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导数及其应用.板块三.导数的应用3-最值.学生版



板块三.导数的应用

典例分析
题型四:函数的最值
0] 上的最大值和最小值分别是( 【例1】 函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? 1 在闭区间 [?3 , ?1 A. 1 , ? 17 B. 1, ? 17 C. 3 , ? 19 D. 9 ,



2] 上有最大值 3 , 2] 上的最

小值是 【例2】 已知 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? a( a 是常数) 在 [?2 , 那么在 [?2 , ( A. ?5 B. ?11 C. ? 29 D. ? 37



【例3】 设函数 f ( x) ? 2x ?

1 ? 2( x ? 0) 则 f ( x ) 的最大值为 x



【例4】 函数 f ( x) ? 3x ? 4x3 ( x ?[0 , 1]) 的最大值是( 1 A. 1 B. C. 0 D. ?1 2 【例5】 设函数 f ( x) ? 2 x ?



A.有最大值

1 ) ? 1( x ? 0) ,则 f ( x) ( x B.有最小值 C.是增函数

D.是减函数

【例6】 对于函数 f ( x) ,在使 f ( x) ≥ M 恒成立的所有常数 M 中,我们把 M 中的最大值称为函数 f ( x)

的“下确界”,则函数 f ( x) ?

x2 ? 1 的下确界为 ( x ? 1)2



? f ( x) f ( x) ≤ K ? ?) 内有定义. 【例7】 设函数 y ? f ( x) 在 (?? , 对于给定的正数 K , 定义函数 f K ( x) ? ? , f ( x) ? K ?K ? ?) ,恒有 f K ( x) ? f ( x) ,则( 取函数 f ( x) ? 2 ? x ? e? x ,若对任意的 x ? (?? , )

A. K 的最大值为 2 C. K 的最大值为 1

B. K 的最小值为 2 D. K 的最小值为 1

【例8】 下列说法正确的是( ) A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值 C.满足 f ?( x) ? 0 的点可能不是函数的极值点
b) 上一定存在最值 D.函数 f ( x) 在区间 (a , 2] 上的最大值是 【例9】 函数 f ( x) ? x4 ? 2 x2 ? 5 在区间 [?2 ,

;最小值是



1

?2 x ? e x , x≤0 ? 【例10】 对于函数 f ( x) ? ? 2 ,有下列命题: 1 ? x ? 2x ? , x ? 0 ? 2

①过该函数图象上一点 ? ?2 , f ? ?2?? 的切线的斜率为 ?

2 ; e2

2 ②函数 f ( x) 的最小值为 ? ; e ③该函数图象与 x 轴有 4 个交点; ④函数 f ( x) 在 (?? , ? 1] 上为减函数,在 (0 , 1] 上也为减函数. 其中正确命题的序号是 .
【例11】 已知函数 f ( x) ? e x ? a ln x 的定义域是 D ,关于函数 f ( x) 给出下列命题:

① 对于任意 a ? ? 0 , ? ? ? ,函数 f ( x) 是 D 上的减函数; ② 对于任意 a ? ? ?? , 0? ,函数 f ( x) 存在最小值; ③ 存在 a ? ? 0 , ? ? ? ,使得对于任意的 x ? D ,都有 f ( x) ? 0 成立; ④ 存在 a ? ? ?? , 0? ,使得函数 f ( x) 有两个零点. 其中正确命题的序号是_____. (写出所有正确命题的序号) .
2? 上是减函数,那么 2b ? c ( 【例12】 已知 f ( x) ? x3 ? 2bx2 ? cx ? 1 在区间 ? ?1, 15 15 15 A.有最大值 ? B.有最大值 C.有最小值 ? 2 2 2
4] 上的最大值和最小值. 【例13】 求 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9 x ? 5 在 [?4 ,

) D.有最小值
15 2

【例14】 已知函数 f ( x) ? x ?

4 . x2 ⑴ 求函数 f ( x) 的单调递减区间;
4] 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值. ⑵ 当 x ? [1,

【例15】 已知函数 f ( x) ? ax3 ? 6ax2 ? b( x ?[?1, 2]) 的最大值为 3 ,最小值为 ? 29 ,求 a 、 b 的值.

1 1] 上的最小值为 ?2 ,求 a 的值. 【例16】 已知函数 f ( x) ? ax3 ? 2 x2 ,其中 a ? 0 .若 f ( x) 在区间 [?1, 3
【例17】 已知 a ≥ 0 ,函数 f ( x) ? ( x2 ? 2ax)e x ,当 x 为何值时, f ( x) 取得最小值? 【例18】 设函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? c (a ? 0) 为奇函数,其图象在点 (1,f (1)) 处的切线与直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,导函数 f ?( x) 的最小值为 ?12 .

⑴求 a , b , c 的值; 3] 上的最大值和最小值. ⑵求函数 f ( x) 的单调递增区间,并求函数 f ( x) 在 [?1,

【例19】 设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax3 ? 3x2 . ⑴若 x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,求 a 的值; x ?[0 , 2] 在 x ? 0 处取得最大值,求 a 的取值范围. ⑵若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ,
2] 时的最大值为 1 ,求 a 的值. ⑶若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 在 x ? [0 ,

2

【例20】 已知函数 f ? x ? ? ? x3 ? 3x2 ? 9x ? a ,

⑴ 求 f ( x) 的单调递减区间; ⑵ 若 f ( x) 在区间 ? ?2 ,2? 上的最大值为 20 ,求它在该区间上的最小值.
x ? [?e , 0) . 【例21】 已知 f ( x) ? ax ? ln(? x) , ⑴ 当 a ? ?1 时,讨论 f ( x) 的单调性、极值;

⑵ 是否存在实数 a ,使 f ( x) 的最小值是 3 ,如果存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由.
【例22】 设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x2 ? a | ln x ? 1| . ⑴ 当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程;

⑵ 当 a ? 3 时,求函数 f ( x) 的单调性; ? ?) 时,求函数 f ( x) 的最小值. ⑶ 当 a ? 4 , x ? [1,
【例23】 设 x ? 3 是函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? b)e3? x ( x ? R) 的一个极值点. ⑴求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ) ,并求 f ( x) 的单调区间;

⑵设 a ? 0 , g ( x) ? ? a 2 ? 求 a 的取值范围.

? ?

25 ? x ?2 ?[0 , 4] 使得 f (?1 ) ? g (?2 ) ? 1 成立, ? e .若存在 ?1 , 4 ?

【例24】 已知函数 f ( x) ?

4 x2 ? 7 1] . , x ? [0 , 2? x ⑴求 f ( x) 的单调区间和值域;
1] .若对于任意 x1 ?[0 , 1] ,总存在 x0 ?[0 , 1] , ⑵设 a ≥ 1 ,函数 g ( x) ? x3 ? 3a2 x ? 2a , x ? [0 , 使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,求 a 的取值范围.

e) ,且 f ( x) 有极值. 【例25】 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x , x ? (1,

⑴求实数 a 的取值范围; ⑵求函数 f ( x) 的值域;
e) , ?x0 ? (1, e) ,使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立. ⑶函数 g ( x) ? x3 ? x ? 2 ,证明: ?x1 ? (1,

【例26】 已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ?

1? a ? 1? a ? R ? . x

1 ⑴ 当 a ≤ 时,讨论 f ? x ? 的单调性; 2 1 2? , 2? , ⑵ 设 g ? x ? ? x2 ? 2bx ? 4 . 当 a ? 时, 若对任意 x1 ? ? 0 , 存在 x2 ??1, 使 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? , 4 求实数 b 取值范围.
【例27】 设函数 f ? x ? ? ln x ? ln ? 2 ? x ? ? ax ? a ? 0?

⑴当 a ? 1 时,求 f ? x ? 的单调区间; 1 1? 上的最大值为 ,求 a 的值. ⑵若 f ? x ? 在 ? 0 , 2

3

【例28】 已知函数 f ( x) ? ln x ?

a . x ⑴当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 3 ⑵若函数 f ? x ? 在 ?1 , e? 上的最小值是 , 求 a 的值. 2

【例29】 已知 a 是实数,函数 f ? x ? ? x2 ? x ? a ? .

⑴若 f ?(1) ? 3 ,求 a 的值及曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线方程;

⑵求 f ( x) 的极值. ⑶求 f ? x ? 在区间 ? 0 , 2? 上的最大值.
2 【例30】 已知函数 f ? x ? ? x ? ? 1 ? a ln x , a ? 0 . x ⑴ 讨论 f ? x ? 的单调性;

⑵ 设 a ? 3 ,求 f ? x ? 在区间 ? e2 ? ?1, ? 上的值域,其中 e=2.71828? 是自然对数的底数.
【例31】 已知 a 为实数, f ( x) ? ( x2 ? 4)( x ? a) . ⑴求导数 f ?( x) ;
2] 上的最大值和最小值; ⑵若 f ?(?1) ? 0 ,求 f ( x) 在 [?2 , ? ?) 上都是递增的,求 a 的取值范围. ? 2) 和 (2 , ⑶若 f ( x) 在 (?? ,

【例32】 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 2 , ? a ? R ?

⑴ 若 f ( x) 在 ? 0 , 1? 上是减函数,求 a 的最大值;
1? ,求函数 y ? f ( x) 图像过点 ?1 , ⑵ 若 f ( x) 的单调递减区间是 ? ? , 1? 的切线与两坐标轴围 3 ? 1 ? ? ?

成图形的面积.
【例33】 设曲线 y ? e? x ( x ≥ 0) 在点 M (t , e?t ) 处的切线 l 与 x 轴, y 轴所围成的三角形的面积为 S (t ) , ⑴求切线 l 的方程;⑵求 S (t ) 的最大值.

3 【例34】 已知函数 f ( x) ? x3 ? mx2 ? n , 1 ? m ? 2 , 2 1] 上的最大值为 1,最小值为 ?2 ,求 m 、 n 的值; ⑴ 若 f ( x) 在区间 [?1, ⑵ 在⑴的条件下,求经过点 P(2, 1) 且与曲线 f ( x) 相切的直线 l 的方程;

⑶ 设函数 f ( x) 的导函数为 g ( x) ,函数 F ( x) ? 数,并求出相应实数 m 的范围.

g ( x) ? 3x ? 1 2 x ? e ,试判断函数 F ( x) 的极值点个 6

(x ? a) (1 ? y) , 若 f 【例35】 在 实 数 集 R 上 定 义 运 算 ?:x ? y ?

? x ??

2

x , g ? x? ? x , 若

x ? ? g.x ?f ? ? ⑴求 F ? x ? 的解析式; ⑵若 F ? x ? 在 R 上是减函数,求实数 a 的取值范围;

F? x ??

5 ⑶若 a ? , F ? x ? 的曲线上是否存在两点,使得过这两点的切线互相垂直,若存在,求出切 3 线方程;若不存在,说明理由.

4

【例36】 已知函数 f ( x) ? ln x ?

ax2 ? ? a ? 1? x , a ? R ,且 a ≥ 0 . 2 ⑴若 f ?(2) ? 1 ,求 a 的值; ⑵当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的最大值;

⑶求函数 f ( x) 的单调递增区间.

1 【例37】 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a2 ? 1) x ? b(a , b ? R) 3 ⑴若 x ? 1 为 f ( x) 的极值点,求 a 的值;

⑵若 y ? f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 , 求 f ( x) 在区间 [?2, 4] 上的最大值; ⑶当 a ? 0 时,若 f ( x) 在区间 ( ?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围.

1 【例38】 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a2 ? 1) x ? b(a , b ? R) 3 ⑴若 x ? 1 为 f ( x) 的极值点,求 a 的值;

⑵若 y ? f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 , ①求 f ( x) 在区间 [?2, 4] 上的最大值; ②求函数 G( x) ? [ f ?( x) ? (m ? 2) x ? m]e? x (m ? R) 的单调区间.

? a? 【例39】 已知函数 f ( x) ? ?1 ? ? e x ,其中 a ? 0 . x? ? ⑴求函数 f ( x) 的零点;

⑵讨论 y ? f ( x) 在区间 (?? , 0) 上的单调性; ⑶在区间 ? ?? , ? ? 上, f ( x) 是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理 2? ? 由.
? a?

【例40】 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? mx ? m)e x ,其中 m ? R .

⑴若函数 f ( x) 存在零点,求实数 m 的取值范围; ⑵当 m ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间,并确定此时 f ( x) 是否存在最小值,如果存在,求出 最小值;如果不存在,请说明理由.

【例41】 已知函数 f ( x) ? ? ln x , x ? (0 ,e) .曲线 y ? f ( x) 在点 (t ,f (t )) 处的切线与 x 轴和 y 轴分别交 于 A 、 B 两点,设 O 为坐标原点,求 ?AOB 面积的最大值.

【例42】 已知函数 f ? x ? ?

1 4 ? x2 . 2 ⑴写出函数 f ? x ? 的定义域,并求函数 f ? x ? 的单调区间;

⑵设过曲线 y ? f ? x ? 上的点 P 的切线 l 与 x 轴、 y 轴所围成的三角形的面积为 S ,求 S 的最小 值,并求此时点 P 的坐标.
5

2 【例43】 函数 f ( x) ? 1 ? ax2 (a ? 0 , x ? 0) ,该函数图象在点 P ( x0 , 1 ? ax0 ) 处的切线为 l ,设切线 l 分别交 x 轴和 y 轴于两点 M 和 N .

⑴将 ?MON ( O 为坐标原点)的面积 S 表示为 x0 的函数 S ( x0 ) ;
0) ,则 x1 与 t 的大小关系如何?证明你 ⑵若 M ( x1 , 0) ,函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交于点 T (t ,

的结论; ⑶若在 x0 ? 1 处, S ( x0 ) 取得最小值,求此时 a 的值及 S ( x0 ) 的最小值.

【例44】 如图,曲线段 OMB 是函数 f ( x) ? x2 (0 ≤ x ≤ 6) 的图象, BA ? x 轴于点 A ,曲线段 OMB 上一点
M (t , t 2 ) 处的切线 PQ 交 x 轴于点 P ,交线段 AB 于点 Q , ⑴若 t 已知,求切线 PQ 的方程;⑵求 ?QAP 的面积的最大值.
y B Q

M

O

P

A

x

6



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