟踪检测(二十六) A级 1.选 C a+(-a)=0,故③错. 2.选 A 当 a,b,c 为非零向量且不共线时可构成三角形,而当 a,b,c 为非零向量 共线时不能构成三角形.

3.选 A 由 OA →+2 OC =3 OB ,得 OA - OB =2 OB -2 OC ,即 BA =2 CB ,

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| BC | 1 ? 所以 ??? = . | AB | 2 4.选 B 由 AB = DC ,且| AB |=| BC |知四边形 ABCD 为平行四边形且邻边相等, ∴四边形 ABCD 为菱形.

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??? ?

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? ??? ? ??? 1 ???? ? ??? ? ??? 5. D 在△CEF 中, EF = EC + CF , 选 有 因为点 E 为 DC 的中点, 所以 EC = DC . 2
因为点 F 为 BC 的一个三等分点,

??? 2 ??? ? ? ? ??? 1 ???? 2 ??? 1 ??? 2 ??? 1 ??? 2 ??? ? ? ? ? ? 所以 CF = CB .所以 EF = DC + CB = AB + DA = AB - AD . 3 2 3 2 3 2 3
6.选 A 由 OA + OB + CO =0 得 OA + OB = OC ,由 O 为△ABC 外接圆的圆心, 结合向量加法的几何意义知四边形 OACB 为菱形,且∠CAO=60° ,故 A=30° . 7.解析:由| AB + AB |=| AB - AC |可知, AB ⊥ AC ,则 AM 为 Rt△ABC 斜边

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? ???? 1 ??? ? BC 上的中线,因此,| AM |= | BC |=2. 2
答案:2 8.解析:∵ OA + OC = OB + OD , ∴ OA - OB = OD - OC , ∴ BA = CD .∴四边形 ABCD 为平行四边形. 答案:平行四边形 9.解析:由 AC = AB - CB =4e1+2e2=2 CD ,且 AB 与 CB 不共线,可得 A,C, D 共线,且 B 不在此直线上. 答案:④ 10.解: AB = OB - OA =(n+2)i+(1-m)j,

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??? ??? ??? ? ? ? BC = OC - OB =(5-n)i-2j.
∵点 A,B,C 在同一条直线上, ∴ AB ∥ BC ,即 AB =λ BC . ∴(n+2)i+(1-m)j=λ[(5-n)i-2j].

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?n+2=λ?5-n?, ? ∴?1-m=-2λ, ?m=2n, ? ?m=3, ? 或? 3 ? ?n=2.

? ?m=6, 解得? ?n=3 ?

11.解:(1)证明:由已知得 BD = CD - CB =(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2, ∵ AB =2e1-8e2,∴ AB =2 BD , 又∵AB 与 BD 有公共点 B,∴A,B,D 三点共线. (2)由(1)可知 BD =e1-4e2, 且 BF =3e1-ke2, ∵B,D,F 三点共线,得 BF =λ BD , 即 3e1-ke2=λe1-4λe2,
?λ=3, ? 得? 解得 k=12, ? ?-k=-4λ,

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∴k=12. 12.解:(1)延长 AD 到 G,

??? 1 ???? ? 使 AD = AG , 2
连接 BG,CG,得到?ABGC, 所以 AG =a+b,

????

??? 1 ???? 1 ? AD =2 AG =2(a+b), ??? 2 ??? 1 ? ? AE =3 AD =3(a+b),
? ???? 1 ??? 1 AF =2 AC =2b,

??? ??? ? ? ??? 1 ? 1 BE = AE - AB =3(a+b)-a=3(b-2a),
??? ? ???? ??? 1 ? 1 BF = AF - AB =2b-a=2(b-2a).

??? 2 ??? ? ? (2)证明:由(1)可知 BE = BF ,又因为 3 ??? ??? ? ? BE , BF 有公共点 B,
所以 B,E,F 三点共线. B级 1.选 D 由已知向量 p 是两个单位向量的和,当这两个单位向量同向时,|p|max=2,当 这两个单位向量反向时,|p|min=0. 2.选 C 设 AB 的中点为 D, 由 5 AM = AB +3 AC , 得 3 AM -3 AC =2 AD -2 AM ,

???? ? ???? ?

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??? ?

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即 3 CM =2 MD ,如图所示,

????

????

? ???? 3 ??? 故 C,M,D 三点共线,且 MD = CD ,也就是△ABM 与△ABC 对于边 AB 的两高之 5
3 3 比为 ,则△ABM 与△ABC 的面积比为 . 5 5 3.证明:(1)∵m,n∈R,且 m+n=1, ∴ OP =m OA +n OB =m OA +(1-m) OB , ∴ OP - OB =m( OA - OB ). ∴ BP =m BA ,而 BA― →≠0,且 m∈R. ∴ BP 与 BA 共线, 又 BP , BA 有公共点 B. ∴A,P,B 三点共线. (2)∵A,P,B 三点共线,∴ BP 与 BA 共线,∴存在实数 λ,使 BP =λ BA , ∴ OP - OB =λ( OA - OB ). ∴ OP =λ OA +(1-λ) OB . 又∵ OP =m OA +n OB , ∴m OA +n OB =λ OA +(1-λ) OB . 又∵O,A,B 不共线,∴ OA , OB 不共线.
?m=λ, ? 由平面向量基本定理得? ? ?n=1-λ.

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∴m+n=1.



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