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第1部分 第三章 3.4 基本不等式:



3.4
第 三 章 基本 不等 式:

理解教材新知

知识点 题型一

突破常考题型 跨越高分障碍 应用落实体验

题型二 题型三

不 等 式

随堂即时演练
课时达标检测

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[提出问题

] 问题 1:若 a、b∈R,则代数式 a2+b2 与 2ab 有何大小关 系?

提示: ∵(a2+b2)-2ab=(a-b)2≥0.∴a2+b2≥2ab.
问题 2:上述结论中,“=”号何时成立?

提示:当且仅当 a=b 时成立.

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问题 3:若以 a, b分别代替问题 1 中的 a,b,可得出什 么结论?
提示:a+b≥2 ab.

问题 4:问题 3 的结论中,“=”何时成立?
提示:当且仅当 a=b 时成立.

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[导入新知] 1.重要不等式 当 a,b 是任意实数时,有 a2+b2≥ 2ab ,当且仅当
a=b 时,等号成立.

2.基本不等式

a+b 1.有关概念:当 a,b 均为正数时,把 2 叫做正数
a,b 的算术平均数,把 ab 叫做正数 a,b 的几何平均数.

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2.不等式:当 a,b 是任意正实数时,a,b 的几何平均数 a+b 不大于它们的算术平均数, 即 ab≤ 2 , 当且仅当 a=b 时, 等号成立.
?a+b? ?2 (3)变形:ab≤? ? 2 ? ,a+b≥2 ? ?

ab(其中 a>0,b>0,

当且仅当 a=b 时等号成立).

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[化解疑难] 1.基本不等式成立的条件:a>0 且 b>0;其中等号成立 的条件: 当且仅当 a=b 时取等号, 即若 a≠b 时, 则 a+b 即只能有 ab< . 2 2.从数列的角度看,a,b 的算术平均数是 a,b 的等差中 项,几何平均数是 a,b 的正的等比中项,则基本不等式可表 示为:a 与 b 的正的等比中项不大于它们的等差中项. a+ b ab≠ , 2

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[例 1] c2a2.
[证明]

已知 a,b,c∈R,求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+
由基本不等式可得:

a4+b4=(a2)2+(b2)2≥2a2b2, 同理:b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2a2c2, ∴(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4)≥2a2b2+2b2c2+2a2c2, 从而 a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.

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[类题通法] 1.利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必 须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式 或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果. 2.注意多次运用基本不等式时等号能否取到.

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[活学活用] 1.已知 a,b 是正数,求证 ≤ ab. 1 1 a+b 2

证明:∵a>0,b>0, 1 1 ∴a+b≥2 1 2 2 2 = ab,即 ≤ ab ab>0,∴1 1≤ 1 1 1 + a b 2 ab a+b

(当 a=b 时取“=”).

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[例 2]

1 (1)已知 m,n>0,且 m+n=16,求 mn 的最大值. 2

4 (2)已知 x>3,求 f(x)=x+ 的最小值; x-3 1 1 (3)设 x>0,y>0,且 2x+y=1,求 + 的最小值. x y

[解]

(1)∵m,n>0 且 m+n=16,
?m+n?2 ?16?2 ? =? ? =64, mn≤? 2 ?2? ? ?

所以由基本不等式可得

1 当且仅当 m=n=8 时,mn 取到最大值 64.∴ mn 的最大值为 32. 2

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4 4 (2)∵x>3,∴x-3>0, >0,于是 f(x)=x+ =x-3 x-3 x-3 4 + +3≥2 x- 3 4 ?x-3?· +3=7, x-3

4 当且仅当 x-3= 即 x=5 时,f(x)取到最小值 7. x-3

1 1 2x+y 2x+y (3)法一:∵x>0,y>0,2x+y=1,∴ + = + =3 x y x y y 2x +x+ y ≥3+2 等号成立, y 2x y 2x x· y =3+2 2,当且仅当x= y ,即 y= 2x 时,

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2 2 解得 x=1- ,y= 2-1,∴当 x=1- ,y= 2 2 2 1 1 -1 时,x+ y有最小值 3+2 2.
?1 1? 1 1 ?1 1? 2x y ? ? ? ? 法二:x+y = x+y · 1= x+y (2x+y)=3+ y +x≥3 ? ? ? ?

+2

y 2x x· y =3+2 2, 以下同解法一.

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[类题通法] 1.利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相 a+b 等”的原则,即(1)一正:符合基本不等式 ≥ ab成立的前提 2 条件,a>0,b>0; (2)二定:化不等式的一边为定值; (3)三相等:必须存在取“=”号的条件,即“=”号成立. 以上三点缺一不可.

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2.若是求和式的最小值,通常化(或利用)积 为定值;若是求积的最大值,通常化(或利用)和为 定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分项或配 凑因式.

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[活学活用] 2.(1)已知 lg a+lg b=2,求 a+b 的最小值; (2)已知 x>0,y>0,且 2x+3y=6,求 xy 的最大值. 1 9 (3)已知 x>0,y>0,x+ y=1,求 x+y 的最小值.

解:(1)由 lg a+lg b=2 可得 lg ab=2, 即 ab=100, 且 a>0, b>0, 因此由基本不等式可得 a+b≥2 ab=2 100 =20,

当且仅当 a=b=10 时,a+b 取到最小值 20.

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(2)∵x>0,y>0,2x+3y=6,
? 1 1? ?2x+3y?2 ∴xy= (2x· 3y)≤ · 6 6? 2 ? ? ?

1 ?6?2 3 ? ? = ,当且仅当 2x=3y, = · 6 ?2? 2 3 3 即 x= ,y=1 时,xy 取到最大值 . 2 2

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?1 9? 1 9 9x y y 9x (3)∵x+ y =1,∴x+y=(x+y)×?x+ y?=1+ y +x+9=x+ y ? ?

+10,又∵x>0,y>0, y 9x ∴x+ y +10≥2 时,等号成立. y 9x y 9x x× y +10=16,当且仅当x= y ,即 y=3x

? ? ?y=3x, ?x=4, 由? 1 9 得? 即当 x=4, y=12 时, x+y 取得最 ?y=12, ? ? ?x+y =1,
小值 16

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[例 3]

如图所示,动物园要围成相

同面积的长方形虎笼四间,一面可利 用原有的墙,其他各面用钢筋网围成. (1)现有可围 36 m 长的材料, 每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为 24 m2,则每间虎笼的长、宽各设 计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?

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[ 解] 36,

(1)设每间虎笼长为 x m,宽为 y m,则由条件得 4x+6y=

即 2x+3y=18,设每间虎笼面积为 S,则 S=xy. 由于 2x+3y≥2 ∴2 号成立,
? ?2x+3y=18, 由? ?2x=3y, ? ? ?x=4.5, 解得? ?y=3, ?

2x· 3y=2

6xy,

27 27 6xy≤18,得 xy≤ ,即 S≤ ,当且仅当 2x=3y 时,等 2 2

故每间虎笼长为 4.5 m,宽为 3 m 时,可使面积最大.

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(2)法一:由条件知 S=xy=24,设钢筋网总长为 l, 则 l=4x+6y. ∵2x+3y≥2 2x· 3y=2 6xy=24,

∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当 2x=3y 时,
? ?2x=3y, 等号成立. 由? ? ?xy=24, ? ?x=6, 解得? ? ?y=4.

故每间虎笼长 6 m

时,宽 4 m 时,可使钢筋网总长最小.

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24 96 法二:由 xy= 24,得 x= .∴l= 4x+ 6y= + 6y= y y
?16 ? 6? y +y?≥6×2 ? ?

16 16 y=48,当且仅当 y =y,即 y=4 时, y·

等号成立.此时 x=6. 故每间虎笼长 6 m,宽 4 m 时,可使钢筋网总长最小.

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[类题通法] 在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下的思路和 方法: (1)先理解题意, 设出变量, 一般把要求最值的量定为函数; (2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值 或最小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)根据实际背景写出答案.

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[活学活用] 3.某汽车公司购买了 4 辆大客车,每辆 200 万元,用于 长途客运,预计每辆车每年收入约 100 万元,每辆车第一年 各种费用约为 16 万元,且从第二年开始每年比上一年所需费 用要增加 16 万元. (1)写出 4 辆车运营的总利润 y(万元)与运营年数 x(x∈N*) 的函数关系式;

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(2)这 4 辆车运营多少年,可使年平均运营利润最大?
解:(1)依题意,每辆车 x 年总收入为 100x 万元, 1 总支出为 200 + 16×(1 + 2 + ? + x) = 200 + x(x + 1)· 16( 万 2
? ? 1 16?=16(-2x2+23x-50). 元).∴y=4?100x-200-2x?x+1?· ? ?

(2)年平均利润为
? ? ? 50? 25?? y =16?23-2x- x ?=16?23-2?x+ x ??. x ? ? ? ?? ?

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又 x∈N*, 25 ∴x+ ≥2 x 25 x· =10, x

当且仅当 x=5 时,等号成立, y 此时 ≤16×(23-20)=48. x ∴运营 5 年可使年平均运营利润最大,最大利润为 48 万元.

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7.基本不等式应用中的易误点
[典例] 小值是 7 A. 2 9 C. 2 B.4 D.5 1 4 已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y=a+b的最

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[解析]

∵a+b=2,

a+ b a + b? 1 4 ?1 4? ? 5 ?2a b ? 5 ? ? ∴ = 1. ∴ a + b = ?a+b? ? = + ? b +2a? ≥ + 2 ? 2 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? 2a b 9 = b· 2a 2
? ? 2a b ?当且仅当 = ,即b=2a时,等号成立 ?. b 2a ? ?

1 4 9 故 y= + 的最小值为 . a b 2

[答案] C 返回

[易错防范] 1.解答本题易两次利用基本不等式,如 ?a+b?2 ∵a>0,b>0,a+b=2,∴ab≤ =1. 4 1 4 又 y=a+b≥2 又 ab≤1,∴y≥4 4 ab=4 1 =4. 1 1 ab,

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但它们成立的条件不同, 一个是 a=b, 另一个是 b=4a, 这显然是不能同时成立的,故不正确. 2. 使用基本不等式求最值, 其失误的真正原因是对其前 提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最 值,这三个条件缺一不可. 3.在运用 重要不等 式时,还要特别 注意 “ 拆 ”“ 拼 ”“ 凑 ” 等 技 巧 , 使 其 满 足 重 要 不 等 式 中 “正”“定”“等”的条件.

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[成功破障] (2012· 福建高考)下列不等式一定成立的是( 1 A.lg(x + )>lg x(x>0) 4
2

)

1 B.sin x+ ≥2(x≠kπ,k∈Z) sin x C.x2+1≥2|x|(x∈R) 1 D. 2 >1(x∈R) x +1

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1 1 3π 2 解析: 取 x= , 则 lg(x + )=lg x, 故排除 A; 取 x= , 2 4 2 1 则 sin x=-1,故排除 B;取 x=0,则 2 =1,故排除 D. x +1

答案:C

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[随堂即时演练] 1 1.已知 f(x)=x+x-2(x<0),则 f(x)有( A.最大值为 0 C.最大值为-4 )

B.最小值为 0

D.最小值为-4 ? 1 ? ? 解析:∵x<0,∴f(x)=-??-x?+?-x?? ?-2≤-2-2=-4, ? ?

1 当且仅当-x= ,即 x=-1 时取等号. -x
答案:C

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2.若 a>b>0,则下列不等式成立的是( a+ b A.a>b> > ab 2 a+b B.a> > ab>b 2 a+b C.a> >b> ab 2

)

a+b D.a> ab> >b 2 a+a a+b 解析:a= > > ab> b· b=b,因此只有 B 项正确. 2 2

答案:B

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3. 若 x, y∈R+, 且 x+4y=1, 则 x· y 的最大值为________.
解析:1=x+4y≥2 4y 时等号成立.
1 答案: 16

4xy=4

1 xy,∴xy≤ ,当且仅当 x= 16

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2 5 4.已知 x>0,y>0,lg x+lg y=1,则 z=x+ y 的最小值为 ________.
2 5 解析:由已知条件 lg x+lg y=1,可得 xy=10.则x+ y≥2
?2 5? 10 ? + ?最小值=2, = 2 ,故 xy ?x y ?

当且仅当 2y=5x 时取等号.又 xy=10,即 x=2,y=5 时等 号成立.
答案:2

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bc 5.已知 a,b,c 均为正数,a,b,c 不全相等.求证: a + ac ab b + c >a+b+c.
bc ac 证明:∵a>0,b>0,c>0,∴ + ≥2 a b ≥2 a2bc bc ab bc =2a, a + c ≥2 bc ab a· c =2b.

abc2 ac ab =2c, + ab b c

又 a,b,c 不全相等,故上述等号至少有一个不 bc ac ab 成立.∴ a + b + c >a+b+c.
“课时达标检测”见“课 时跟踪检测(十九)”

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