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高二数学期末测试题



高二数学期末测试题

题号





三 16 17 18 19 20 21 22

总分

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知 a, b, c ? R ,下列命题正确的是 A. a ? b ? ac2 ? bc2

r />1 1 C. a ? b ? ?? ?
3 3

( B. a ? b ? a ? b
c c



ab ? 0 ?

D. a

a

b

? b2 ? 1 1 ?? ? a b ab ? 0 ?
2

2.过点 M(-4,3)和 N(-2,1)的直线方程是 A. x ? y ? 3 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

( D. x ? y ? 3 ? 0 (



3.圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 1关于直线 x ? y ? 0 对称的圆的方程是 A. ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 1 C. ( x ? 4) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 B. ( x ? 4) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 D. ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 1



2 2 4.过椭圆 x ? y ? 1 的焦点且垂直于 x 轴的直线 l 被此椭圆截得的弦长为





4

3

A.

3 2

B. 3

C. 2
3

D.3 ( )

5.若 a ? 0, b ? 0 ,则与不等式 ? b ? A. x ? ? 或 x ? C. ?

1 ? a 等价的是 x
B. ? D. ?

1 b

1 a

1 a

? x ?

1 b

1 1 ? x ? 0或0 ? x ? b a

1 1 ? x ? 0或0 ? x ? a b
( )

6.若 a、 b ? R, | a | ? | b |? 1 成立的充分不必要条件 A. | a ? b |? 1 C. a ? 1

1 1 且 | b |? 2 2 b ? ? 1 D.
B. | a |?
高二数学期末第 1 页(共 6 页)

7.与椭圆

10 x2 y2 ? ? 1 共焦点,且两准线间的距离为 的双曲线方程为 3 16 25
B.





A.

y2 x2 ? ?1 5 4

x2 y2 ? ?1 5 4
1 3

C.

y2 x2 ? ?1 5 3

D.

x2 y2 ? ?1 5 3
( )

8.不等式 y ? x(1 ? 3 x)( 0 ? x ? ) 的最大值是 A.

4 243

B.

1 12

C.

1 64

D.

1 72

9.两定点 A(-2,-1) ,B(2,-1) ,动点 P 在抛物线 y ? x 2 上移动,则△PAB 重心 G 的轨迹方程是 A. y ? x ?
2





1 3

B. y ? 3 x ?
2

2 3

C. y ? 2 x ?
2

2 3

D. y ?

1 2 1 x ? 2 4
( )

10.直线 3x ? y ? 2 3 ? 0截圆x 2 ? y 2 =4 得的劣弧所对的圆心角为 A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2
( )

11.不等式 |

x x |? 的解集是 x?2 x?2
B. (?2,0] C.R

A. (-2,0) 12.定长为 l (l ?

D. (??,?2) ? (0,??)

2b 2 ) 的线段 AB 的端点在双曲线 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 的右支上,则 AB 中 a

2

C. a(l ? 2a) 2 a ?b 2 a ?b 2 a2 ? b2 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
2 2
2

点 M 的横坐标的最小值为 al A. B. a ? l



D. a(l ? 2a) 2 a2 ? b2 .

13.若不等式

x?a ? 0的解集为{x | ?3 ? x ? ?1或x ? 2} ,则 a= x ? 4x ? 3
2

2 2 14.设椭圆 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F1,右准线为 l1,若过 F1 且垂直于 x 轴的弦长等 2 2

a

b

于 F1 到 l1 的距离,则椭圆的离心率为

.

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,P 是双曲线上的点,已知|PF1|,|PF2|,|F1F2| 15.F1,F2 是双曲线 4 45
依次成等差数列,且公差大于 0,则∠F1PF2= 16.给出下列命题:
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.

(1)角 ?是y ? x tan? ? 2 的倾斜角 (2)若 x、 y ? R, 则" xy ? 0"是"| x ? y |?| x | ? | y |" 的充要条件 (3)若 x ? R ? , 则2 x ? 2 ? x 的最小值为 2 (4)若定义 x * y ? ( x ? 1)( y ? 1) ? 1, 则( x ? 1) * ( x ? 1) ? x * x ? 1 其中正确命题的序号是 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) .

17.已知不等式 log2 (ax2 ? 3x ? 6) ? 2的解集是 {x | x ? 1或x ? b} . (1) 求 a,b 的值, (2)解不等式

c?x ? 0 (c 为常数).(12 分) ax ? b

18.求过点 P(1,6)与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25 相切的直线方程.(12 分)

19.已知椭圆

4 x2 y2 3. ? 2 ? 1 ,其长轴长是短轴长的 2 倍,右准线方程为 x ? 2 3 a b

(1)求该椭圆方程, (2)如过点(0,m) ,且倾斜角为

? 的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点,当△AOB(O 为 4

原点)面积最大时,求 m 的值.(12 分)

20.已知抛物线的顶点在原点,它的准线经过曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,且与 x 轴垂直, a2 b2

抛物线与此双曲线交于点(

3 , 6) ,求抛物线与双曲线的方程.(12 分) 2

21.某工厂库存 A、B、C 三种原料,可用来生产 Z、Y 两种产品,市场调查显示可获利润等 各数据如下表:
高二数学期末第 3 页(共 6 页)

A 库存量(件) Z(每年用料) Y(每件用料) 100 1 4

B 125 2 3

C 156 3 1

每件产品利润 (I) 2000 1000 (II) 1000 3000

问:若市场情况如(I) ,怎样安排生产能获得最大利润? 若市场情况如(II) ,怎样安排生产才能获得最大利润?(12 分)

22.已知抛物线 y 2 ? ?4 x 的焦点为 F,其准线与 x 轴交于点 M,过点 M 作斜率为 k 的直线 l 交抛物线于 A、 B 两点, 弦 AB 的中点为 P, AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 E ( x 0 , O) . (1)求 k 的取值范围 (2)求证: x0 ? ?3 (3)△PEF 能否成为以 EF 为底的等腰三角形?若能,求出 k 的值,若不能,请说明理 由.(14 分)

高二数学期末测试题参考答案
一、1. C 二、13.-2 2.B 3.B 4.D 5.A 6.D 7.A 8.B 9.B 10.C 11.A 12.D 14.

1 2

15.120°

16. (4)

三、17. (1)a=1, b=2 (3)c<-2 时,解集为(c,-2); c=-2 时空集;c>-2 时, 解集为(-2,c) 18.解:∵圆心为(-2,2) ∴|OP|=5 则 P 在圆上,且切线的斜率存在. 设切线方程为 y ? 6 ? k ( x ? 1)即kx ? y ? k ? 6 ? 0 由 | ?2k ? 2 ? k ? 6 | ? 5, 解得k ? ? 3 ? 切线方程为 3x ? 4 y ? 27 ? 0 4 k 2 ?1 19.解(1)? a ? 2b, 又a ? 4 3
c 3
2

?c2 ? a2 ? b2 ?

3 2 a 4

e?

c 3. ? a 2
x2 ? y2 ? 1 4

? a ? 2, c ? 3, b ? 1

? 椭圆方程为

(2)设 l : y ? x ? m ,代入椭圆方程得 5x 2 ? 8m x ? 4m 2 ? 4 ? 0

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2 令 ? ? 64m2 ? 20(4m2 ? 4) ? 0得 ? 5 ? m ? 5 .设 A( x , y ) B( x , y )则x ? x ? ? 8 m, x x ? 4m ? 4 1 2 2 2 1 2 1 2

5

5

? | AB |? 2 | x1 ? x2 |? 2
? S ?OAB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

4 2 5 ? m2 5

原点 O 到 l 的距离 d ? | m |
2

1 2 2 5 25 | AB | ?d ? | m | ? 5 ? m 2 ? ? (m 2 ? ) 2 ? 2 5 5 2 4

5 ? 当m 2 ? 时 ,S 取得最大值. 即当△AOB 的面积最大时, m ? ? 10 . 2 2

20.解:由题意可知抛物线的焦点到准线间的距离为 2C(即双曲线的焦距). 设抛物线的方程为 y 2 ? 4cx. ∵抛物线过点 ( 3 , 6 ) ? 6 ? 4c ? 3 ? c ? 1即a 2 ? b 2 ? 1 ① 2 2
( ) 2 又知 2 ? ( 6 ) ? 1 2 2 a b 3
2

?

9 6 ? 2 ? 1② 2 4a b
2

由①②可得 a 2 ? 1 , b 2 ? 3
4 4

∴所求抛物线的方程为 y ? 4 x ,双曲线的方程为 4 x 2 ? 4 y 2 ? 1 3 21.解:设安排生产产品 Z、Y 的件数分别为 x,y,利润总额为 S 元. ? x ? 4 y ? 100 ? 由题意得约束条件为 ?2 x ? 3 y ? 125 如图,作出可行域. ? ?3x ? y ? 156 ? ? x ? 0, y ? 0 若市场情况如(I) ,则目标函数 S ? 2000x ? 1000y 作直线 l1 : 2000x ? 1000y ? 0即2 x ? y ? 0 . 把 l1 向右上方平移到 l1′的位置时,直线经过可行域 上的点 C,且与原点距离最大,此 时 S 取得最大值. 解 ?
C

?2 x ? 3 y ? 125 得c点坐标.x ? 49, y ? 9 .此即所求最优解. ?3x ? y ? 156

若市场情况如(II)则目标函数 S ? 1000x ? 3000y, 作直线l 2 : 1000x ? 3000y ? 0 即 x ? 3y ? 0 , 把 l2 向右上方平移至 l2′的位置时,直线经过可行域上的点 B,且与原点距
2 x ? 3 y ? 125 ? x ? 40 此即所求最优解. 离最大,此时 S 取得最大值,解方程组 ? 得B点坐标? . ? x ? 4 y ? 100 ? ? y ? 15 答:若市场情况如(I) ,应生产 Z、Y 各 49 件和 9 件. 若市场情况如(II) ,应生产 Z、Y 各 40 件和 15 件.

22.解:由题设有 F (?1,0), M (1,0) (1)设 l : y ? k ( x ? 1),由? y ? k ( x ? 1)得k 2 x 2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0 ? 2
? y ? ?4 x

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令 ? ? 4(k 2 ? 2) 2 ? 4k 4 ? ?16k 2 ? 16 ? 0得 ? 1 ? k ? 1
2 (2)设 AB 中点为 P( x P , y P ),则x P ? x1 ? x2 ? k ? 2 , y P ? k ( x ? 1) ? ? 2 2

2

k

k

∴AB 的垂直平分线的方程为 y ? 2 ? ? 1 ( x ? k ? 2 ) k k k2
2

令 y ? 0得x0 ? ?1 ? 2 2
k

?k2 ?1

??

2 ? ?2 k2

? x0 ? ?3

(3)? F (?1,0), E (?1 ?
?1 ?1 ? 2 2 k2

2 2 2 ,0), P(1 ? 2 ,? ). ? ?PEF 是以 EF 为底的等腰三角形. 2 k k k

2 ?1 ? 2 ? k

1 2 ? k 2 ? , 则k ? ? ? (?1,1) 2 2
2

∴△PEF 能构成以 EF 为底的等腰三角形,此时 k ? ? 2

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