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一元二次不等式与平面区域


3.3.1二元一次不等式 (组)与平面区域

在现实生活和数学中,我们会遇到各种不同 的不等式,需要用不同的数学模型来刻画和研究 它们。前面我们学习了一元二次不等式及其解法, 这里我们将学习另一种不等关系的模型。
一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元 用于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来 30 000元的收益,其中从企业贷款中获益12﹪, 从个人贷款中获益10﹪,那么,信贷部应该如何 分配资金呢? 这个问题中存在一些不等关系,我们应当用什 么不等式模型来刻画它们呢?

设用于企业贷款的资金为x元,用于个人贷 款资金为y元.由资金总数为25 000 000元,得到
x+y≦25 000 000.(1) 由于预计企业贷款创收12﹪,个人贷款创 收10﹪,共创收30 000元以上,所以 (12﹪)x+(10﹪)y≥30 000, 即 12x+10y≥3 000 000 (2)

最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数 额都不能是负数,于是 x≥0, y≥0. (3)


将(1),(2),(3)合在一起,得到分 配资金应该满足的条件:
满足二元一次不等 式(组)的x和y的取 值所构成有序数对 (x,y),所有这样的 有序数对(x,y)构成 的集合称为二元一次 求出这个不等式组的解集, 不等式(组)的解集。 就可以知道分配资金的多少了。 也可以看成直角 坐标系内的点构成的 集合。

, ? x ? y ? 25000000 ?12x ? 10 y ? 3000000 , ? ? ? x ? 0, ? ? y ? 0.

新知探究:
1、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 (1)二元一次不等式: 含有两个未知数,并且未知数的最高次数是1的不 等式; (2)二元一次不等式组: 由几个二元一次不等式组成的不等式组; (3)二元一次不等式(组)的解集: 满足二元一次不等式(组)的有序实数对(x,y) 构成的集合; (4)二元一次不等式(组)的解集可以看成是 直角坐标系内的点构成的集合。

2、二元一次不等式(组)的解集表示的图形 (1)复习回顾 一元一次不等式(组)的解集所表示的图形 ——数轴上的区间。

?x ? 3 ? 0 如:不等式组 ? 的解集为数轴上的一个区间(如图)。 ?x ? 4 ? 0
-3≤x≤4

思考:在直角坐标系内,二元一次不等式(组) 的解集表示什么图形?

下面研究一个具体的二元一次不等式

x – y < 6 的解集所表示的图形。
作出x – y = 6的图像—— 一条直线 直线把平面内所有点分成三类: a)在直线x – y = 6上的点 c)在直线x – y = 6右 b)在直线x – y = 6左上方区 下方区域内 的点 y 域内的点
O
6

x

左上方 区域

x–y=6
-6

右下方区 域

验证:设点P(x,y 1)是直

线x – y = 6上的点,选取
点A(x,y 2),使它的坐标 满足不等式x – y < 6,请 完成下面的表格,
横坐标 x –3 -9
-8

y

x–y=6 x

O

–2
-8

–1
-7

0
-6

1
-5

2
-4

3
-3

点 P 的纵坐标 y1
点 A 的纵坐标 y2

-6

-5

-3

6

4

0

思考:(1)当点A与点P有相同的 横坐标时,它们的纵坐标有什 么关系? y2>y1
y x–y=6 x

(2) 直线x – y = 6左上方的
坐标与不等式x – y < 6有什 么关系? (3) 直线x – y = 6右下方点 的坐标呢?
O

结论
在平面直角坐标系中,以 二元一次不等式x – y < 6的 解为坐标的点都在直线x – y = 6的左上方;反过来, 直线x – y = 6左上方的点的 坐标都满足不等式x – y < 6。
O

y

x–y=6 x

结论 不等式x – y < 6表示 直线x – y = 6左上方 的平面区域;

注意:把直
线画成虚线以 表示区域不包 不等式 x – y > 6表示直 括边界 线x – y = 6 右下方的平 面区域;

直线叫做这两个区域的边界。

问题1:上面的研究解决了一个具体的二元一次不 等式与平面区域的关系问题.对于一般的二元一 次不等式Ax+By+C>0与平面区域之间有什么关系 呢? 二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系 中表示: 直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面 区域。我们把直线画成虚线表示区域不包括边界。 不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界,把 边界画成实线。

问题2:如何判断二元一次不等式表示平面区域 直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C

所得实数的符号都相同。 只需在直线的某一侧任取一点(x0,y0),根据
Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线的哪 一侧区域。 特别的:C≠0时,即直线不过原点,常把原点作 为特殊点; C=0时,常把(1,0),(0,1)作为 特殊点; 结论: 直线定界,特殊点定域。

例题示范: 例1:画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域 解: (1)(化成标准式) x + 4y – 4 <0 (2)(直线定界):先画直线x + 4y – 4 = 0(画成虚 线) (3)(特殊点定域):取原点(0,0),代入x + 4y - 4,得 0 + 4×0 – 4 = -4 < 0
y

(4)(取舍)所以原点在x + 4y – 4 < 0表示的平面区域内,不等式x + 4y – 4 < 0表示的区域如图所示。

x+4y―4= 0

x

练习1: 思考并回答下列各集合所表示的点的集合分别 是什么图形? ⑴{(x,y)|x=0};{(x,y)|x>0}; {(x,y)|x≤0}
Y O X Y O X Y O X

( Y 轴)

(Y轴右方的平面区 (Y轴左方的平面区 域,不含边界线) 域,含边界线)

⑵{(x,y )│y≤0} Y)│y=0};{(x,y)│ Y y>0}; {(x,yY O O X O X X

(X 轴)

(X轴上方的平面区 域,不含边界线)

(X轴下方的平面 区域,含边界线)

例2.用平面 区域表示不等式组

y<-3x+12

x<2y

的解集。

解:不等式y<-3x+12表示的平面区域在直线3x+ y12=0的左下方;
3x+ y-12=0 y 不等式x<2y表示的是直线x-2y=0 的左上方的区域 12 x-2y=0 8 取两区域重叠的部分,即阴影部 4 分就表示原不等式组的解集 0 x 4 8 技巧:一般的,如果C≠0,可取 (0,0);如果C=0,可取(1,0)或(0,1). 注意:不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的 平面区域的交集。

例4.画出不等式组

解: 不等式x-y+5≥0表 示 直线x-y+5=0上及右 下方的点的集合,
x+y≥0表示直线x+y=0 上及右上方的点的集合,

x-y+5≥0 x+y≥0 x≤3
x+y=0

表示的平面区域
x-y+5=0

Y

O

X

x≤3表示直线x=3上及左方的点 的集合。

x=3

所以,不等式组

?x ? y ? 5≥ 0 ? ? x ? y ≥ 0 表示的区域如上图所示的红色 阴影三角形部分并包括边界. ?x ≤ 3 ?

练习:画出不等式(x+2y+1)(2x+y -2)<0表 示的平面区域. 分析:
y

2x+y -2=0

(Ⅰ)
x+2y+1=0
o

( x ? 2 y ?1)(2x ? y ? 2) ? 0 ?x ? 2 y ?1 ? 0 或(Ⅱ) ? (Ⅰ) ? ?2 x ? y ? 2 ? 0
x

?x ? 2 y ?1 ? 0 ? ?2 x ? y ? 2 ? 0

画法: ⑴先画两直线; ⑵画区域(Ⅰ);
⑶画区域(Ⅱ).
∴区域(Ⅰ)和区域(Ⅱ)为所求区域.

本问题能否也只取 一点就确定区域位置

(Ⅱ)

[例3] 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种 规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的 块数如下表示:
钢型
规格

A规格
2 1

B规格
1

C规格
1

第一种钢板 第二种钢板

2

3

今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、 27块,用数学关系式和图形表示上述要求?

?2 x ? y ? 1 5, ? x ? 2 y ? 1 8, 作出以上不等式 ? ? 组所表示的平面区域: ? x ? 3 y ? 2 7, ? x ? 0, ? y ? ? y ? 0.
15 C ( 4, 8 ) x + 3 y = 27

[解]:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张, 根据题意可得:

0

7 .5

18

27

x

2 x + y = 15

x + 2 y = 18

例4、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车 皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t;生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t,在此基础上生产 这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式, 并画出相应的平面区域。

解:设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数,于是满足条件的数学关系式是:

? 4 x+y ? 10 ?18x+ 15y ? 66 ? ? x ? 0 ? ? ?y ? 0

y

x

条件表示的平面区域为图中红色阴影部分含边界。

o

综合应用

例、试确定m的范围,使点(1,2)和(1, 1)在3x-y+m=0的异侧。
解析: 解析: 由于在同侧,则( 1 , 2 )和( 1 , 1 ) 由于在异侧,则( 1 , 2 )和( 1 , 1 ) 代入 3x-y+m 代入 3x-y+m 所得数值同号, 所得数值异号, 则有( 3-2+m )( 3-1+m )> 则有( 3-2+m )( 3-1+m )<00 所以( m+1 ) (m+2) > 0 所以( m+1 ) (m+2) <0 即: m <-2或m>-1 即: -2<m<-1

变式:若在同侧,m的范围又是什么呢?

x-y+5≥0 例、求二元一次不等式组

y≥2
C x-y+5=0
D

0≤x≤2y 所表示的平面区域的面积
5

解析: 如图,平面区域为直角梯形, 易得 A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0, 5) 所以AD=3,AB=2,BC=5 故所求区域的面积为 1
-5

2A

B
2

y=2

o

x

?3 ? 5?? 2 ? 8

x=2

若二元一次不等式组 变式:

x - y + 5 ≥0

y≥a
0≤x≤2

所表示的平面区域是一个三角形, 求a的取值范围

x-y+5≥0

y
7 5D

x-y+5=0

变式: 若二元一次不等式组 y≥a
0≤x≤2

C

a y=7
y=5 a

所表示的平面区域是一个三角形, 求a的取值范围

答案:5≤a<7

-5

o

2 x=2

x
y=a

小结:
表示什么图形? 直线Ax+By+C=0的某一侧所有点组成的平面 区域

(1)二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系

(2)怎样画二元一次不等式(组)所表示的
区域? 直线定界,特殊点定域



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