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2012届高三数学理科模拟试题及答案



2012 届高三年级 数学(理) 试题
(满分 150 分,考试时间为 120 分钟) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.设复数 z 的共轭复数为 z ,若 z ? 1 ? i ( i 为虚数单位)则

A. ? 3i B. ? 2i C. i D. ? i 2

.曲线 y ? x ln x 在点 (e, e) 处的切线与直线 x ? ay ? 1 垂直,则实数 a 的值为 A.2 3.设函数 f ( x) ? sin(?x ? A. f (x) 在 (0, C. f (x) 在 (0, B.-2 C.

z ? z 2 的值为 z

?
?
2
2

2? 2? ) ? sin(?x ? )(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则 3 3
B. f (x) 在 (0, D. f (x) 在 (0,

1 2

D. ?

1 2

) 单调递减
) 单调递增

?
?

4
4

) 单调递增
) 单调递减

4.已知等比数列 ?a n ?中,各项都是正数,且 a1 , A. 1? 2 B. 1? 2 5. 下列命题中是假命题的是 A. ?m ? R ,使 f ( x) ? (m ? 1) ? x
2
m2 ? 4 m ? 3

a ? a9 1 等于 a3 ,2a 2 成等差数列,则 8 a6 ? a7 2
C. 3 ? 2 2 D. 3 ? 2 2

是幂函数

B. ?a ? 0 ,函数 f ( x) ? ln x ? ln x ? a 有零点 C. ?? , ? ? R ,使 cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? D. ?? ? R ,函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) 都不是偶函数 6. 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=3,BC=2,则棱锥 O- ABCD 的体积为 A.

51

B. 3 51

7. 定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? ?

,则 f ?3? 的值为 ? f ? x ? 1? ? f ?x ? 2?, x ? 0 A. 1 B.2 C. ? 2 D. ? 3 ? ? 8. 连续投掷两次骰子得到的点数分别为 m, n ,向量 a ? (m, n) 与向量 b ? (1,0) 的夹角记 为 ? ,则 ? ? (0, A.

?

log 2 ?8 ? x ?, x ? 0

C.

2 51

D. 6 51

?
4

) 的概率为
B.

5 18

5 12

C.

1 2

D.

7 12

9.执行如图所示的程序框图,输入 N 的值为 2012, 则输出 S 的值是 A.2011 C.2010 B.2012 D.2009

? x ? 2y ? 3 ? 0 ? 10.设 x、y 满足约束条件 ?2 x ? 3 y ? 4 ? 0 ,若目标函数 ? y?0 ?

z ? ax ? by (其中 a ? 0, b ? 0 ) 的最大值为 3,则

1 2 ? 的最小值为 a b
A.3 B.1 C.2 D.4

x2 y 2 2 11.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y ? 8 x 有一个公共的焦点 F,且两曲 a b
线的一个交点为 P,若|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为 A. y ? ?

3 x 3

B. y ? ? 3x

C. y ? ? 2 x

D. y ? ?

2 x 2

12. 已知函数 y ? f ?x ? 是定义在 R 上的增函数,函数 y ? f ?x ? 1? 的图象关于点(1, 0) 对称. 若对任意的 x, y ? R , 不等式 f x ? 6 x ? 21 ? f y ? 8 y ? 0 恒成立, 则
2 2

?

? ?

?

当 x >3 时, x ? y 的取值范围是
2 2

A. (3, 7)

B. (9, 25)

C. (13, 49)

D. (9, 49)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13. 若 a ?

?

?

0

sin xdx ,则二项式 (a x ?

1 6 ) 展开式中含 x 的项的系数是_______. x

14. 有七名同学站成一排照相, 其中甲必须站在正中间, 并且乙、 丙两位同学要站在一起, 则不同的站法有_________. 2 15.一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m) ,则该棱锥的全面积是______(单位:m ) .

正视图

侧视图

俯视图

? a, x ? 1 ? 16. 函数 f ( x) ? ? 1 | x ?1| 若关于 x 的方程 2 f 2 ( x) ? (2a ? 3) f ( x) ? 3a ? 0 有五个不同 ( ) ? 1, x ? 1 ? 2 ?
的实数解,则 a 的取值范围是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应给出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a , b , c 分别是角 A,B,C 的对边,且 (2a ? c) cos B ? b cos C ? 0 . (1)求角 B 的值; (2) 已知函数 f ( x) ? 2cos(2 x ? B) , f ( x) 的图像向左平移 将 函数 g ( x) 的图像,求 g ( x) 的单调增区间. 18.(本题满分 12 分) 如图,四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形, SD ⊥平面 ABCD , SD ? AD ? a ,点 E 是

? 个单位长度后得到 12

SD 上的点,且 DE ? ? a ? 0 ? ? ? 1? .
(1)求证:对任意的 ? ? ? 0,1? ,都有 AC⊥BE; (2)若二面角 C-AE-D 的大小为 60 ,求 ? 的值.
?

S E D A B

C

19.(本题满分 12 分) 中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违 法驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒后驾车”和 “醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含 量 Q ( 简 称 血 酒 含 量 , 单 位 是 毫 克 /100 毫 升 ) 当 , 20≤Q≤80 时,为酒后驾车;当 Q>80 时,为醉酒驾车. 某市公安局交通管理部门于 2011 年 2 月的某天晚上 8 点 至 11 点在市区设点进行一次拦查行动, 共依法查出了 60 名饮酒后违法驾驶机动车者, 如图为这 60 名驾驶员抽血 检测后所得结果画出的频率分布直方图 (其中 Q≥140 的人数计入 120≤Q<140 人数之内) . (1)求此次拦查中醉酒驾车的人数; (2)从违法驾车的 60 人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取 8 人做样本进行研究, 再从抽取的 8 人中任取 3 人,求 3 人中含有醉酒驾车人数 X 的分布列和期望. 20.(本题满分 12 分) 已知椭圆 C :

2 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴 2 2 a b

长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切.

(1)求椭圆 C 的方程; (2) 若过点 M (2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A, B ,设 P 为椭圆上一点,且满 足 OA ? OB ? t OP ( O 为坐标原点) ,当 PA ? PB < 值范围. 21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a) ln x ?

2 5 时,求实数 t 取 3

1 ? 2ax(a ? R) . x

(1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3) 若对任意的 a ? (?3, ?2), x1 , x2 ? ?1,3? , 恒有 (m ? ln 3)a ? 2ln 3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成 立,求实数 m 的取值范围. 请考生在(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分. 、 、 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22.(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明与选讲 如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B. ,?APC 的平分线分别交 AB. 于点 D. C AC E. (1)证明: ?ADE ? ?AED . (2)若 AC=AP,求

PC 的值. PA

23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知点 P(1 ? cos ? ,sin ? ) ,参数 ? ?[0, ? ] ,点 Q 在曲线 C: ? ? (1)求点 P 的轨迹方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)求点 P 与点 Q 之间距离的最小值。 24. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? log 2 (| x ? 1 | ? | x ? 2 | ?m) . (1)当 m ? 7 时,求函数 f (x) 的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

9 2 sin(? ? ) 4

?



第三次四校联考答案数学(理科) 一、选择题:1-5 D A D C D 二、填空题:13.240 ; 6-10 A D B A A 14.192; 11-12 B C 16. (1, ) ? ( ,2)

15. 4 ? 2 6 ;

3 2

3 2

三、解答题: 17. (本小题满分 12 分) 解:(1)由正弦定理得(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0, ……………… 2 分 即 2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0, 得 2sinAcosB+sin(B+C)=0, ……………… 3 分 因为 A+B+C=π,所以 sin(B+C)=sinA,得 2sinAcosB+sinA=0,

1 , ……………… 5 分 2 2? 又 B 为三角形的内角,所以 B= . ……………… 6 分 3 2? 2? (2)∵ B= , ∴ f(x)=2cos(2x), ………………7 分 3 3 ? 2? ? ∴ g(x)=2cos[2(x+ )]=2cos(2x- )=2sin2x, … ……9 分 12 3 2 ? ? ? ? 由 2k ? - ≤2x≤2k ? + (k∈Z),得 k ? - ≤x≤k ? + (k∈Z), 2 2 4 4 ? ? 故 f(x)的单调增区间为[k ? - ,k ? + ](k∈Z) . ………………12 分 4 4
因为 sinA≠0,所以 cosB= ? 18.(本小题满分 12 分) 证明: (1)如图建立空间直角坐标系 D ? xyz ,则
z S E D A x B C y

A ? a, 0, 0 ? , B ? a, a, 0 ? , C ? 0, a, 0 ? , D ? 0, 0, 0 ? , E ? 0, 0, ? a ? ,
???? ??? ? AC ? ? ?a, a, 0 ? , BE ? ? ?a, ?a, ? a ? ,

??? ??? ? ? ∴ AC ? BE ? 0 对任意 ? ? ? 0,1? 都成立,
即 AC⊥BE 恒成立; (2)显然 n1 ? ? 0,1, 0 ? 是平面 ADE 的一个法向量, 设平面 ACE 的一个法向量为 n2 ? ? x, y, z ? , ∵ AC ? ? ?a, a, 0 ? , AE ? ? ?a, 0, ? a ? ,

……………………6 分

??

?? ?

????

??? ?

?? ???? ? ?n2 ? AC ? 0 ? ?ax ? ay ? 0 ?x? y ?0 ? ∴ ? ?? ??? , ?? ?? ? ? n2 ? AE ? 0 ??ax ? ? az ? 0 ? x ? ? z ? 0 ? ? ?? ? 取 z ? 1,则 x ? y ? ? , n2 ? ? x, y, z ? ? ? ? , ? ,1? ,
∵二面角 C-AE-D 的大小为 60 ,
?

………………10 分

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 ? 1 2 ∴ cos n1 , n2 ? ?? ?? ? , ? , ? ? ? 0,1? ? ? ? ? 2 n1 n2 1 ? 2? 2 2
∴? ?

2 为所求。 2

………………12 分

19.解: (1) (0.0032+0.0043+0.0050)× 20=0.25,0.25× 60=15, 所以此次拦查中醉酒驾车的人数为 15 人. ………………………………4 分 (2) 易知利用分层抽样抽取 8 人中含有醉酒驾车者为 2 人; 所以 x 的所有可能取值为 0,1,2; P(x=0)=
3 C 2C 1 15 C 1C 2 3 C6 5 = ,P(X=1)= 6 3 2 = ,P(x=2)= 6 3 2 = C83 14 C8 C8 28 28

X 的分布列为

X
P

0

1

2

5 14

15 28

3 28
………………………………10 分

E( X ) ? 0 ?

5 15 3 3 ? 1? ? 2? ? 14 28 28 4
c 2 c2 a2 ? b2 1 ? , 所以 e 2 ? 2 ? ? a 2 2 a a2
2 1?1 ?1

.……… ………12 分 20.(1)解: 由

题意知: e ? 又b ?

? a 2 ? 2b 2

? a 2 ? 2, b 2 ? 1

故所求椭圆 C 的方程为

(2) 由题意知直线 AB 的斜率存在.设其方程为: y ? k ( x ? 2) ,

x2 ? y 2 ? 1。 2

………………………………

4分

? y ? k ( x ? 2), ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ? 1. ?2

? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0 , k 2 ?

1 2

8k 2 8k 2 ? 2 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P( x, y ) ,∴ x1 ? x2 ? , x1 x 2 ? . (6 分) 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 x ? x2 8k 2 ? ∵ OA ? OB ? t OP ,∴ ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y) , x ? 1 , t t (1 ? 2k 2 ) y ? y2 1 ?4k . y? 1 ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? t t t (1 ? 2k 2 )
∵点 P 在椭圆上,∴ ∵ PA ? PB <

(8k 2 ) 2 (?4k ) 2 ?2 2 ? 2 ,∴ 16k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 ) ( 8 分) t 2 (1 ? 2k 2 ) 2 t (1 ? 2k 2 ) 2

2 5 2 5 2 ,∴ 1 ? k x1 ? x2 ? , 3 3 20 2 2 ∴ (1 ? k )[( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ] ? 9 4 2 64 k 8k ? 2 20 2 ?4 ]? 即 (1 ? k )[ 2 2 2 9 (1 ? 2k ) 1 ? 2k 1 1 1 2 2 2 2 ∴ (4k ? 1)(14 k ? 13) ? 0 得: k ? ∴ ?k ? ………10 分 4 4 2 16 k 2 8 2 2 2 2 ?8? 又?16 k ? t (1 ? 2k ) ? t ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 2 6 2 6 ?t ?2 ∴?2 ? t ? ? 或 3 3 2 6 2 6 )?( ,2) ……… ………12 分 故实数 t 的取值范围是 (?2,? 3 3 1 2 1 2x ? 1 21、解:(1)当 a ? 0, f ( x) ? 2 ln x ? , f ?( x) ? ? 2 ? ………1 分 ( x ? 0) x x x x2

1 1 ? f (x) 在 (0, ) 上是减函数,在 ( ,?? ) 上是增函数。 2 2
∴ f (x) 的极小值为 f ( ) ? 2-2ln2,无极大值。 (2) f ?( x) ?

…………………3 分

1 2

………………………4 分

2?a 1 2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 ? 2 ? 2a ? ( x ? 0) x x x2

①当 a ? 0 时, f (x) 在 (0, ) 上是减函数,在 ( ,?? ) 上是增函数。

1 2

1 2

②当 a ? 0 时, f (x) 在 (0, ) 上是减函数,在 ( ,?? ) 上是增函数 ③当 ? 2 ? a ? 0 时, f (x) 在 (0, ) 与 (?

1 2

1 2

……………6 分

1 2

1 1 1 ,??) 上是减函数,在 ( ,? ) 上是增函数 a 2 a

④当 a ? ?2 时, f (x) 在 (0,??) 上是减函数\ ⑤当 a ? ?2 时, f (x) 在 ( ,?? ) 与 (0,? ) 上是减函数,在 (? (3)当 ? 3 ? a ? ?2 时, f (x) 在 ?1,3? 上是减函数

1 2

1 a

1 1 , ) 上是增函数(8 分) a 2

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (3) ?

2 ? 4a ? (a ? 2) ln 3 3

………10 分

由 (m ? ln 3)a ? 2ln 3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立,

? (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) max
? (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ? 2 ? 4a ? (a ? 2) ln 3 3

2 ? ?ma ? ? 4a ?? 3 ? ? 3 ? a ? ?2 ?
得: m ? ?

2 ? ?m ? ?4 ? ?? 3a ? ? 3 ? a ? ?2 ?
……………………12 分

13 3

22. (本小题满分 10)选修 4-1:几何证明与选讲 解:(1)∵ PA 是切线,AB 是弦, ∴ ∠BAP=∠C, ………………………………2 分 又 ∵ ∠APD=∠CPE, ∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE, ∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE, …………………………4 分 ∴ ∠ADE=∠AED. …………………………5 分 (2)由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APC=∠BPA, ∴ △APC∽△BPA, ∴

PC CA , ? PA AB

……………7 分

∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP, 由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180° , ∵ BC 是圆 O 的直径,∴ ∠BAC=90° ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180° =90° , -90° ,

1 × =30° 90° . ………………………………9 分 3 CA PC CA 在 Rt△ABC 中, = 3,∴ = 3 .………………………………10 分 ? AB PA AB
∴ ∠C=∠APC=∠BAP= 23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 解(1)由 ? 又由 ? =

? x ? 1 ? cos ? , 得点 P 的轨迹方程 (x-1)2+y2=1(y≥0), y ? sin ? , ?

……………2 分

9 2 sin(? ? ) 4

?

,得 ? =

9 , ∴ sin ? ? cos ?

? sin ? ? ? cos? =9.
……………5 分

∴曲线 C 的直角坐标方程为 x+y=9.

(1) 半圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的圆心(1,0)到直线 x+y=9 的距离为 4 2 , 所以|PQ|min=4 2 ?1. 24(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (1)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 7 , 不等式的解集是以下不等式组解集的并集: …………………………10 分

?x ? 2 ?1 ? x ? 2 ?x ? 1 ,或 ? ,或 ? ? ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 7
解得函数 f (x) 的定义域为 (??,?3) ? (4,??) ; (2)不等式 f ( x) ? 2 即 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 , ………………………….5 分

? x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 ,
不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 解集是 R,

? m ? 4 ? 3, m 的取值范围是 (??,-1]

……………………………10 分



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