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数学奥林匹克高中训练题(132)



21 0 0年第 8 期 

3  9

教 孥 豁 蜃巍鑫 锄锨墅(3)     1     2
中 图 分 类 号 : 4 4 7  G 2 .9 文献标识码 :   A 文章 编号 :10 0 5—6 1 ( 0 0 0 0 3 o   46 2 1 )8— 0 9一 6

第 一 试 

r />
卷 , 使任 何 两 个 相 邻 的 座位 ( 公 共 边 的  要 有 两 个方 格 ) 放 的试 卷 类 型 不 同. 符 合 条  发 则 件 的发 放试 卷 的方法 共有  二 、 答题 ( 5 解 共 6分 )   种.  



填空 题 ( 每小题 8分 , 6 共 4分 )  

1 设 AuB: { , , ,0 , AI     .    1 2 … 1 } l  =I 1   B. 则所 有 可 能 的有 序 集 合 对 ( 日) A, 的个 数 为  2 将 s s   ,i o  ,os   ,OCS3 . i i 3 s c s csi 3 CSO   nn n 3 n 按 由小 到大 的顺序 排列 为  .  

9 (6分 ) 函数  ) .1 设 的值 域 为 [ ,]  12 , 令 g )=厂 )+ ( (   ? 求 

3 、  则 . z  专著  设 ∈
的最 小值 为 
4 方 程  .
+  
X20 1   1 

Pa ( )=m xg  )一r ng  ) a  ( a  (   i 的最小 值.   1 .2 0 (0分) 。 :1 设    1
,   +  :

1  . + 求证 :  
“ 

.  
二 
2 01     0

,  

(一1 a +(一1  2 )1 )a +… +(一 )a 1   <1 .  
! . +… +  


::  : 兰
1  

:201    1

1 .2 1 (0分 ) A 设 B是 椭 圆平 行 于 长 轴 的  条弦, A 过 B的中点  作椭 圆 的两条 弦 C   D 和 E 联 结 D C 分别 与 A F, E、 F, B交于 点 P、 . Q 

证 明 : 一Q 为 常数. 朋 M  

的不 同有 序 整 数 解 ( , , ,:. 的 个 数   。   …   。) .
为  .  




试 

5 将 12 … ,  . , , n 填人 n× 几方 格 棋 盘 , 每 

个方 格填 一个 数 , 每行 从 左 至 右 都 是 公 差  且 为 1的等差 数 列 . 如果 棋 盘 的 几个 数 中任 何 
两个 既不 同行 又 不 同列 , 称这 n个 数 的和  则 为 一个 “ 本 和 ” 随机 选 取 一 个 基 本 和 , 基 . 则 

( 0分 ) 四 边 形 A C 中 , C : 4 在 BD B   C A D,B上 B ,D 上 B 设 P是 B CA D, D的 中点.  


求 证 :B?P= C?D  A A A A .

二 、4 ( 0分 ) A={1 2…,20 , 中, 设 a , , a0 }其   a 1

L 

一  

1 、  
厶 J  

0 = +In+ I1 ≤  1)   凡 √  _( ≤n 200 .  
正 整数 k具 有 如 下 的性 质 : 在 正 整数  存 m, m +1m + , , +j 属 于  , m、 使 , 2 … m J都 } 而   m+ k+1都 不 属 于 A 求 这样 的 正 整 数 k的  . 所有 取值 的集合.   三 、5 (0分 ) 最小 的正 整数 k使  求 ,
6 5 E1 r d3 3 . 2   ( o 4 ) o  

该基本和等于所有基本和的算术平均值的概 
率 为  .  

6 在 空 间 四边 形 A C . B D中 ,B上 B B   A C, C 上 C C -  A, A 上 A . B =1 则  D, D LD D B 若 D , △ A C 的面积 的最 大值 为  B
7 设  . ,   =  

.  
.  

四 、5 ( 0分 ) 有  、 C三人 进 行 乒 乓 球  日、

则对 任意 正整 数 na   , = .   8 有 9名学 生在 同一 问教 室参 加一 次数  .
学竞 赛 , 座位 排 列 成 3行 3列 , 3×3的 方  用

格棋 盘表示 , 中 , 其 每个 方 格 代 表 一 个 座 位 .   为 了避 免 舞 弊 , 用  、 C三 种 类 型 的试  采 B、

比赛 , 当其 中 两 个 人 比赛 时 , 一 个 人 作 裁  另 判, 此场 比赛的输者在下一场中当裁判 , 另两  个 人接着 比赛 . 比赛 进行 了若 干场 以后 , 已知  A共 赛 了 a场 , 共赛 了 b场. c赛 的场 数    求 的最小值 .  

中 等 数 学 

参 考 答 案 
第 一 试 
— —



4 ’   , 2 。 +2      +     zY .  

故所 求 的最 小值 为 2 .  
4.  O 2 l O
.  



1 8 9 3  .  5 .

方程 变形为 
:…  

若 I =k k:5 6 … ,0 , 0 AI ( , , 1 ) 贝  A有 c   种 可能.   对 A的每一 种可能 , uB={ , , , 由  12 …  

… I + +. l=0.   f 士 . )21 【 士 . J  ’ +    、   ” , 1 +  


+ 

X201     1

X201     0

由此可 知 x 2 2 1 … …>0   .  

l }知  CB 0, _ .   于是 , 中已有 1 k 元素.   0一 个   为保证 I _I , 须在 A中取 2  l 引 必  一l  0 个元素 属 于  , 而 , 从 曰有 c m种 可 能.   于 
是, 有序 集合对 (  ) c。  种可能 . A, 有   c   注 意到 k= , , ,0 故所 有 可 能 的有  56… 】, 序集 合对 (  ) A, 的个 数为 
m 

又 
l 2…  

!  
X20 1  1 

一  

1  
+ …
20 1   1 

1  
+ 
l  

≥ 2 01     1

变形 得 ( 12 21) X …  1   0 
l l … 2 I I≤ 1     2  l 0  .

≤ 1所 以 , ,  

由 l 2 … ,2I为整 数 , , ,    l   0 且 l2 21   …  l 0  
>0 得 X 2 21 , , …  1=1 1   0 .  

1 0 l  0 OO l  p   ∑c 。 c c + 6 : + l l     5  c c +…  l 0
I=5  


8 9 3.  5  

故 X=±1且  中恰 有偶数个 为 一1 , i , .   当 l 2 … ,2l 中有 2 ( =0 1 … , , ,    l   0 kk ,,  
1 0 ) 为 一1 , 程解 的个 数 为 c   5 个 0 时 方   所以, 方程解 的个数 为 

因为  < < 所 以 , 3  ,  
sn3>o>c s , I 。     i  。  且   s 1> 3 c 3
+ 

c0 +c 1+  l … +C  =2们.  l  l c l+ ol 2 …   。 o l  
>sn3  i .
5. . 1 

又i、  (号詈, s3。 ∈一 , 则 n c3  s )  sn o   < 0 < snsn 3. 士  ic s3 i i   
C S O  < c si  . O C S3 o sn 3 

注意到 
s  i 3一cs : s (  )≤ n 。    i 3+ 3 n  

数 表第 k行的数 为  ( k一1n+1( 一1n+ , , ) ,i ) 2… ( | } k一1n+k ) ,   设 第 k行取 出的数 为  ( 一1 /+8. . j ),   } 7   因为这 些 数 不 同列 , 以 , 。口 , ,  所 口 ,  … 口 是 12 … , , , n的一个排列 .   <2    故所取 出 的 n个数 之和为 

从 ,<i < c3  . 而0 s3 詈+ s <   n   。 2   则in<i c3 o s si s詈+0) s  n  n s3 ( s cc3 。?  
故 s cs i o  is   n 3<s i 3<CS S nn OC   O 3<cs n3 os  . i  
3 2. .  

∑ [ 一)+ - ∑ (一) ∑  ( 1 o / J 1+   n ]7 i , }
= 凡 

主  主 = 。  +    

.  

取  =Y = 1z= ,   , 得 

于是 , 任何 基 本 和都 等 于所 有 基 本 和 的  算术 平均值 .   因此 , 求概 率为  所

(!   :    ± ±
2 ’ + yz 十   ,   33  

一, ,  
一 ’    

6 . .  {
先 证 明 四边 形 
AC B D为矩 形 , 只  这 需 证 明 A B、 D 、 C、  
C 

注意到  ( +y ) +Z   2     ( 6+ +3 4 +3 4       xY  y )+ ( 4 +z ) ( + + 2y 2 X 2   +      + )     +




四点共 面.  
用反证 法.  

≥ 4   +( +Y ) +( ) xY          ≥ 4   +2 x xY ( +Y )   

如 图 1设 点 D ,  

图1  

21 00年第 8 期 

4  l

在 半 面 A C 外 , D 1 平 面 A C于 点 D1 B 作 D 上 B ,  

考 虑  中的格上试 卷 的类 型 , 如 下几  有 种情形 .   () 1 都是  型试 卷 , 此时 , 中的格 上试    卷有 唯一 发 放 方 法 , 中 的 格 上 试 卷 都 有 2 Ⅳ   种 发放 方法 , 共有 2 =1 发放方 法.   6种  

联结 A   C  则 C  是 C D 、D . D D在 平 面 A C内  B 的射 影.   又C D上 B 则 C 上 B . C, Dl C   同理 ,D A  上 A . B  于是 , 四边 形 A C  是矩 形. BD  

() 2 都是 C型 试卷 , ( ) 共 有 2 同 1,  =1  6
种 发放 方法 .   ( ) 1格是 B型试 卷 , 3有 3格是 C型试 卷  ( 图 2 , 时 , 中选择 一  如 )此   格发 放 B型 试 卷 , 4种 方  有


故 D +C  >A   D   D D +C  =A  与 C   C, D 上D A矛盾.  
由于矩形 A C B D对 角线 的 长为 1 面积最  , 大 时 为 正 方 形 , 最 大 面 积 为  其 1


于是,  

AB面 的 大 为 . A 积最值丢 C  
f, 1  n l; =  

7(! ‘二 {  
注意到 

.  

法 , 中其他格上试卷有唯    发 放 方 法 , 中 的格 上 试  Ⅳ 卷都 有 1×1   2= ×2X 4种发  放方 法 , 有 4X 共   4=1 6种发 
放方 法.  

团 
图2  

( ) 1格 是 c型 试 卷  4有 3格 是  型 试 

岩 - 11 一 ) ()   . -. - (  
于是 , 项得  移
+  = 

卷 , ( ) 共有 4x 同 3,  4=1 发放 方法. 6种   ( ) 2格 是 B型 试 卷 , 是 C型 试  5有 2格 卷, 此时 , 2个发 放  型试 卷 的 格 同行 ( 若 或 
列) 如图 3 甲) , ( ( ) 则在  中选 择发 放 B型  试卷 的格有 2种 方 法 , 中其他 格 上试 卷 有  肘 唯一 发放 方法 , 中的 格 上试 卷 只有 唯一 发  Ⅳ 放 方法 , 有 2种发 放方法 ; 2个 发放 B型  共 若

字 
] >) ( 1 n .  

= 一 

+  

故- + 】 n 珏 I      


试卷 的格 不 同行也 不 同列 ( 图 3 乙 ) , 如 ( ) 则 
在  中选 择发 放 曰型试 卷 的格 有 4种方 法 ,  

蓬 丽  卜- k 1
+ 

的  >. 格上 试卷 格 上试2×1唯l=4种 方 法方Ⅳ 中, 2 中其他 有 2×卷 有  一 发 放 发放 ,法 共      x
有 4× 4=1 发 放 方 法. 6种 于是 , 种 情 况 共  此
有 2+1 6=1 发放 方法. 8种  



( ) 了 [+  】 一        =    一   : —2

=  

吾2 2  {  (一=;  口)   . :
=   一   =   2. )  

田 园 
( ) 甲   ( ) 乙   图3  

此 外 ,:   满足 此  式 . Ⅱ=  
8 2 6. .4  

用 a表示 位 于第 i 第 列 的 方 格 , q 行 先 
考虑 0  发放 A型试 卷 的方法数 .  

由对 称性 , 有 符 合 要求 的发 放 试 卷 的  所 方法 数为 3 4x1 (   6+1 )= 4 8 2 6种.  

二9 (= 孚f )   、 f f (0则 冷g) + > .

令 M :{ 1,2, 3,2}  a2ala2a3 ,
N={ l,1,,,l} ala1a a1 .    

4  2

中 等 数 学 

当 口<0时 ,  £ q ( )=1—7 >0 从 而 , 口 - ,   q t在 ( , 0 上 是递增 的. () 0 +0 )  

( )=l   。 口 一 1>
? 

当口 0 令1 导> , > ≥ 时, 一 0得t 
从而, () ( , ] q t 在 0  上是 递减 的, 在 
[ , 0 上是递 增 的.   +O )   令 t   ) 则  = .

于是 , n 在[ ,]   ) 24 上递增. (   由此可见 ,( ) [ P 口 在 一∞, ] 2 上递减 , 在  [ , 。 上递增. 2 +a]  
故 p 口 的最 小值 为 p 2 3— √   () ( )= 2  .
1. o 因为 口 =l   , 以 ,   + 所  
1  

g :    手 g([]   , 话 c  (t1) )( ) + I∈,? ) 2  
当 口<1时 ,() [ ,] qt在 12 上递增.   故 p 口 q2 ( )= ( )一q 1  ()

l +— —

2  


+ , I    


口 +1    

口R

I  

0  一2  

1 . 1 十 一

2  


, ’  
一 ‘ 

口n

I  

= + )( =一 . 2号一  l号  1
当1 ≤口<4时 , ≤/ <2 q t 在  1 a , () [, ] 1   上递减 , A- ] 在[ , 上递增. 2  
故 m x ( ) m x q 1 ,( )  a    = a { ( )q 2 } g



 

2  




8Ⅱ

(一 ) 2 
、   一 



I  

n n l 一 


2  

口 n 一 




2: l 一  .  2l - =   2 (_  。。 一 。 I—Z    Ⅱ 、 ,
一 J\ 厶,    

一 1    4\ 厶/  1一1     
: Z : : Ot
n 

旦   ( 2  : ( 2 n 一) 3 一)

f 2= + g ’ 2 詈,口 2 ( <;  
【()= + , 口 . g 1 1 口  ≥2  
a n    ( ri ( )=   ) 2 .   =   

翥  。  
3   3  


故对任 何正整 数 i有  ,
a 2 一 口  /

所以


f+2一  , 1 口 2 2旦 2   ≤ <  p口 =  () { ‘’   ’  
, 、

1 3 一 ) 1 ( 2    1   ( 2 一  3 一 ) 一 一  

【+ 一  1n2

,  

2≤ a<4  .

当口 ≥4时 , ≥2 q f 在 [ , ]   , () 1 2 上  递减.   故 P 口 :q 1 q 2  ( ) ( )一 ( )


l   1   — ——■ +   2 f +    一  1 2 1一 2   一   3   j 

2    一

2i    

21 × 1 × 一  一 2 + 2  ÷  ÷矗
: :   :   兰  

( 口 2詈= - 1 ) +)詈 l +一 _  
1号 一,   n1 <;  

.  —

一÷  一  +一   十×~吉 了 1 1
3  


3  

3  

综 上 ,( )= P口  

2号 2 ≤<; +一  ,1口2  
1 a 2 g  2 < ; + 一 / , ≤口 4 

2 _< ‘ i 1    + 1 焉

记 A = 一 )1 ( 1 口 +   ( 1口 + 一 ) 2 …+( 1 口.   一)      

号1 一,  
u(   )= 1  

一  

n  

贝 当 n:1时 ,  0 A :(一1 口 :一1 <l ) l  1 ;    

令 ( :+ 一f 1口2则  口 2詈 2- ̄<)   ) a< . (
<0.  

当n 为偶数时, r 2 ( ≥1 , 令 g | J ) 有  = ji }}

A  强=∑ ( 一   )  = 口 口    


于是 ,, ) [ ,] 递减 . 1 口 在 12 上 / (  

骞<   砉 暑

令  口 = + 一 √ ( ≤口 4 . U ( ) 1 口 2   2 < )贝 

当 n为 大 于 1的奇 数 时 . n=2  -  令 k41

21 0 0年第 8期 

4  3

( ≥1 , k ) 有 

A=   = ( 一  ) 口   A … ∑ 口 口 一   
i J =  

故 B   Q?A  C =C C . 由式① 、 得 c C ② P?O:C C 即  Q?A,
CP  CA 

② 

k+l  

< ( 一 一 =2 <. ∑    。 A )   1  
1. 1 以  为原 点 、B所 在 直 线 为  轴 建  A
立 直 角坐标 系.   设椭 圆的方程 为  2
0 

C 。 O‘ Q—C  

又  A O为公共 角 , C 则 
△ C A∽ △ C O P Q 


A  O   O   0  A   P Q B P D
AC  oC  oC oB  AB    AB? AP =AC?   AD.

+  

D 

:l 即  ,

bx Ⅱ ( p  一0b 0 2 +   Y— )   = .  

① 

二 、 2 /  1 , 对 ≤/ , 0 0 有  ≤2
0<0  一n  


两 直线 C E D、 F的方程 为 

l  

( — l) Y— 2) 0 Y k ( k =.   x   ②  因为 c 、 ,是 曲线① 、 的交点 , 、  、 ② 所  以 , C、 E、 过 D、 F的曲线 系 的方程 为  [ 22 。 Y—  一 2    bx +口 ( p) 口 b ]+ (, l ( kx 0 )一k  ) Y— 2)= .   ③  显然 , 存在常数   使 曲线③表示两直  、,
线D C. E、 F 



1【  】[ +   + 1_舸  】  +
+  一  +  ?  

< +  一 1 1 ( 十 一   +)  号 ? )
所 以 , 一   , 或 2 Ⅱ 0 一 =1 .   注意 到 

令 Y= , 点 P Q 的横 坐 标  0得 、
方程 

。 足  满

(2 + 2 一 2  + ( k ) 一 2) 0  b   ap   b)   一 l ( k = ,   x 且 (  + l2  + 2    2 = .    6  kk )  ap 一 6 0  

甘  一 【 1 【 +】t  +】  号=  
§ 存在 正整 数 k 使  ,

由韦达 定理得  + =0  。 .  
所 以 ,M =I l   I M. P  P _I0 =Q  

【   =+’  + 】|l 1 i  }

故 

一Q = ( M 0 常数 ) .  




试 

且 【  
铮   一

+】i 吉: J }  



如 图 4, 设 

≤ T告 Il  <+  =+ <+  + 后2 l≤ 1   }
甘   +   十

C P交 A B于 点 0  . 因 为 B =C   C D, 所 以 , PJ B . C  - D 

又 A  - D, D j B 则 

丢  < 丢 <+  ≤   ≤  吾 + ÷n + ÷ ≤< 矗     +
l +1:( k+1 2 ).  

n=k  +k- 1 4  -
口 


O /A . Pl D  因为 P为 B D的  中点, 以, 为 A   所 0 B 的 中点.  
在 R △ O C中, t B   因  上 O 所 以 , C,  
BC2: CP . CD
. 

故=:::    {:::    : 萎 : :: :
C  

注 意到 口 =2  , ,

图4  

Ⅱ  0【 丽 + =0. 2 0+ 0 l    2  】25  5  
① 
从而 ,   A, 中, A=  其  
A :{l < < i 1 , ∈ N}  1   4  , ni n (+ ) /     t  i   . 4 .   (: . …. ) 2

过  、 D作 圆 , A B、 交 C于 点 Q  . 由O B上 B 知 B C, C是 QO的切 线.  

中 等 数 学 

A5 20 6 20 7 … , 0 5 . 4 ={ 2 , 2 , 2 5 }    

因 I  =[ i ) A l ( +1 一1 一i ]  
=  i , , ,4 , 2( =l2 … 4 ) 
IA4 I.2 0   5     55—2 0 5 =3    2 0,

而 (8 ,)=1故 7l  4 17 ,  . t 。   令 t 7. k= s 2 t 4 r 4 . : r则 3 = 1 =1 7 ≥17  
故 后的最小值 为 17 4。  

所以, 所有符 合条件 的正整数 k的集合 为  { i 12 … ,4 . 2I: , , 4 }  

四、 c 设 共赛了 C 则比赛的人次数之  场. 和为 口 b C但每场比赛产生 2 + +. 个比赛人次  数, 于是, 一共 比赛了   场.  

三、 同余式可变为  (   ( d7 )  5 ) 暑1 mo 。 ,
即 ( 9x 2 一1 0 m d7 ) 8  7+ ) - ( o   .  
展开得  .  

所以, c当裁判的场数为 
. 

e +6+C l ,  
—   一  

0+6—  
—   一

。  

(9 7 x k + ls 7 x   +   1 8x ) 2   c( 9x ) 2 2 一 


因为若 c在某场 中当裁判 , 则他必在下 
场 中 比赛 , 以 , 何 连 续 两场 中 C都不  所 任

=0 mo   . f i7 ) ( l  
于是 ,  2 7l  一1 , 2 1 m d7 . ( ) 即   ( o  )  

① 

能连续当裁判. 于是 ,  

≤ +. c 1  

由 2 暑2 mo  ) 2 -4 r d7 ,    ( d7 ,  ( o  ) 2 言  o

lm d7 , 2对模 7的次 数是 3 故 3 k ( o )即 ,  . I 

解 ≥ 得c 喜 .  
又c 为整数 , 则 

令 k 3. = s代人式①得 

c( ×) 2   c(  )2 + +  1  8 7 x +; 97x 9 。n 8 x   ( 1一 7)  


0 m d7 ) ( o    .  

c  ≥ 【

音】 ab = +. 】  
、  

则  (9 7 × 8x )  

+  8 7 × 3 + c(9x ) 2    ,

c   c7 0 m d  . : +  - ( o 7) 7     故 C 8  7 2 +  9 2 +  ̄9 x  。 c 8 X 。   , x     
c7 +C -0 m o7 )      ( o   .   ②  所 以 ,s 8 2 +s 0 m d7 . 3 × 9×   - ( o  )  
又 2 兰 3 x   2) x 2 2( o ) 3 2  2-(   2-  , d , , I   n 7  则 3  4   2 s ( o  ) 即  s 0X  + -o m d7 , x
4 1-0 ro  ) 8 s ( d7 . o  

当 += 时c[ 】 。63 ,   =   ≥  

用( , c 表示 A   比赛, / , ) l 、 G当裁判的   场次. 当所有 比赛场次 为 
{ 垦 2(  , ): , 垦 )(  ,)  。 , ,  , 垦 ,:( , , :  ,  , 垦 


扬 

时 , 口=2 , kc k 有 kb= , = .  

当 += +时c[ 】| n63 l ,   =. k ≥ j }  
但 n+b c ( d2 , 而 ,#k + -0 mo  ) 从 c .   于是 ,≥I+ . C j 1 }  

而 ( 8 ,)=l 因此 ,  4 17 , 7 令 s 7 入式② 得  =  代
×9 × x   82 7 2
二 

+ 1 9 2l1  2   x  '+ l

当所有 比赛场 次为 
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2场   

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时 , 0= k b= 有 2 , k+1 c , =k+1 .  

则2  1 1 x 9 x   + t 8 2l    — ( t- ) 8  2  3x9   _+ h2 l   x f



二 

当 +: +时c[ 卜. 口63 2 ,   j k ≥ } .  
当所有 比赛 场次 为  I ,)  旦 ,: 垦£  ,,)( , C   旦 , ,,) :f,,2( £墨,A , )   【 :,  
2 场   

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所 以 ,t 8   2“ + -0 m d7 . 3  9X    t ( o  ) X  
又 2  


时 , Ⅱ:2 有 k+1 b k+1c= . ,= , k  

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综 , = 】r 中r I1  上c 【 +其 , o}     , ∈ ,,
且 使得 2lⅡ+b ) ( +c .  

4 1-0 ro  ) 8 t ( d7 . o  

( 冯跃峰

广 东省深圳 市高级 中学 ,100  584 )



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