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安徽省淮南市第二中学2015-2016学年高二数学下学期第一次教学检测试题 理



淮南二中 2017 届高二下学期第一次教学检测 数学试题(理科)
考试范围:圆锥曲线;空间向量与立体几何;导数及其应用;考试时间:110 分钟 注意事项: 1.答题前,考生先 将自己的姓名、准考证号填写清楚; 2.选择题必须用 2B 铅笔填涂,解答题必须用 0.5 毫米黑色签字笔书写,字体工整,笔迹 清楚; 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的

答案无效;在草稿 纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破。 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.若抛物线 y 2 ? ax 的焦点与椭圆 A.4 B.2

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点重合,则 a 的值为( ) 6 2 C.-4 D.-8

x2 y 2 x2 y 2 2.已知 a ? b ? 0 ,椭圆 C1 的方程为 2 ? 2 ? 1 ,双曲线 C2 的方程为 2 ? 2 ? 1 ,C1 与 a b a b
C2 的离心率之积为 A. x ? 2 y ? 0

3 ,则 C2 的渐近线方程为( 2
B. 2 x ? y ? 0

) D. 2 x ? y ? 0

C. x ? 2 y ? 0
?

3.如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ACB ? 90 , AA 1 ? 2,

AC ? BC ? 1 , 则 异 面 直 线 A1B 与 AC 所 成 角 的 余 弦 值 是
( A. ). B.

6 5

6 4

C.

6 6

D.

6 3

2 4.已知 R 上的可导函数 f ? x ? 的图象如图所示,则不等式 x ? 2 x ? 3 f ? ? x ? ? 0 的解集为

?

?



) B. ? ??, ?2? ? ?1, 2? D. ? ??, ?1? ? ? ?1,0? ? ? 2, ???

A. ? ??, ?2? ? ?1, ??? C. ? ??, ?1? ? ? ?1,1? ? ?3, ???

1

5.设正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 2,则点 D1 到平面 A 1BD 的距离是(

)

A.

3 2

B.

2 2

C.

2 2 3

D.

2 3 3

6.某产品的销售收入 y1(万元)是产量 x(千台)的函数: y1 ? 17x2 ( x ? 0) ,生产成本 y2 (万元)是产量 x (千台)的函数: y2 ? 2x3 ? x2 ( x ? 0) ,为使利润最大,应生产( A.6 千台 B. 7 千台 C.8 千台 D.9 千台 )

7. 如图, 空间四边形 OABC 中,OA ? a, OB ? b, OC ? c .点 M 在 OA 上, 且 OM ? 2 MA , 点 N 为 BC 中点,则 MN ? ( )

1 2 1 a? b? c 2 3 2 1 1 1 C. a ? b ? c 2 2 2
A.

2 1 1 ? a? b? c 3 2 2 2 2 1 a? b? c D. 3 3 2
B.

8 . 已 知 函 数 y ? f ? x ? 的 图 像 在 点 1, f ?1? 处 的 切 线 方 程 是 x ? 2 y ? 1 ? 0 , 若

?

?

g ? x? ?
A.

x ,则 g ? ?1? ? ( f ? x?
B. ?



1 2

1 2

C. ?

3 2

D.2

9 . 已 知 点 O 是 四 边 形 A B C D所 在 平 面 外 任 意 一 点 , 且 OD ? 2OA ? xOB ? yOC ( x, y ? R ),则 x ? y 的最小值为(
2 2



A. 0

B.

1 2

C.

2 2

D. 1

10. 如图所示, 正方体 ABCD ? A 线段 B1D1 1B 1C1D 1 的棱长为 1 , 上 有两 个动 点 E , F 且 EF =

2 , 则下 列结 论中 错误 的是 2

( ). A. AC ? BE B. EF //平面 ABCD A ? BEF C.三棱锥 的体积为定值 D.异面直线 AE, BF 所成的角为定值 11.已知函数 f ? x ? ? a sin3x ? bx ? 4(a ? R, b ? R) , f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,
3

2

则 f ? 2014? ? f (?2014) ? f ? ? 2015? ? f ?(?2015) ? ( A.0 B.8 C.2014
2



D.2015 )

12.已知函数 f ? x ? ? x ? 2x ? 1 ? a ln x 有两个极值点 x1 , x 2 ,且 x1 ? x2 ,则(

1 ? 2 ln 2 4 1 ? 2 ln 2 C. f ? x2 ? ? 4
A. f ? x2 ? ? ?

1 ? 2 ln 2 4 1 ? 2 ln 2 D. f ? x2 ? ? 4
B. f ? x2 ? ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分) 13 .已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 , F 1 , F2 分别为它的左、右焦点, P 为双曲线上一点,设 9 16
. .

PF1 ? 7 ,则 PF2 的值为

14.已知 a ? (1,1,2),b ? (?1,?1,3) 且 (k a ? b) //(a ? b) ,则 k ? 15.函数 f ? x ? ? ?

? ?2 ? x,
2

x ? 0,

? ? 4 ? x ,0 ? x ? 2,
x

,则

?

2 ?2

f ? x ? dx 的值为



16.已知 f ( x) ? xe , g ( x) ? ?( x ? 1) ? a ,若 ?x1 , x2 ? R ,使得 f ( x2 ) ? g ( x1 ) 成立,则
2

实数 a 的取值范围是____________. 三、解答题(解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 8 分)椭圆 C:

6 x2 y2 ,短轴的一 ? ? 1(a ? b ? 0)的离心率为 2 2 3 a b

个端点到右焦点的距离为 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 y ? x ? 1 与椭圆 C 交于 A, B 两点,求 A, B 两点间的距离.

18. (本小题满分 10 分)如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D, E 分别是 AB, BB 1 的中点,

AA 1 ? AC ? CB ?

2 AB . 2

(1)证明:BC1∥平面 A1CD (2)求二面角 D﹣A1C﹣E 的正弦值.

3

19. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R ) (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)讨论函数 f ( x) 的单调区间.

20. (本小题共 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是直角梯形, AB // CD , AB ? AD , ?PAB 和 ?PAD 是 两个边长为 2 的正三角形, DC ? 4 , O 为 BD 的中点, E 为 PA 的中 点.
P

E
A
O

B
C

D

(1)求证: PO ? 平面 ABCD ; (2)求直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值 .

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? ln x, a ? R .
2

(1)若函数 f ? x ? 在 1, 2 上是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)令 g ?x ? ? f ? x

? ?
2

x ??

,是否存在实数 a ,当 x ? ? 0, e?( e 是自然常数)时,函数 g ? x ?

的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由;
2 2 (3)当 x ? ? 0, e? 时,证明: e x ?

5 x ? ? x ? 1? ln x . 2

4

淮南二中 2017 届高二下学期第一次教学检测 数学试题(理科)答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) DACCD ABABD BC 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分) 13.13 14. ? 1 15. ? ? 6 16. [? , ??)

1 e

三、解答题(解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17 . (本小题满分 8 分) (1) a ? 由e ?

3 2

c 6 得c ? ? a 3

b2 ? a 2 ? c2 ? 1
椭 圆 的 方 程 为

x2 ? y 2 ? 1 ................................................................. 3
.... 4分

? x2 2 ? ? y ?1 2 (2) ? 3 ,消去 y 得 2x +3x=0 ? y ? x ?1 ?
A(0,1) ,B ( ?

3 1 ,? ) 2 2
.................................8

| AB |? (?

3 1 3 ? 0)2 ? (? ? 1)2 ? 2 2 2 2

分 18. (本小题满分 10 分) (1)证明:连接 AC1 交 A1C 于点 F, 则 F 为 AC1 的中点.又 D 是 AB 的中点, 连接 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF? 平面 A1CD,BC1?平面 A1CD, 所 以 BC1 ∥ 平 面 A1CD . ......................................................................... ........4 分 (2)解:由 AC=CB= 以 C 为坐标原点, AB,得 AC⊥BC. 的方向为 x 轴正方向, 的方向为 y 轴正方向,

5

的方向为 z 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 C﹣xyz. 设 CA=2,则 D(1,1,0) ,E(0,2,1) ,A1(2,0,2) , =(1,1,0) , =(0,2,1) , = (2,0,2) .

设 =(x1,y1,z1)是平面 A1CD 的法向量,



,取 x1=1,得 =(1,﹣1,﹣1) .

同理,设 =(x2,y2,z2)是平面 A1CE 的法向量,



,取 x2=2,得 =(2,1,﹣2) .

从而 cos< , >=

=

,故 sin< , >=



即二面角 D﹣ A1C﹣E 的正弦值为



................................ .......10 分 19. (本小题满分 10 分) (Ⅰ) ? a ? 2,? f ? x ? ? x ? 2ln x ,? f ?1? ? 1 ? 2ln1 ? 1,即 A ?1,1? .

f '? x? ? 1?

2 ,? f ' ?1? ? 1 ? 2 ? ?1, x

由导数的几何意义可知所求切线的斜率 k ? f ' ?1? ? ?1, 所以所求切线方程为 y ?1 ? ? ? x ?1? ,即 x ? y ? 2 ? 0 ................4 分 (2) f ' ? x ? ? 1 ?

a x?a ? , x x

当 a ? 0 时, ? x ? 0 ,? f ' ? x ? ? 0 恒成立,
6

? f ? x ? 在定义域 ? 0, ??? 上单调递增;
当 a ? 0 时, 令 f ' ? x ? ? 0 ,得 x ? a ,

? x ? 0 ,? f ' ? x ? ? 0 得 x ? a ; f ' ? x ? ? 0 得 0 ? x ? a ;

? f ? x ? 在 ? 0, a ? 上单调递减,在 ? a, ??? 上单调递增........................10 分
20. (本小题共 12 分) (1)证明:设 F 为 DC 的中点,连接 BF ,则 DF ? AB ∵ AB ? AD , AB ? AD , AB // DC , ∴四边形 ABFD 为正方形, ∵ O 为 BD 的中点, ∴ O 为 AF , BD 的交点, ∵ PD ? PB ? 2 , ∴ PO ? BD , ∵ BD ? ∴ PO ?

AD2 ? AB2 ? 2 2 ,

1 PB2 ? BO2 ? 2 , AO ? BD ? 2 , 2
2 2 2

在 三角形 PAO 中, PO ? AO ? PA ? 4 ,∴ PO ? AO , ∵ AO ? BD ? O ,∴ PO ? 平面 ABCD ; .............................6 分 (2)由(1)知 PO ? 平面 ABCD ,又 AB ? AD ,所以过 O 分别做 AD, AB 的平行线, 以它们做 x, y 轴,以 OP 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 由已知得:
P
E

A
O

B
y

D

x

F

C

A(?1, ?1,0) , B(?1,1,0) , D(1, ?1,0)
F (1,1,0) , C (1,3,0) , P(0,0, 2) ,
1 1 2 E (? , ? , ), 2 2 2

7

则 PD ? (1, ?1, ? 2) , PC ? (1,3, ? 2) . 设平面 PDC 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) ,直线 CB 与平面 PDC 所成角 θ ,

??? ?

??? ?

?

? ???? ? ? ? n?PC ? 0 ? x1 ? 3 y1 ? 2 z1 ? 0 则 ? ? ???? ,即 ? , ? ? ? ? n?PD ? 0 ? x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0
解得 ?

? ? ? y1 ? 0 ,令 z1 ? 1,则平面 PDC 的一个法向量为 n ? ( 2,0,1) , ? ? x1 ? 2 z1

又 CB ? (?2, ?2,0) ,则 sin θ ? cos ? n, CB ? ?

??? ?

? ? ???

2 2 3 , ? 3 3?2 2

∴直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值为

3 ...........................12 分 3

21.解: (1) f ? ? x ? ? 2 x ? a ?

1 2 x 2 ? ax ? 1 ? ? 0 在 ?1, 2? 上恒成立, x x

? a ? ?1, ? 7 ?h ?1? ? 0 ? 令 h ? x ? ? 2x ? ax ?1 ,有 ? 得? 7 ,得 a ? ? .............3 分 2 a?? ? ?h ? 2 ? ? 0 ? ? 2
2

e (2)假设存在实数 a ,使 g ?x ? ?ax ? lnx x ? ?0,

?

?? 有最小值 3, g ? ? x ? ? a ?

1 ax ? 1 ? x x

①当 a ? 0 时, g ? x ? 在 ? 0, e? 上单调递减, g ? x ?min ? g ? e ? ? ae ? 1 ? 3, a ? ②当 0 ?

4 ( 舍去) , e

1 ? 1? ?1 ? ? e 时, g ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? , e ? 上单调递增 a ? a? ?a ?

∴ g ? x ?min ? g ? ③当

?1? 2 ? ? 1 ? ln a ? 3, a ? e ,满足条件. a ? ?

1 4 ? e 时, g ? x ? 在 ? 0, e? 上单调递减, g ? x ?min ? g ? e ? ? ae ? 1 ? 3, a ? (舍去) , a e
2

综上,存在实数 a ? e ,使得当 x ? ? 0, e? 时 g ? x ? 有最小值 3...............7 分 (3) 令 F ? x ? ? e x ? ln x , 由 (2) 知,F ? x ?min ? 3 . 令? ? x? ?
2

l n x 5 1 l n ? x ? ,? ? ? x ? ? , x 2 x2

当 0 ? x ? e 时, ?? ? x ? ? 0 , h ? x ? 在 ? 0, e 上单调递增 ∴ ? ? x ?max ? ? ? e ? ?

?

1 5 1 5 ln x 5 ? ? ? ? 3 , e 2 x ? ln x ? ? e 2 2 2 x 2

8

2 2 即e x ?

5 x ? ? x ? 1? ln x ..........................................12 分 2

9



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