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2010数学(新课标理科卷)



2010数学(新课标理科卷)

一 、单选题
1. 已知集合 A ? x | x|≤ 2,x ? R ,B ? x | x ≤ 4,x ? Z ,则 A ? B ? (

?

?

?

?

)

A.(0,2)

r />B.[0,2]

C.{0,2}

D.{0,1,2}

2. 已知复数 z ?

A.

1 4

3 ?i ,则 z 是 z 的共轭复数,则 ?( (1 ? 3i)2 1 B. C.1 D.2 2

)

3. 曲线 y ?

x 在点( ?1 ,1)处的切线方程为( x?2 A. y ? 2 x ? 1 B. y ? 2 x ? 1 C. y ? ?2 x ? 3

) D. y ? ?2 x ? 2

4. 如图,质点 P 在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为

y P

P0 ( 2 , ? 2 ),角速度1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为( )
d 2 (A) O d 2 (B) d 2
O

x P0

π

t

(C)

2
O
3π 4

t

2
4
t (D)

2 O π t

O π

4

5. 已知命题:

P1 :函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 为增函数,

P2 :函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 为减函数. 则在命题 q1 : p1 ? p2 , q2 : p1 ? p2 , q3 : (?p1 ) ? p2 和 q4 : p1 ? (?p2 ) 中,真命题是(
A. q1,q2 B. q2,q3 C. q1,q4 D. q2,q4

)

6. 某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2 粒,补种的种子数记为 X ,则 X 的数学期望为( )

A.100

B.200

C.300

D.400

7. 如果执行下面的框图,输入N=5,则输出的数等于(

)

开始 输入 N

A.

5 4

B.

4 5

C.

6 5

D.

5 6

k ? 1,S ? 0

S?S?

1 k (k ? 1)


k ? k ?1

k?N
3 x f ? x ? 2? ? 0 8. 设偶函数 f ( x) 满足 f ( x) ? x ? 8 ( x ≥ 0 ),则 =(

?

?



输出S )
结束

? x x ? ?2或x ? 4? A.
C.

? x x ? 0或x ? 4? B.
D.

? x x ? 0或x ? 6?

? x x ? ?2或x ? 2?

4 9. 若 cos ? = ? , ? 是第三象限的角,则 5

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2 ?(
)

2

A. ?

1 2

B.

1 2

C.2

D. ? 2

10. 设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在

一个球面上,则该球的表面积为( 7 2 11 2 πa πa 2 A. πa B. 3 C. 3

) D. 5πa
2

?| lg x | , 0 ? x ≤10, ? 11. 已知函数 f ( x) ? ? 1 若a,b,c互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 abc 的取 ? x ? 6. x ? 10. ? ? 2 值范围是( ) A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24)

12. 已知双曲线 E 的中心为原点,F (3, 过 F 的直线 l 与 E 相交于 A ,B 两点, 且 AB 0) 是 E 的焦点,

的中点为 N (?12, ? 15) ,则 E 的方程为(
x y ?1 A. ? 3 6
2 2

)

x y ?1 B. ? 4 5

2

2

x2 y 2 ?1 C. ? 6 3

x2 y 2 ?1 D. ? 5 4

二 、填空题
13 设 y ? f ( x) 为区间 [0, 1] 上的连续函数,且恒有 0 ≤ f ? x ? ≤1,可以用随机模拟方法近似计 . N 个)区间 [0, 算积分 ?1 1] 上的均匀随机数 x1,x2, ?,xN 和 0 f ( x)dx ,先产生两组(每组

y1,y2, ?,yN ,由此得到N个点 ? xi,yi ??i ? 1 2, ?,N ) , 2, ?,N ? .再数出其中满足 y1 ≤ f ( xi )(i ? 1,

的点数 N1 ,那么由随机模拟方法可得积分 ?1 0 f ( x)dx 的近似值 为 .

14. 正视图为一个三角形的几何体可以是

.(写出三种)

15. 过点 A(4, 1) 的圆 C 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切于点 B(2, 1) ,则圆 C 的方程为



16. 在 △ ABC 中,D为边BC上一点, BD ?

1 DC , ?ADB ? 120? , AD ? 2 .若 △ ADC 的面积为 2

3 ? 3 ,则 ?BAC ?



三 、解答题

17.

设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 3? 22n?1.

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ)令 bn ? nan ,求数列 ?bn ? 前 n 项和 s n .

18. 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为等腰梯形, AB ∥ CD , AC ? BD ,垂足为 H , PH 是 四棱锥的高, E 为 AD 中点. P

(Ⅰ)证明: PE ⊥ BC ; (Ⅱ)若 ?APB ? ?ADB ? 60° ,求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值.

E A

D H

C B

x2 y 2 19. 设 F1 , F2 分别是椭圆E: 2 + 2 =1( a ? b ? 0 )的左、右焦点,过 F1 斜率为1的直线 l 与E a b 相交于A、B两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列.

(Ⅰ)求 E 的离心率; (Ⅱ)设点 P(0, ? 1) 满足 | PA |?| PB | ,求 E 的方程.

20. 设 F1 , F2 分别是椭圆E: 2 + 2 =1( a ? b ? 0 )的左、右焦点,过 F1 斜率为1的直线 l 与E a b

x2

y2

相交于A、B两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列. (Ⅰ)求 E 的离心率; (Ⅱ)设点 P(0, ? 1) 满足 | PA |?| PB | ,求 E 的方程.

21. 设函数 f ( x) ? ex ?1 ? x ? ax2 .

(Ⅰ)若 a ? 0,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若当 x ≥ 0 时 f ( x) ≥ 0 ,求a的取值范围.

22. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答

选修4—1:几何证明选讲 ? ,过C点的圆的切线与BA的延长 如图:已知圆上的弧 ? AC ? BD 线交于E点,证明: (Ⅰ) ?ACE = ?BCD ; (Ⅱ) BC 2 ? BE ? CD .

D

C

B

A

E

23. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答

选修4—4:坐标系与参数方程 ? x ? 1 ? t cos ?, ? x ? cos ?, 已知直线 C1 : ? (t为参数),图 C2 : ? ( ? 为参数). ? y ? t sin ?, ? y ? sin ?, π (Ⅰ)当 ? ? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (Ⅱ)过坐标原点O作 C1 的垂线,垂足为A,P为OA的中点,当 ? 变化时,求P点轨迹的参数方 程,并指出它是什么曲线.

24. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答

选修4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) = 2 x ? 4 ? 1 . (Ⅰ)画出函数 y ? f ( x) 的图像; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ≤ ax 的解集非空,求 a 的取值范围.



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