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19第19讲:平面直角坐标系与一次函数



中考数学总复习(六)

第六讲:平面直角坐标系与一次函数
本节课主要讲解:函数的基础知识以及一次函数。函数在中考中所占比重相当大,不仅有理论性的题型,又有不少的应 用题。学习方法:数形结合思想。

实 际 问 题

平面 直角 坐标 系

一次函数的图象与性质


反比例函数的图象与性质

变量



二次函数的图象与性质

函 数 的 应 用

考点 1 平面直角坐标系
1、定义: 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴,组成了平面直角坐标系。其中水平的数轴称为 或 ,一般取 为正方向;竖直的数轴称为 或者 ,取向上的方向为正方向,这个公共 者 的交点为坐标系的 。 2、四个象限内点的坐标规律: ①点 P(x,y)在第一象限 ? ;②点 P(x,y)在第二象限 ? ; ③点 P(x,y)在第三象限 ? ;④点 P(x,y)在第四象限 ? 。 3、坐标轴上点的坐标规律: ①点 P(x,y)在 x 轴上 ? ;②点 P(x,y)在 y 轴上 ? ; 。 ③点 P(x,y)上是原点 ? 4、对称点的坐标规律: ①点 P(x,y)关于 x 轴的对称点的坐标是 ;②点 P(x,y)关于 y 轴的对称点的坐标是 ; 。 ③点 P(x,y)关于原点的对称点的坐标是 5、点到坐标轴的距离: ①点 P(x,y)到 x 轴的距离为 ;②点 P(x,y)到 y 轴的距离为 。 6、点的平移 ①上(下)平移: 坐标不变, 坐标加上(或减去)一个数; ②左(右)平移: 坐标不变, 坐标加上(或减去)一个数。

函数及函数图象 考点 2 函数及函数图象
1、常量、变量、自变量、因变量 在一个变化过程中, 数值始终不变的量为常量; 数值发生变化的量为变量。 变量以非数字的符号来表达, 一般用拉丁字母。变量是常量的相反概念。 如果一个变量总是随着另一个变量的变化而变化,则后一个变量叫自变量,前一个变量叫因变量。 2、函数: (1)概念:在一个变化过程中,如果有两个变量 x 和 y,并且对于 x 的每一个确定的值,y 都有 的 值与其对应,那么就说 x 是 ,y 是 x 的 。变量,是指没有固定的值,可以改变的数。 【例 1】下列曲线中,表示 y 不是 x 的函数是( )

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

C. D. B. (2)自变量的取值范围: 整式函数:自变量的取值范围是全体实数; 含有分式的函数,其自变量的取值范围应使分母不为 0; 有偶次根式的函数:其自变量的取值应使被开方式为非负数; 与实际问题有关的函数:其自变量的取值应根据题目确定。 【例 2】 (1)函数 y = (2)函数 y = 练习:1、函数 y = A. x ≥ ?1 2、已知函数 y = (A)x≥3 3、在函数 y =

A.

2 中自变量 x 的取值范围是 x ?1
2 x ? 4 中自变量 x 的取值范围是


; 。

x + 1 中,自变量 x 的取值范围是( 2? x

1 x ?3

B. ?1 ≤ x ≤ 2 C. ?1 ≤ x < 2 ,则函数自变量 x 的取值范围是( ) (C)x≠3 (D)x<-3 )

D. x < 2

(B)x>3

x+2 中,自变量 x 的取值范围是( 3x
B. x ≤ 2 且 x ≠ 0

A. x ≥ ?2 且 x ≠ 0 4、函数 y=

C. x ≠ 0

D. x ≤ ?2

3 的自变量 x 的取值范围是___________。 x

(3)函数值:对于一个函数,如果当自变量 x=a 时,因变量 y=b,那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数 值。 (4)函数图像:对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的 、 ,那么 坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图像。初中所学的函数图象主要有:一次函数、二次函 数、反比例函数。 函数名称 解析式 正比例函数 反比例函数
k y = (k ≠ 0) x

一次函数

二次函数

y = kx(k ≠ 0)
y 0 x y 0 x

y = kx + b(k ≠ 0)

y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0)
y y 0 x 0 x

y x

y 0 x

y 0 x

y 0 x



k >0

k<0

k >0

k<0 k >0
与直线

k<0 y = kx


a>0

a<0
抛物线

图象过点(0,0) 和(1,k) 像

双曲线,无限 接近 x 轴、 轴 y

行且过点(0,b)

☆特点提醒:自变量的取值范围、因变量的取值范围、增减性、最值问题。 (5)函数的表示方法:列表法(一般的画图方法) 、解析式法(常见的表示方式)和图形法(常见的考查) 。 【例 3】图中是韩老师早晨出门散步时,离家的距离(y)与时间(x)之间的函数图象.若用黑点表示韩 .. 老师家的位置,则韩老师散步行走的路线可能是( y )



x A. B. C. D.

练习:如图, 水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, (1) 请分别找出与各容器对应的水的高度 h 和时间 t 的函数关系图象, 用直线段连接起来。 (2) 当容器中的水恰好达到一半高度时, 请在函数关系图的 t 轴上标出此时 t 值对应点 T 的位置。

一次函数与正比例函数 考点 3:一次函数与正比例函数
引入:一元一次方程、二元一次方程组→一次函数 1、概念及解析式: (1)一次函数的解析式为 ; (2)自变量取值范围: ; ; (3)值域: ☆注意:一次函数与正比例函数之间的关系问题。 2、图像: (1)一次函数和正比例函数的图像是一条 ; (2)正比例函数图像必定经过 。 3、一次函数的性质: 当 k>0 时,y 随 x 的增大而 ,这时函数的图像从左到右 ; 当 k<0 时,y 随 x 的增大而 ,这时函数的图像从左到右 ; 当 b>0 时,直线与 y 轴交于 半轴; 当 b<0 时,直线与 y 轴交于 半轴;当 b=0 时,直线与 y 轴交于 当 k>0,b>0 时,直线经过 象限;当 k>0,b<0 时,直线经过 当 k<0,b>0 时,直线经过 象限;当 k<0,b<0 时,直线经过 怎么记忆:平移规律 ☆注意:倾斜程度与 k 的关系

点; 象限; 象限;

【例 1】若一次函数 y = kx + b 的图象经过第一象限,且与 y 轴负半轴相交,那(



B. k > 0 , b < 0 C. k < 0 , b > 0 D. k < 0 , b < 0 A. k > 0 , b > 0 ☆注意:画一次函数图像时,只要取两个不同点即可,一般取直线与 x 轴、y 轴的交点,其坐标分别是

( , ) 、( , ) ☆注意:两个一次函数,当 k 一样,b 不一样时,其图像的位置关系是 其图像与 轴交于同一点其坐标为( ) 练习: 1、函数 y = kx + k (k ≠ 0) 在直角坐标系中的图象可能是( )

;当 b 一样,k 不一样时,

y O x

y O x

y O x

y O x









4、用函数的观点看方程(组)与不等式 (1)一次函数与一元一次方程:因为每一个一元一次方程都可以转化成 ax+b=0(a≠0,a、b 是已知数) 的形式,所以解一个一元一次方程都可以转化成:当某一个一次函数的值为 0 时,求相应的自变量的值。 【例 2】一题讲透一次函数与一元一次方程: y = x + 2 与 x+2=0 (2) 一次函数与一元一次不等式: 因为每一个一元一次不等式都可以转化成 ax+b>0 或者 ax+b<0 (a≠0, a、b 是已知数)的形式,所以解一个一元一次不等式都可以转化成:当某一个一次函数的值大于或者小于 0 时,求相应的自变量的取值范围。 【例 3】一次函数 y=kx+b(k,b 是常数,k≠0)的图象如图所示,则不等式 kx+b>0 的解集是( A.x>-2
y
D A C



B.x>0

C.x<-2

D.x<0 2

y = kx + b

y=k 1x+b1 B

o

x
y=kx+b

☆一题做总结:如图,点 D 的纵坐标等于______;点 A 的横坐标是方程______的解;大于点 B 的横坐标 是不等式______的解集;点 C 的坐标是方程组______的解;小于点 C 的横坐标是不等式______的解集。 练习:已知一次函数 y = kx + b 的图象如图 10—1 所示,当 x < 1 时, y 的取值范围是( ) (A) ?2 < y < 0 (B) ?4 < y < 0 (C) y < ?2 (D) y < ?4

(3)一次函数与二元一次方程(组) :一般的,每个二元一次方程组都对应两个一次函数,于是也对应两 条直线,所以解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。 (此知识点在二元一次方程组中已经讲过) 5、求一次函数解析式——待定系数法 ☆理解:什么是待定系数法? 【例 4】如图,一次函数图象经过点 A ,且与正比例函数 y = ? x 的图象交于点 B ,则该一次函数的表达 x y y = ?x 2 B 练习:若正比例函数 y = kx ( k ≠ 0 )经过点( ? 1 , 2 ) ,则该正比例函数的解析式为 y =___________。 x ?1 O 式为( ) A. y = ? x + 2 B. y = x + 2 C. y = x ? 2 D. y = ? x ? 2
A

☆学会看图像: 1、如上右图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化的图象。根据图 象下列结论错误的是( A.轮船的速度为 20 千米/时 C.轮船比快艇先出发 2 小时 ) B.快艇的速度为 40 千米/时 D.快艇不能赶上轮船

2、如图是某工程队在“村村通”工程中,修筑的公路长度 y(米)与时间 x(天)之间的关系图象.根据图 象提供的信息,可知该公路的长度是______米。
y(千米)
160 快快 80 轮轮

x(小时) o
2 4 6 8

6、用一次函数解决实际问题—— 一次函数应用注意事项: —— A、函数在现实世界中普遍存在,在应用函数知识解决实际问题时,要注意将实际问题转 化成数学问题; B、针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系; C、列出函数关系式后,要注意自变量的取值范围。 【例 5】 2007 年 4 月, 巴中市出租车收经费方式全面调整, 具体收费方式如下, 行驶距离在 3 千米以内 (包 括 3 千米)付起步价 3 元,超过 3 千米后,每多行驶 1 千米加收 1.4 元,试写出乘车费用 y (元)与乘车 距离 x (千米) (x>3)之间的函数关系式为 。

济南中考历年部分真题 济南中考历年部分真题 中考历年部分
2005 年 6、如图,是在同一坐标系内作出的一次函数 y1、y2 的图 象 l1、l2,设 y1=k1x+b1,y2=k2x+b2, ?y1=k1x+b1 则方程组? 的解是_______. ?y2=k2x+b2 ?x=-2 ?x=-2 ?x=-3 ?x=-3 A、? B、? C、? D、? ?y=2 ?y=3 ?y=3 ?y=4

22、(本题 6 分)如图,某种旅行帽的帽沿接有两个塑料帽带,其中一个塑料帽带上有 7 个等距的小圆柱体 扣,另一个帽带上扎有七个等距的扣眼,下表列出的是用第一扣分别去扣不同扣眼所测得帽圈直径的有关 数据(单位:cm); 1 2 3 4 5 6 7 扣眼号数(x) 帽圈直径(y) 22.92 22.60 22.28 21.96 21.64 21.32 21.00 ⑴求帽圈直径 y 与扣眼号数 x 之间的一次函数关系式; ⑵小强的头围约为 68.94cm,他将第一扣扣到第 4 号扣眼,你认为松紧合适吗?

2006 年 9.如图,直线 l 是函数 y =

y

1 x + 3 的图象.若点 P ( x,y ) 2
) 1

t

1 满足 x < 5 ,且 y > x + 3 ,则 P 点的坐标可能是( 2
A. (7, 5) C. (3, 4) B. (4, 6) D. (?2, 1)

O 1

x

12.根据如图的程序,计算当输入 x = 3 时,输出的结果 y =



9 题图

输 入

y = ? x + 5( x > 1) y = x + 5( x ≤ 1)
12 题图

输 出

x

y

21. (本题 6 分)元旦联欢会前某班布置教室,同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链,小颖测量了 部分彩纸链的长度,她得到的数据如下表: 19 36 53 70 …… (1)把上表中 x,y 的各组对应值作为点的坐标,在如图的平面直角坐标系中描出相应的点,猜想 y 与 x 的函数关系,并求出函数关系式; (2)教室天花板对角线长 10m,现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链,则每根彩纸链至少要用多少个纸 环? 纸环数 x (个) 彩纸链长度 y (cm) 1 2 3 4 ……

y (cm)
90 80 70 60 50 40 30 20 10 2007 年

O 1 2 3 4 5 6 7
21 题图 )

x (个)

1) 4.点 P ( ?2, 关于 x 轴的对称点的坐标为(

A. (2, 1)

B. ( ?2, 1) ?

C. (2, 1) ?

D. (1 ? 2) ,

2008 年 5.已知 ?ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,将 ?ABC 向右平移 6 个单位,则平移后 A 点的坐标 是( ) y B. (2,1) A. ?2 ,1) ( C C. (2, ?1 ) D. ?2 , ?1 ) (
A B 1 O1

x

11.济南市某储运部紧急调拨一批物资,调进物资共用4小时,调 进物资 2 小时后开始调出物资(调进物资与调出物资的速度均 保持不变) .储运部库存物资 S(吨)与时间 t(小时)之间的函数关 系如图所示,这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是 ( ) A.4 小时 B.4.4 小时 C.4.8 小时 D.5 小时

第 5 题图 S(吨) 30

10 3.(本小题满分 9 分) O 2 4 t(时)

第 11 题图 已知:如图,直线 y = ? 3x + 4 3 与 x 轴相交于点 A,与直线 y = 3x 相交于点 P. (1)求点 P 的坐标. (2)请判断 ?OPA 的形状并说明理由. 以每秒 1 个单位的速度沿着 O→P→A 的路线向点 A 匀速运动 E 不与点 O、 ( (3) 动点 E 从原点 O 出发, A 重合) ,过点 E 分别作 EF⊥x 轴于 F,EB⊥y 轴于 B.设运动 t 秒时,矩形 EBOF 与△OPA 重叠部分的面积 为 S. 求:① S 与 t 之间的函数关系式. y ② 当 t 为何值时,S 最大,并求 S 的最大值. P

B O

E

F

A

x

第 23 题图

2009 年 11.如图,点 G、D、C 在直线 a 上,点 E、F、A、B 在直线 b 上,若 a ∥ b,Rt △GEF 从如图所示的位 置出发,沿直线 b 向右匀速运动,直到 EG 与 BC 重合.运动过程中 △GEF 与矩形 ABCD 重合部分的面 ....

积(S)随时间(t)变化的图象大致是(
G D


C

a

E

F

A

B

b

(第 11 题图)
s s s s

O A.

t

O B.

t

O C.

t

O D.

t

12 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 对 于 平 面 内 任 一 点 ( a,b ),若 规 定 以 下 三 种 变 换 :

①f ( a,b ) = ( ?a,b ).如,f (1,) = ( ?1,) ; 3 3 ②g ( a,b ) = ( b,a ).如,g (1,) = ( 3, ; 3 1) ③h ( a,b ) = ( ?a, b ).如,h (1,) = ( ?1, 3). ? 3 ?
按照以上变换有: f ( g ( 2, 3) = f ( ?3,) = ( 3,), ? 2 2 那么 f h ( 5, 3 ? A. ( ?5, 3) ? B. ( 5,) 3 C. ( 5, 3) ? D. ( ?5,) 3

)

(

) ) 等于(



2010 年 8.一次函数 y = ?2 x + 1 的图象经过哪几个象限
A.一、二、三象限 B.一、二、四象限 C.一、三、四象限 D.二、三、四象限 22.(本小题满分 9 分) 如图所示, 菱形 ABCD 的顶点 A、 在 x 轴上, A 在点 B 的左侧, D 在 y 轴的正半轴上, BAD=60°, B 点 点 ∠ 点 A 的坐标为(-2,0). y ⑴求线段 AD 所在直线的函数表达式. C D

P

A

O
第 22 题图

B

x



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