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含有一个量词的命题的否定



1.4.3含有一个量词的命题的否定

探究
写出下列命题的否定

?x ? M,p(x) 1)所有的矩形都是平行四边形;

2)每一个素数都是奇数; 2 3)?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0 否定:
2)存在一个素数不是奇数;

?x ? M,p(x) ?x ? M

,p(x)

1)存在一个矩形不是平行四边形;?x ? M,?p(x)

3)?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0
2

?x ? M,?p(x) ?x ? M,?p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

从命题形式上看,这三个全称命题的否定都 变成了特称命题.
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否 定,有下面的结论: 全称命题p:

?x ? M , P( x), 它的否定?p: ?x ? M,?p(x).

全称命题的否定是特称命题.

例3 写出下列全称命题的否定: (1)p:所有能被3整除的整数都是奇数; (2) p:每一个四边形的四个顶点共圆; (3) p:对任意,的个位数字不等于3.

探究
写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是正数;

?x ? M,p(x)

2)某些平行四边形是菱形; 3)?x ? R, x2 ? 1 ? 0
否定: 1)所有实数的绝对值都不是正数; 2)每一个平行四边形都不是菱形; 3) ?x ? R, x2 ? 1 ? 0

?x ? M,p(x) ?x ? M,p(x)
?x ? M,?p(x)

?x ? M,?p(x) ?x ? M,?p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

从命题形式上看,这三个特称命题的否定都变 成了全称命题. 一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定, 有下面的结论:
特称命题 p : ?x ? M,p(x)

它的否定

?p : ?x ? M,?p(x)

特称命题的否定是全称命题.

例4 写出下列特称命题的否定 (1) 1)p:?x ? R,x2 +2x+3 ? 0; (2)有的三角形是等边三角形;

(3)有一个素数含三个正因数.

例5写出下列命题的否定,并判断真假: 1)p:任意两个等边三角形都是相似的;

2)p:?x ? R,x2 +2x+2=0;

练习 P28



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