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1.1.2余弦定理



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1.1.2 余弦定理
教学目的: 1.掌握余弦定理; 2.使学生能初步运用它们解斜三角形,并会解决斜三角形的计算问题 教学重点:余弦定理的运用 教学难点:余弦定理的灵活运用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:
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一、复习引入: 1 正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等,
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a b c = = =2R(R 为△ABC 外接圆半径) s iA n sin B sin C

2 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题: 1.两角和任意一边,求其它两边和一角; 2.两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角 (见图示)已知 a, b 和
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A, 用正弦定理求 B 时的各种情况:

无解 ?a ? b sin A ? 一解(直角) ?a ? bsinA ⑴若 A 为锐角时: ? ?bsinA ? a ? b 二解(一锐, 一钝) ?a ? b 一解(锐角) ?
已知边a,b和?A
C a A H a<CH=bsinA 无解 B a=CH=bsinA 仅有一个解 b a A b a B1 H a A B2 a?b H B C b C a

C b A

CH=bsinA<a<b 有两个解

仅有一个解

⑵若 A 为直角或钝角时: ?

?a ? b 无解 ?a ? b 一解 (锐角)
2 2 2

3.在 Rt△ABC 中(若 C=90?)有:c ? a ? b

在斜三角形中一边的平方与其余两边平方

和及其夹角还有什么关系呢? 二、讲解新课: 1.余弦定理 : 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍
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a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2bc

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B ? cos B ?

c2 ? a2 ? b2 2ca a2 ? b2 ? c2 2ab

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? cosC ?

[问题] 对于任意一个三角形来说, 是否可以根据一个角和夹此角的两边, 求出此角的对边? [推导] 如图在 ?ABC 中, AB 、 BC 、 CA 的长分别为 c 、 a 、 b
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∵ AC ? AB ? BC ∴ AC ? AC ? ( AB ? BC) ? ( AB ? BC)

C b A
2

a c B

? AB ? 2 AB ? BC ? BC
2

2

2

? AB ? 2 | AB | ? | BC | cos(180 ? ? B) ? BC

? c 2 ? 2ac cos B ? a 2
即 b ? c ? a ? 2ac cos B
2 2 2

同理可证 a ? b ? c ? 2bc cos A , c ? a ? b ? 2ab cosC
2 2 2 2 2 2

2.余弦定理可以解决的问题 利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角
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三、讲解范例: 例 1 在Δ ABC 中,已知 a=7,b=10,c=6,求 A、B 和 C 解:∵
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cos A ?

b2 ? c2 ? a2 =0 725, ∴ A≈44° 2bc
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∵ ∴

cosC ?

a2 ? b2 ? c2 =0 8071, 2ab
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∴ C≈36°,

B=180°-(A+C)≈100°
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(∵sinC=

c sin A ≈0 5954,∴ C ≈ 36°或 144°(舍) ) a
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例 2 在Δ ABC 中,已知 a=2 730,b=3 696,C=82°28′,解这个三角形
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解:由 c ? a ? b ? 2ab cosC ,得 c≈4 297
2 2 2
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cos A ?

b2 ? c2 ? a2 ≈0 7767, ∴ A≈39°2′, 2bc
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∴ B=180°-(A+C)=58°30′ (∵sinA=

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a sin C ≈0 6299,∴ c
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A=39°或 141°(舍) )
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例 3 Δ ABC 三个顶点坐标为(6,5)、(-2,8)、(4,1),求 A
2 2 解法一:∵ |AB| = [6 ? (?2)] ? (5 ? 8) ?

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73
B
8 7

|BC| = ( ?2 ? 4) ? (8 ? 1) ?
2 2

85

6

5

A

4

2 2 |AC| = (6 ? 4) ? (5 ? 1) ? 2 5

3

2

1

cos A ?

AB ? AC ? BC 2 AB ? AC
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2

2

2

C
2 4 6 8

=

2 365

-4

-2

∴ A≈84°

解法二:∵ AB =(–8,3), AC =(–2,–4) ∴ cosA=

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AB ? AC (?8) ? (?2) ? 3 ? (?4) 2 ? = ,∴ A≈84° AB ? AC 73 ? 2 5 365

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例 4 设 a =(x1, y1)

?

? b =(x2, y2)
? ?

? ? a 与 b 的夹角为? (0≤?≤?) ,

求证:x1x2+ y1y2=| a || b |cos? 证明:如图,设 a , b 起点在原点,终点为 A,B 则 A=(x1, y1) B=(x2, y2)

?

?

? ? AB = b ? a
? ?

在△ABC 中,由余弦定理 | b ? a |2=| a |2+| b |2?2| a || b | cos? ∵| b ? a |2=| AB |2=|(x2-x1, y2-y1)|2=(x2-x1)2+( y2-y1)2 | a |2=x12+y12

? ?

?

?

? ?

?

,| b |2= x22+y22

?

∴(x2-x1)2+( y2-y1)2= x12+y12+ x22+y22?2| a || b | cos?

? ?

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∴x1x2+ y1y2=| a || b |cos?

? ?

即有 a ? b = x1x2+ y1y2=| a || b |cos?

? ?

? ?

例5 在?ABC中,已知 a=134.6cm , b=87.8cm, c=161.7cm, 解三角形.

b2 ? c2 ? a 2 解:根据余弦定理的推论得: cos A= 2bc 2 2 87.8 ? 161.7 ? 134.62 ? 2 ? 87.8 ? 161.7 ? 0.5543 A ? 560 20'

c 2 ? a 2 ? b 2 134.62 ? 161.7 2 ? 87.82 cos B = ? 2ac 2 ? 134.6 ? 161.7 =0.8398 B ? 320 53' C=1800 ? ( A ? B )' ? 900 47 '
四、课堂练习: 1 在△ABC 中,bCosA=acosB,则三角形为( ) A 直角三角形 B C D 等边三角形 2 2 2 2 2 2 2 在△ABC 中,若 a >b +c ,则△ABC 为;若 a =b +c ,则△ABC 为 b2+c2 且 b2<a2+c2 且 c2<a2+b2,则△ABC 为 3 在△ABC 中,sinA=2cosBsinC,则三角形为
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;若 a <

2

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4 在△ABC 中,BC=3,AB=2,且
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sin C 2 ? ( 6 ? 1) ,A= sin B 5

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参考答案: 1 C 2 3 等腰三角形 4 120 五、小结 余弦定理及其应用
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1、定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减 去这两边 与它们夹角的余弦的积的两倍。

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C

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b2 ? c 2 ? a 2 cosA ? 2bc 2 a ? c 2 ? b2 cosB ? 2bc a 2 ? b2 ? c 2 cosC ? 2ab
2、余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角。 课后作业:课本第 10 页习题 1.1 3、4 两题

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