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§3.1.1不等关系与不等式(一)



§3.1.1不等关系与不等式(一)

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

§3.1.1不等关系与不等式(一)

不等关系 人与人的年龄大小、高矮胖瘦, 物与物的形状结构,事与事的成因 与结果的不同等等都表现出不等关 系,这表明现实世界中的量,不等 是普遍的、绝对的,而相等则是局 姚明身高>奥尼

尔身高 部的、相对的。

行车速度 V≤40km/h
2013-1-21

碘含量 > 150微克/100克
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§3.1.1不等关系与不等式(一)

问题1 设点A与平面?的距离为d,B为平面?上 的任意一点,则d≤|AB|. A

d

?

B

B B

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问题2 :某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以 销售出8万本。据市场调查,若单价每提高0.1元, 销售量就可能相应减少2000本,若把提价后杂志的 定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入仍 不低于20万元呢? 分析:若杂志的定价为x元,则销售的总收入为
x ? 2.5 (8 ? ? 0.2)x 万元。 0.1

那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可 以表示为不等式
x ? 2.5 (8 ? ? 0.2) 20 ? 0.1
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问题3:某钢铁厂要把长度为4000 mm的钢管截成 500 mm和600 mm两种,按照生产的要求,600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍,怎样 写出满足上述所有不等关系的不等式呢?
分析:假设截得500 mm钢管x根,截得600 mm钢管y根。 根据题意,应有如下的不等关系: (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000 mm; (2)截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管 数量的3倍; (3)截得两种钢管的数量都不能为负。 500x ? 600y ? 4000 ; 要求同时满足上述 3 x ? y; 三个不等关系,可以用 x ? 0; 下面的等式组来表示:

y ? 0.

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练习1:若需在长为4000mm圆钢上,截出长为 698mm和518mm的两种毛坯,问怎样写出满足上述 所有不等关系的不等式组? 分析:设698mm与518mm分别x与y个

?698 x ? 518 y ? 4000 ?x ? 0 ?y ? 0 ? x, y ? N ?
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练习2 、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生 产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝 酸盐18吨;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是 磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。现有库存磷酸盐10吨、 硝酸盐66吨,在此基础上进行生产。请用不等式组 把此实例中的不等关系表示出来。 分析:设分别生产甲.乙两种肥料为x吨,y吨

?4 x ? y ? 10 ?18 x ? 15 y ? 66 ?x ? 0 ?y ? 0 ?
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练习3、某年夏天,我国遭受特大洪灾,灾区学生 小李家中经济发生困难,为帮助小李解决开学费用 问题,小李所在班级学生(小李除外)决定承担这 笔费用。若每人承担12元人民币,则多余84元;若 每人承担10元,则不够;若每人承担11元,又多出 40元以上。问该班共有多少人?这笔开学费用共多 少元? 分析:设该班除小李外共有x人,这笔开学费用共 y元,则:

?12 x ? y ? 84 ?10 x ? y ?11 x ? y ? 40 ?x ? N * ?

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基本概念
①不等式的定义: 我们用数学符号“≠”,“>”,“<”, “≥(≮) ”,“≤ (≯)”连接两个数或代数式,以表示

它们之间的不等关系。含有这些不等号的式子叫做
不等式。 ②同向不等式: 在两个不等式中,如果每一个的左边都大于 右边,或每一个的左边都小于右边. ③异向不等式: 在两个不等式中,如果一个不等式的左边大 于右边,而另一个的左边小于右边.
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§3.1.1不等关系与不等式(一)

两实数之间的大小关系 实数与数轴上的点有什么样的对应关系? 实 数之间的大小在数轴上有何体现? 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表 示的数, 从实数的减法在数轴上的表示可知, 两 实 数间的大小与两数之差有如下关系: a>b a=b a<b

?a–b>0 ?a – b = 0 ?a – b < 0
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不等式的性质
性质1:

如果a ? b, 那么b ? a; 如果b ? a, 那么a ? b. (a ? b ? b ? a) (对称性) 证明: (1) ? a ? b, (2) 由b ? a ? b ? a ? 0,

? a ? b ? 0,

? (a ? b) ? 0, 即 ? a ? b ? 0, (b ? a ? 0) ? b ? a.

由正数的相反数是负数,得

? (b ? a) ? 0, 即 ? b ? a ? 0, (或a ? b ? 0) ? a ? b.
把不等式左右两边交 换,所得不等式与原不 等式为异向不等式.
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? a ? b ? b ? a.

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不等式的性质
性质2:

如果a ? b, 且b ? c, 那么a ? c. (a ? b, 且b ? c ? a ? c) (传递性)

证明:? a

? b, b ? c, ? a ? b ? 0, b ? c ? 0,

根据两个正数的和仍是正数,得

(a ? b) ? (b ? c) ? 0, 即a ? c ? 0,

推论: 由a ? b, 且b ? c ? a ? c.
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?a ? c.

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不等式的性质
性质3:

如果a ? b, 那么a ? c ? b ? c.
(加法单调性)

( a ? b ? a ? c ? b ? c)
证明: ? (a ? c) ? (b ? c)

?a ? c ? b ? c

? a ?b ? 0

由性质定理3可以直接推得:

a ? b ? c ? a ? b ? (?b) ? c ? (?b) ? a ? c ? b

移项法则:不等式中任何一项改变符号后,可以把 它从一边移到另一边.

不等式有可加性,可移项性.
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不等式的性质应用举例
例1.求证: 如果a ? b, 且c ? d , 那么a ? c ? b ? d . 相加法则

a ? b ? a?c ? b?c? 证明: ? ? a?c ?b?d c ? d ?b?c ? b?d?

同向可加性

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不等式的性质应用举例 例2. 比较

5 ? 11与 3 ? 13 的大小.

解: 5 ? 11 2 ( )=5+2 5 ? 11 ? 11 ? 16 ? 2 55

( 3 ? 13) ? 3+2 3 ? 13 ?13 ? 16 ? 2 39

? 2 55 ? 2 39
?16 ? 2 55 ? 16 ? 2 39
2 即( 5 ? 11) ? ( 3 ? 13)2

? 5 ? 11 ? 3 ? 13
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§3.1.1不等关系与不等式(一)

为什么“糖水加糖甜更甜”呢? 转化为数学问题: a 克糖水中含有 b 克糖(a > b > 0), 若再加入 m (m > 0)克糖, 则糖水更甜了, 为什么?
b 起初的糖水浓度为 , 加入 m 克糖后的糖水 a

浓度为 b ? m ,
a?m

b?m b ? 可以证明 成立. a?m a
你能证明吗?预习下一节内容,给出证明.
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§3.1.1不等关系与不等式(一)

小结 1. 两 实数间的大小与两数之差有如下关系:
a>b?a–b>0 a=b?a–b=0 a<b?a–b<0
2. 不等式的基本性质:

性质1:
性质2:

如果a ? b, 且b ? c, 那么a ? c. (a ? b, 且b ? c ? a ? c) (传递性) 性质3: 如果a ? b, 那么a ? c ? b ? c.
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如果a ? b, 那么b ? a; 如果b ? a, 那么a ? b. (a ? b ? b ? a) (对称性)

(a ? b ? a ? c ? b ? c) (加法单调性)
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§3.1.1不等关系与不等式(一)

课堂练习 <<教材>> P.74

练习1.3

书面作业
<<教材>> P.75 习题3.1 A组2.3

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