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2.3.2~2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算 课件(人教A必修4)



2.3.2 ~ 2.3.3

读教材·填要点
课前预习·巧设计

第 二 章
平 面 向 量

2.3 平面 向量 的基 本定 理及 坐标 表示
平面 向量 的正 交分 解及 坐标 表示 平面 向量 的坐 标运 算

小问题·大思维

考点一

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[读教材·填要点] 1.平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个 互相垂直 的向量,叫做把向量正 交分解. 2.平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示: 在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位 向量 i、j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量 xi+yj ,则把有 基本定理知,有且只有一对实数x,y使得a= (x,y) 叫做向量a的坐标.记作 a=(x,y) ,此式叫做 序数对 向量的坐标表示. (2)在直角坐标平面中,i= (1,0) ,j= (0,1) ,0= (0,0) .

3.平面向量的坐标运算
向量的 加、减法 实数与向量 的积 向量的 坐标 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= (x1+x2,

y1+y2) ,a-b= (x1-x2,y1-y2) .即两个向量和
(差)的坐标分别等于这两个向量
若a=(x,y),λ∈R,则λa=

的和(差) 相应坐标 ,即实数与向 (λx,λy)

量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 已知向量 ??? 的起点A(x1,y1),终点B(x2,y2),则 ? AB ,即向量的坐标等于表示此向 ??? = ?

相应坐标

AB (x2-x1,y2-y1) 量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标

[小问题·大思维] 1.与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点? 提示:与x轴平行的向量的纵坐标为0,即a=(x,0);与y 轴平行的向量的横坐标为0,即b=(0,y).

2.已知向量 OM =(-1,-2),M点的坐标与 OM 的
坐标有什么关系? 提示:坐标相同但写法不同;OM =(-1,-2),而 M(-1,-2).

????

????

????

3.在基底确定的条件下,给定一个向量.它的坐标是
唯一的一对实数,给定一对实数,它表示的向量是否唯一? 提示:不唯一,以这对实数为坐标的向量有无穷多个, 这些向量都是相等向量. 4.向量可以平移,平移前后它的坐标发生变化吗?

提示:不发生变化。向量确定以后,它的坐标就被唯
一确定,所以向量在平移前后,其坐标不变.

[例 1]

[研一题] 已知边长为 1 的正方形 ABCD 中,

AB 与 x 轴正半轴成 30° 角.求点 B 和点 D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标.

??? ?

??? ?

[自主解答] 由题知 B、 分别是 30° 120° D , 角的终边与单位 圆的交点. 设 B(x1,y1),D(x2,y2). 由三角函数的定义,得 3 1 x1=cos 30° = ,y1=sin 30° , = 2 2
? ∴B? ? ?

3 1? ? , ?. 2 2?

1 x2=cos 120° =- , 2 3 y2=sin 120° = , 2
? 1 ∴D?- , ? 2 ? ? ∴ AB =? ? ?

3? ? . 2? ?

??? ?

? ? 3 1? ??? ? 1 3? ? ? , ?, AD =?- , ?. 2 2? 2? ? 2

[悟一法]

向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的
具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.因此,求向量

a的坐标,关键是正确求出其起点和终点的坐标.

[通一类]
∠xOA=60° , (1)求向量 OA的坐标; (2)若 B( 3,-1),求 BA 的坐标.

1.已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限,|OA |=4 3,

???

???

???

解:(1)设点 A(x,y),则 x=4 3cos 60° =2 3, y=4 3sin 60° =6,即 A(2 3,6),OA =(2 3,6). (2) BA =(2 3,6)-( 3,-1)=( 3,7).

???

???

[研一题] [例 2] 如图所示,已知△ABC,A(7,8),
B(3,5),C(4,3),M,N,D 分别是 AB,AC, BC 的中点,且 MN 与 AD 交于点 F,求 DF 的坐标.
[自主解答] ∵A(7,8),B(3,5),C(4,3), ∴ AB =(3-7,5-8)=(-4,-3),

??? ?

??? ?

??? ?

AC =(4-7,3-8)=(-3,-5).

又∵D 是 BC 的中点,

? ? 1 1 ??? ??? ∴ AD = ( AB + AC )= (-4-3,-3-5) 2 2
1 7 = (-7,-8)=(- ,-4). 2 2 ∵M、N 分别为 AB,AC 的中点,∴F 为 AD 的中点.

??? ?

? 1 ??? 1 7 7 ∴ DF =- FD =- AD =- (- ,-4)=( ,2). 2 2 2 4

??? ?

??? ?

[悟一法]

1.向量的几种运算体系:
(1)向量有三种运算体系,即几何表示下的图形上的几 何运算,字母表示下的运算和坐标表示下的代数运算. (2)几何表示下的几何运算应注意三角形法则、平行四 边形法则;字母表示时,注意运算律的应用;坐标运算时 要牢记公式,细心计算. 2.向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则 进行.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的

坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算
法则.

[通一类]
2.若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于 ( 1 3 A.- a+ b 2 2 1 3 B. a- b 2 2 )

3 1 3 1 C. a- b D.- a+ b 2 2 2 2 解析:由题意,设 c=xa+yb,∴(-1,2)=x(1,1)+y(1,-1)
=(x+y,x-y), ? 1 ?-1=x+y, ?x=2, ? ∴? ∴? ?2=x-y, ? ?y=-3, 2 ?

1 3 ∴c= a- b. 2 2

答案:B

[研一题]
[例 3] 象限?

已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5),及 OP = OA+t AB .

??? ?

???

??? ?

(1)t 为何值时,点 P 在 x 轴上?点 P 在 y 轴上?点 P 在第二 (2)四边形 OABP 能为平行四边形吗?若能,求出 t 值;若不 能,说明理由.

[自主解答] (1) OP = OA +t AB =(1,2)+t(3,3) =(1+3t,2+3t), 2 若点 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,∴t=- . 3

??? ?

???

??? ?

1 若点 P 在 y 轴上,则 1+3t=0,∴t=- . 3 ?1+3t<0, ? 2 1 ? 若点 P 在第二象限,则 ∴- <t<- . 3 3 ?2+3t>0, ? (2) OA=(1,2), PB =(3-3t,3-3t). 若四边形 OABP 为平行四边形,则 OA = PB ,
?3-3t=1, ? ∴? ?3-3t=2, ?

???

???

???

???

该方程组无解.

故四边形 OABP 不能成为平行四边形.

保持例题条件不变,问t为何值时,B为线段AP的中点? ? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ?
解:由 OP = OA+t AB 得 AP =t AB . ∴当 t=2 时, AP =2 AB ,B 为线段 AP 的中点.

??? ?

??? ?

[悟一法] 1.如果两个向量是相等向量,那么它们的坐标一定 对应相等.当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标 与表示向量的有向线段终点的坐标相同. 2.证明一个四边形为平行四边形,可证明该四边形 的一组对边所对应的向量相等.

[通一类] 3.已知向量u=(x,y)和向量v=(y,2y-x)的对应关系用v=
f(u)表示.

(1)若a=(1,1),b=(1,0),试求向量f(a)及f(b)的坐标.
(2)求使f(c)=(4,5)的向量c的坐标. 解:(1)由v=f(u)可得当u=(x,y)时,有v=(y,2y-x)= f(u),从而f(a)=(1,2×1-1)=(1,1),

f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).

(2)设 c=(x,y),则 f(c)=(y,2y-x)=(4,5),
?y=4, ? ∴? ?2y-x=5, ? ?x=3, ? 解得? ?y=4, ?

即 c=(3,4).

若向量|a|=|b|=1,且a+b=(1,0),求a与b的坐标.
[解]
2

法一:设 a=(m,n),b=(p,q),则有
2

?m +n =1, ? ?p2+q2=1, ? ?m+p=1, ?n+q=0, ?

1 ? ?m=p= , 2 ? ? 3 解得?q=- 2 , ? ? 3 n= , ? 2 ?

1 ? ?m=p= , 2 ? ? 3 或?q= 2 , ? ? 3 n=- . ? 2 ?

1 3 1 3 1 3 故所求向量为 a=( , ),b=( ,- ),或 a=( ,- ),b 2 2 2 2 2 2 1 3 =( , ). 2 2

法二:设 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),则有
?cos α+cos β=1, ? ? ?sin α+sin β=0. ?

① ②
2 2

1 由①②得(1-cos β) +sin β=1,即 cos β= . 2

1 将 cos β= 代入①②得 2 1 ? ?cos α= , 2 ? ? 3 ?sin α= , 2 ? ? 3 ?sin β=- 2 , ? 1 ? ?cos α= , 2 ? ? 3 ?sin α=- , 或 2 ? ? 3 ?sin β= 2 . ?

1 3 1 3 故所求向量为 a=( , ),b=( ,- ), 2 2 2 2 1 3 1 3 或 a=( ,- ),b=( , ). 2 2 2 2

??? ? 法三:设 a= OP =(m,n),b= OR =(p,q),OQ =(1,0). ? ??? ??? ??? ? ? 由题意有 OP + OR = OQ .

??? ?

??? ?

则四边形 OPQR 为平行四边形. ??? ? ??? ? ??? ? 又∵|OP |=| OR |=| OQ |=1, ∴△OPQ,△OQR 均为正三角形, 1 3 1 3 1 3 故所求向量为 a=( , ),b=( ,- )或 a=( ,- ), 2 2 2 2 2 2 1 3 b=( , ). 2 2

[点评]

法一利用模的概念和向量的坐标运算,通

过解方程组来求解,思路自然严谨;法二利用了“三角换 元”,借助三角公式简化了运算;法三利用了数形结合, 解法直观,简洁明了.



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