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2015届高三数学一轮复习 两条直线的位置关系提分训练题



两条直线的位置关系
一、选择题 1.直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y +4=0 垂直,则 l 的方程是( A.3x+2y-1=0 C.3x+2y+7=0 B.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0 ).

3 解析 由直线 l 与直线 2x-3y+4=0 垂直,可知直线 l 的斜率是- ,由点斜式可得直线 l 2 3 的方程为 y-2=- (x+1),即 3x+2y-1=0. 2 答案 A 2.m=-1 是直线 mx+(2m-1)y+1=0 和直线 3x+my+2=0 垂直的( A.充分不必要条件 C.充要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 由两直线垂直?3m+m(2m-1)=0?m=0 或-1,所以 m=-1 是两直线垂直的充分不 必要条件. 答案 A 3.直线 l:4x+3y-2=0 关于点 A(1,1)对称的直线方程为( A.4x+3y-4=0 C.4x-3y-4=0 解析 在对称直线上任取一点 P(x,y), 则点 P 关于点 A 对称的点 P′(x′,y′)必在直线 l 上.
?x′+x=2, ? 由? ?y′+y=2, ?

)

B.4x+3y-12=0 D.4x-3y-12=0

得 P′(2-x,2-y),

∴4(2-x)+3(2 -y)-2=0,即 4x+3y-12=0. 答案 B 4.过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( A.x+2y-5=0 C.x+3y-7=0 ). B.2x+y-4=0 D.3x+y-5=0

1 解析 所求直线过点 A 且与 OA 垂直时满足条件,此时 kOA=2,故求直线的斜率为- ,所以 2 1 直线方程为 y-2=- (x-1),即 x+2y-5=0. 2 答案 A 5.已知点 A(1,-2),B(m,2),且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x+2y-2=0,则实数 m 的值是( ).
1

A.-2

B.-7

C.3

D.1

解析 由已知条件可知线段 AB 的中点? 线方程,解得 m=3. 答案 C

?1+m,0?在直线 x+2y-2=0 上, 把中点坐标代入直 ? ? 2 ?

6. 直线 x ? ay ? 1 ? 0 与直线 (a ? 1) x ? 2 y ? 3 ? 0 互相垂直,则 a 的值为( A.-2 B.-1 C.1 D.2



解析 因为两直线垂直,所以 a ? 1 ? 2a ? 0 ,解得 a ? 1 ,故选 C. 答案 C 7.若曲线 y=2x-x 在横坐标为-1 的点处的切线为 l,则点 P(3,2)到直线 l 的距离为 ( ). 9 2 B. 2 11 2 C. 2 9 10 D. 10
2 3

7 2 A. 2

解析 由题意得切点坐标为(-1,-1).切线斜率为 k=y′|x=-1=2-3×(-1) =-1,故 切线 l 的方程为 y-(-1)=-1[x-(-1)],整理得 x+y+2=0, 由点到直线的距离公式 |3+2+2| 7 2 得:点 P(3,2)到直线 l 的距离为 = . 2 2 2 1 +1 答案 A 二、填空题 8. 若直线与直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与直线 2 x ? my ? 6 ? 0 互相垂直,则实数=___ 析 k1 ? 答案 1 9. 已 知 直 线 l1 : (k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0 与 l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0 平 行 , 则 k 的 值 是 ________. 解析 因为两直线平行,所以当 k ? 3 时,成立;当 k ? 3 时, k ? 4 ? 1 ,解得 k ? 5 . 答案 3 或 5 1 1 10.已知 + =1(a>0,b>0),点(0,b)到直线 x-2y-a=0 的距离的最小值为________. ____.解

1 2 1 2 , k2 ? ? , 直线互相垂直,? k1 ? k2 ? ?1 ,即 ? (? ) ? ?1,? m ? 1 . 2 m 2 m

a b

解析 点(0, b)到直线 x-2y-a=0 的距离为 d= 1

a+2b
5



1

?1 1? 1 ? 2b a? (a+2b)? + ?= ?3+ + ? a b? ?a b? 5 5?



3 5+2 10 2+ 2 2 2 ( 3+2 2)= ,当 a =2b 且 a+b=ab,即 a= 1+ 2,b= 时取等号. 5 2 5 3 5+2 10 5
2

答案

11.若直线 m 被两平行线 l1:x-y+1= 0 与 l2:x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2,则

m 的倾斜角可以是
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75° 其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号). 解析 记直线 m 的倾斜角是 θ .由题意知直线 l1、 l2 间的距离等于 2 2 = 2.又直线 m 被直线 1 = ,直线 m 2 2 2 2

l1、l2 所截得 的线段的长是 2 2,因此直线 m 与直线 l1 的夹角的正弦值等于

与直线 l1 的夹角是 30°,又直线 l1 的倾斜角是 45°,因此 θ =15°或 θ =75°,故正确 答案的序号是①⑤. 答案 ①⑤ 12 .已知 0<k<4,直线 l1:kx-2y-2k+8=0 和直线 l2:2x+k y-4k -4=0 与两坐标轴 围成一个四边形,则使得这个四边形面积最小的 k 值为________. 解析 由题意知直线 l1,l2 恒过定点 P(2,4),直线 l1 的纵截距为 4-k,直线 l2 的横截距为 1 1 2 2 2 2k +2, 所以四边形的面积 S= ×2×(4-k)+ ×4×(2k +2)=4k -k+8, 故面积最小时, 2 2
2 2

k= .
答案 1 8

1 8

三、解答题 13.已知直线 l:3x-y+3=0,求: (1)点 P( 4,5)关于 l 的对称点; (2)直线 x-y-2=0 关于直线 l 对称的直线方程. 解析:设 P(x,y)关于直线 l:3x-y+3=0 的对称点为 P′(x′,y′). ∵kPP′·kl=-1,即

y′-y ×3=-1.① x′-x

又 PP′的中点在直线 3x-y+3=0 上, ∴3×

x′+x y′+y
2 - 2

+3=0.②

-4x+3y-9 x′= , ? ? 5 由①②得? 3x+4y+3 y′= . ? ? 5 (1)把 x=4,y=5 代入③及④得 x′=-2,y′=7, ∴P (4,5)关于直线 l 的对称点 P′的坐标为(-2,7).

③ ④

3

(2)用③④分别代换 x-y-2=0 中的 x,y, 得关于 l 的对称直线方程为 化简得 7x+y+22=0. 14.已知两直线 l1:ax-by +4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的 a,b 的值. (1)l1⊥l2,且直线 l1 过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解析 (1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)-b=0. 又∵直线 l1 过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0 . 故 a=2,b=2. (2)∵直线 l2 的斜率存在,l1∥l2,∴直线 l1 的斜率存在. ∴k1=k2,即 =1-a. 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等, 4 ∴l1,l2 在 y 轴上的截距互为相反数,即 =b. -4x+3y-9 3x+4y+3 - -2=0, 5 5

a b

b

2 故 a=2,b=-2 或 a= ,b=2. 3 15.过点 P(1,2)的直线 l 被两平行线 l1:4x+3y+1=0 与 l2:4x+3y+6=0 截得的线段长 |AB|= 2,求直线 l 的方程. 解析 设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1),

4

由?

?y=kx+2-k, ? ?4x+3y+1=0, ? ? ?y=kx+2-k, ?4x+3y+6=0, ?

解得 A?

?3k-7,-5k+8?; ? ?3k+4 3k+4 ? ?3k-12,8-10k?. ? ? 3k+4 3k+4 ?

由?

解得 B?

∵|AB|= 2, ∴

? 5 ?2+? 5k ?2= 2, ?3k+4? ?3k+4? ? ? ? ?
2

整理,得 7k -48k-7=0, 1 解得 k1=7 或 k2=- . 7 因此,所求直线 l 的方程为 x+7y-15=0,或 7x-y-5=0. 16.过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1:2x+y-8=0 和 l2:x-3y+10=0 截得的线段被 点 P 平分,求直线 l 的方程. 解析 设 l1 与 l 的交点为 A(a,8-2a), 则由题意知,点 A 关于点 P 的对称点 B(-a,2a-6)在 l2 上, 代入 l2 的方程得-a-3(2a-6)+10=0, ∴a=4,即点 A(4,0)在直线 l 上, 所以直线 l 的方程为 x+4y-4=0.

5



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