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高考复习----解三角形



解三角形
知识点总结
1.正弦定理:形式一: (解三角形的重要工具)

a b c ? ? ? 2 R 或变形: a : b : c ? sin A : sin B : sin C sin A sin B sin C

?a ? 2R sin A ? ?b ? 2 R sin B ?c ? 2R sin C 形式二: ?



(边角转化的重要工具)

判断三角解时,可以利用如下原理: sinA > sinB

? A > B ? a > b

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2.余弦定理: ?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 或 ?c 2 ? b 2 ? a 2 ? 2ba cos C ?

? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? ? 2bc ? 2 a ? c2 ? b2 ? . ?cos B ? 2ac ? ? b2 ? a 2 ? c2 cos C ? ? 2ab ?

3. (1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题:1、已知三边求三角. 2、 已知两边和他们的夹角, 求第三边和其他两角. 4.判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式. 5. 三角形中的基本关系: sin( A ? B) ? sin C, cos( A ? B) ? ? cos C, tan( A ? B) ? ? tan C,

sin
已知条件 一边和两角 (如 a、B、C)

A? B C A? B C A? B C ? cos , cos ? sin , tan ? cot 2 2 2 2 2 2
一般解法 由 A+B+C=180˙,求角 A,由正弦定理求出 b 与 c,在有解时 有一解。

定理应用 正弦定理

两边和夹角 (如 a、b、c) 三边 (如 a、b、c)

余弦定理

由余弦定理求第三边 c,由正弦定理求出小边所对的角,再 由 A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解。

余弦定理

由余弦定理求出角 A、B,再利用 A+B+C=180˙,求出角 C 在有解时只有一解。

6. 内角和定理: 在 ? ABC 中, A ? B ? C ? ? ; sin( A ? B) ? sin C ; cos( A ? B) ? ? cos C ;

sin

A? B C A? B C A? B C ? cos ; cos ? sin ; tan ? cot 2 2 2 2 2 2.

7.面积公式: 8.二倍角:

S?ABC ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ca sin B 2 2 =2

1.在 △ ABC 中, cos B ? ?

5 4 , cos C ? . 13 5

33 ,求 BC 的长. 2 5 12 4 3 解: (Ⅰ)由 cos B ? ? ,得 sin B ? ,由 cos C ? ,得 sin C ? . 13 13 5 5 33 所以 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? . 65 33 1 33 33 (Ⅱ)由 S△ ABC ? 得 ? AB ? AC ? sin A ? ,由(Ⅰ)知 sin A ? , 2 2 2 65 13 AB ? sin B 20 20 ? AB ,故 AB 2 ? 65 , AB ? . 故 AB ? AC ? 65 ,又 AC ? 2 sin C 13 13 AB ? sin A 11 ? . 所以 BC ? sin C 2
(Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)设 △ ABC 的面积 S△ ABC ? 2.已知函数 f ( x) ? sin
2

? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2
? ? 2π ? ? ?

? ?

π?

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3 解: (Ⅰ)

f ( x) ?

1 ? cos 2? x 3 3 1 1 π? 1 ? ? sin 2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? ? sin ? 2? x ? ? ? . 2 2 2 2 2 6? 2 ?
2π ? π ,解得 ? ? 1 . 2?

因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 ,所以 (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得 f (x ) ? s n i 2 ? x?

? ?

2π π π 7π π? 1 因为 0 ≤ x ≤ , 所以 ? ≤ 2 x ? ≤ , ?? . 3 6 6 6 6? 2

1 π? π? 1 3 ? ? ? 3? 因此 0 ≤ sin ? 2 x ? ? ? ≤ , 即 f ( x ) 的取值范围为 ?0, ? . ? ≤ sin ? 2 x ? ? ≤1 , 2 6? 6? 2 2 ? ? ? 2?
3.求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos2 x ? 4cos4 x 的最大值与最小值。 【解】 : y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos2 x ? 4cos4 x

? 7 ? 2sin 2 x ? 4 cos 2 x ?1 ? cos 2 x ? ? 7 ? 2sin 2 x ? 4cos2 x sin 2 x

? 7 ? 2sin 2 x ? sin 2 2 x ? ?1 ? sin 2 x ? ? 6
2

由于函数 z ? ? u ? 1? ? 6 在 ??11 , ? 中的最大值为
2 2

zmax ? ? ?1 ? 1? ? 6 ? 10 最小值为
2

1 时 y 取得最小值 6 zmin ? ?1 ? 1? ? 6 ? 6 故当 sin 2 x ? ?1时 y 取得最大值 10 ,当 sin2 x ?
4.已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [? 解: (1)

, ] 上的值域 12 2

? ?

f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2 1 3 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 2 2
? sin(2 x ? ) 6 2? ∴周期T ? ?? 2

?

由 2x ?

?
6

? k? ?

?
2

(k ? Z ), 得x ?

函数图象的对称轴方程为 x ? k? ? (2)

?
3

k? ? ? (k ? Z ) ∴ 2 3

(k ? Z )

x ? [?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ] 12 2 6 3 6
?
6 ) 在区间 [?

? ?

因为 f ( x) ? sin(2 x ? 所以 当x?

?
3

, ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 3 2 12 3

? ?

? ?

时, f ( x ) 取最大值 1



f (?

?
12

)??

? 3 ? 1 3 ? f ( ) ? ,当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 12 2 2 2 2

所以 函数 f ( x ) 在区间 [?

3 , ] 上的值域为 [? ,1] 12 2 2
A? B C ? tan ? 4, 2 2

? ?

5.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c , a ? 2 3 , tan

2sin B cos C ? sin A ,求 A, B 及 b, c

A? B C C C ? tan ? 4 得 cot ? tan ? 4 ∴ 解:由 tan 2 2 2 2

C C sin 2 ? 2 ?4 C C sin cos 2 2 1 ? 5? 1 ∴ ? 4 ∴ sin C ? ,又 C ? (0, ? ) ∴ C ? ,或C ? C C 2 6 6 sin cos 2 2 cos
∴B ?C

由 2sin B cos C ? sin A 得 2sin B cos B ? sin( B ? C ) 即 sin( B ? C ) ? 0

B?C ?

?
6

A ? ? ? (B ? C) ?

2? a b c ? ? 由正弦定理 得 3 sin A sin B sin C

1 sin B b?c?a ? 2 3? 2 ? 2 sin A 3 2 x x 2 x ? 3. 6.已知函数 f ( x) ? 2sin cos ? 2 3 sin 4 4 4
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ?

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3?
x x x x ? x π? ? 3(1 ? 2sin 2 ) ? sin ? 3 cos ? 2sin ? ? ? . 2 4 2 2 ?2 3?

解: (Ⅰ)

f ( x) ? sin

? f ( x) 的最小正周期 T ?

2π ? 4π . 1 2

当 sin ?

? x π? ? x π? ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最小值 ?2 ;当 sin ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最大值 2. ?2 3? ?2 3? π? ? x π? ? ? ? .又 g ( x) ? f ? x ? ? . 3? ?2 3? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2sin ?

x ?1 ? π ? π? ? x π? ? g ( x) ? 2sin ? ? x ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? 2 cos . 2 3 ? 3? ?2 2? ?2 ?

x ? x? g (? x) ? 2cos ? ? ? ? 2cos ? g ( x) . ? 函数 g ( x) 是偶函数. 2 ? 2?
7.在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? (Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积. 解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

? . 3

又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 . ?ab ? 4,
(Ⅱ)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A ,当 cos A ? 0 时, A ?

? ? 4 3 2 3 ,B ? ,a ? ,b ? , 2 6 3 3

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a , 联立方程组 ?

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?b ? 2a,

解得 a ?

2 3 4 3 ,b ? . 3 3

所以 △ ABC 的面积 S ?

1 2 3 ab sin C ? . 2 3



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