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【名校专题密卷】河北省衡水中学2014届高考数学(理)万卷检测:导数


导数
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考试时间 120 分钟,满分 150 分。 考生应首先阅读答题卡上的文字信息, 然后在答题卡上作答, 在试题卷上作答无效。

第I卷 一、 选择题

1.对于 R 上每一点 x 都有导数的任意函数 f ( x) ,若满足 ( x ? 1) f ?( x)≥ 0 ,则必有 ( ) A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C. f (0) ? f (2) ≤ 2 f (1) B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ≥ 2 f (1) )

2.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c ,下列结论中错误的是( (A) ?x0 ? R, f ( x0 ) ? 0 (B)函数 y ? f ( x) 的图像是中心对称图形

(C)若 x0 是 f ( x) 的极小值点,则 f ( x) 在区间 (??, x0 ) 上单调递减 (D)若 x0 是 f ( x) 的极值点,则 f '( x0 ) ? 0 3.设函数 f ( x) ? x m ? ax 的导函数 f ' ( x) ? 2 x ? 1 ,则不等式(
f (? x) ? 6 的解集是(



) B. {x | ?3 ? x ? 2} D. {x | x ? 2或x ? ?3}

A. {x | ?2 ? x ? 3} C. {x | x ? 3或x ? ?2}

4.若函数 f (x)=x3 +bx+c 有极值点 x1 , x2 ,且 f (x1 )=x1 ,则关于 x 的方程

3(f (x1 ))2 +2f (x)+b=0 的不同实根个数是(
(A)3 (B)4 (C ) 5

) (D)6

5.已知三角形 ABC 的面积为 2,D,E 分别为边 AB,边 AC 上的点,F 为线段 DE

上一点,设 值为( )
A. 8 27

AD AE DF = x, = y, = z , 且 y + z - x = 1, 则三角形 BDF 面积的最大 AB AC DE

B.

10 27

C.

14 27

D.

16 27
2

? 6.设 f ? x ? ? x3 ? x, x ? R . 若当 0 ≤? ≤ 时,f ? m sin ? ? ? f ?1 ? m? ? 0 恒成立, 则实数 m 的

取值范围是( A. (0,1) 7.若 S1 ? ? x 2 dx, S2 ? ?
1 2 2 1

) B. (??,0)
1 C. (?? , ) 2

D. (??,1) )

2 1 dx, S3 ? ? e x dx, 则 S1S2 S3 的大小关系为( 1 x

A. S1 ? S2 ? S3 C. S2 ? S3 ? S1 8.函数 y ? A. e?1
ln x 的最大值为( x

B. S2 ? S1 ? S3 D. S3 ? S2 ? S1 ) C. e 2 D.
10 3

B. e

第Ⅱ卷 二、填空题 9.若函数 f ( x) = (1 ? x2 )( x2 ? ax ? b) 的图像关于直线 x =-2对称,则 f ( x) 的最大值 是______. 10.已知直线 y ? x ? 1与曲线 y ? ln(x ? a) 相切,则 a 的值为_________. 11.设函数 y ? ax2 ? bx ? k (k ? 0) 在 x ? 0 处取得极值,且曲线 y ? f ( x) 以点 (1, f (1)) 处的切 线垂直于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 a ? b 的值为 1 12.已知函数 f(x)=(x2-x-a)eax(a≠0). (1)曲线 y=f(x)在点 A(0,f(0))处的切线方程为 ; .

3 3 (2)当 a>0 时,若不等式 f(x)+a≥0 对 x∈[-a,+∞)恒成立,则实数 a 的取值 范围为 三、解答题 .

13.已知函数 f ( x) = x 2 ? ax ? b , g ( x) = e x (cx ? d ) ,若曲线 y ? f ( x) 和曲线
y ? g ( x) 都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2

(Ⅰ)求 a , b , c , d 的值 (Ⅱ)若 x ≥-2 时, f ( x) ≤ kg ( x) ,求 k 的取值范围。

14.设函数 f ? x ? ? ? x ?1? ex ? kx2 (其中 k ? R ). (Ⅰ) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间;
?1 ? (Ⅱ) 当 k ? ? ,1? 时,求函数 f ? x ? 在 ?0, k ? 上的最大值 M . ?2 ?

15.设 f ( x) ? ln x, g ( x) ? f ( x)+f '( x) . (1)求 g ( x) 的单调区间和最小值; (2)讨论 g ( x) 与 g (1) 的大小关系;
x

(3)求 a 的取值范围,使得 g (a) ? g ( x) ? 1 对任意 x ? 0 成立.
a

16.已知 x ?1 是函数 f ( x) ? mx3 ? 3(m ? 1) x2 ? nx ? 1 的一个极值点,其中 m, n ? R, m ? 0 (14 分) (1)求 m 与 n 的关系式; (2)求 f ( x) 的单调区间;
1 ,] (3) 当 x ? [?

, 函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m , 求m

的取值范围。

导数
单项选择题 1.D 2.C 3.A【解析】本题考查导数函数的运算以及不等式的求解问题,应先依题意求出 f (x)的表达 式.再解不等式.由于 f ( x) ? x m ? ax 的导函数 f ' ( x) ? 2 x ? 1 ,所以 f ( x) ? x 2 ? x ,于是 f (? x) ? 6 , 即 x 2 ? x ? 6 ? 0 解得 ?2 ? x ? 3 ,故选 A 4.A 5.解: S ?BDF ?

DF BD S ?BDE ? zS ?BDE , S?BDE ? S?ABE ? (1 ? x) S?ABE , DE AB

S ?ABE ?

AE S ?ABC ? yS ?ABC ,于是 S?BDF ? (1 ? x) yzS?ABC ? 2(1 ? x) yz . AC

将 y ? z ? x ?1 ,变形为y ? z ? x ? 1 ,暂时将 x 看成常数,欲使 yz 取得最大值必须

y?z?
大值 6.D 7.B
8.A

x ?1 1 1 2 ,于是 S ?BDF ? (1 ? x )( x ? 1) ,解这个一元函数的极值问题, x ? 时取极 2 2 3

16 . 27

填空题 9. 【 解 析 】 由

f ( x) 图 像 关 于 直 线 x = - 2

对 称 , 则

0= f (?1) ? f (?3) = [1 ? (?3)2 ][(?3)2 ? 3a ? b] , 0=

f (1) ? f (?5) = [1 ? (?5)2 ][(?5)2 ? 5a ? b] , 解 得 a =8 , b =15 , ∴

f ( x) = (1 ? x2 )( x2 ? 8x ? 15) ,
∴ f ?( x ) = ?2x( x ? 8x ? 15) ? (1 ? x )(2x ? 8) = ?4( x ? 6 x ? 7 x ? 2)
2 2 3 2

= ?4( x ? 2)( x ? 2 ? 5)( x ? 2 ? 5) 当 x ∈(-∞, ?2 ? 5 )∪(-2, ?2 ? 5 )时, f ?( x ) >0, 当 x ∈( ?2 ? 5 ,-2)∪( ?2 ? 5 ,+∞)时, f ?( x ) <0,

∴ f ( x) 在 (-∞,?2 ? 5 ) 单调递增, 在 ( ?2 ? 5 , -2) 单调递减, 在 (-2,?2 ? 5 ) 单调递增,在( ?2 ? 5 ,+∞)单调递减,故当 x = ?2 ? 5 和 x = ?2 ? 5 时取极大值,

f (?2 ? 5) = f (?2 ? 5) =16.
10.2 11.1
1 12.(1)2x+y+ =0 a (2)(0,ln3]

解答题 13.解: (Ⅰ)由已知得 f (0) ? 2, g (0) ? 2, f ?(0) ? 4, g ?(0) ? 4 , 而 f ?( x ) = 2 x ? b , g ?( x ) = e x (cx ? d ? c) ,∴ a =4, b =2, c =2, d =2; (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x2 ? 4x ? 2 , g ( x) ? 2e x ( x ? 1) , 设函数 F ( x) = kg ( x) ? f ( x) = 2kex ( x ? 1) ? x2 ? 4 x ? 2 ( x ? ?2 ) ,

F ?( x) = 2ke x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 = 2( x ? 2)(ke x ?1) ,
有题设可得 F (0) ≥0,即 k ? 1 , 令 F ?( x) =0 得, x1 = ? ln k , x2 =-2, (1)若 1 ? k ? e ,则-2< x1 ≤0,∴当 x ? (?2, x1) 时, F ( x) <0,当 x ? ( x1 , ??) 时,
2

F ( x) >0,即 F ( x) 在 (?2, x1 ) 单调递减,在 ( x1 , ??) 单调递增,故 F ( x) 在 x = x1 取最小
2 值 F ( x1 ) ,而 F ( x1 ) = 2x1 ? 2 ? x1 ? 4x1 ? 2 = ? x1 ( x1 ? 2) ≥0,

∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x ) ≤ kg ( x) 恒成立,
2 x 2 (2)若 k ? e ,则 F ?( x) = 2e ( x ? 2)(e ? e ) ,
2

∴当 x ≥-2 时, F ?( x) ≥0,∴ F ( x) 在(-2,+∞)单调递增,而 F (?2) =0, ∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x ) ≤ kg ( x) 恒成立, (3)若 k ? e ,则 F (?2) = ?2ke
2 ?2

? 2 = ?2e?2 (k ? e2 ) <0,

∴当 x ≥-2 时, f ( x ) ≤ kg ( x) 不可能恒成立,

综上所述, k 的取值范围为[1, e ].
14.( Ⅰ ) 当

2

k ?1



,

f ? x? ? ? x ?1? ex ? x2 , f ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? e x ? 2 x ? xe x ? 2 x ? x ? e x ? 2 ?


f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln 2 f ? ? x ? , f ? x ? 的变化如下表:

当 x 变化时,

x
f ? ? x? f ? x?
右表可知,函数

? ??,0?
?
单增

0 0
极大值

? 0,ln 2?
?
单减

ln 2

? ln 2, ???
?
单增

0
极小值

f ? x ? 的递减区间为 ? 0,ln 2? ,递增区间为 ? ??,0 ? , ? ln 2, ??? .
x x x

(Ⅱ) f ? ? x ? ? e ? ? x ? 1? e ? 2kx ? xe ? 2kx ? x e ? 2k ,
x

?

?

令 令g

f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln ? 2k ? ,
1 1? k ?1 ? ? 0 ,所以 g ? k ? 在 ? ,1? 上递增, k ?2 ?

? k ? ? ln ? 2k ? ? k ,则 g ? ? k ? ? k ? 1 ?

所以 g

? k ? ? ln 2 ?1 ? ln 2 ? ln e ? 0 ,从而 ln ? 2k ? ? k ,所以 ln ? 2k ? ??0, k ?
k 3

?0,ln ? 2k ?? 时, f ? ? x? ? 0 ;当 x ??ln ? 2k ? , ??? 时, f ? ? x? ? 0 ; 所以 M ? max ? f ? 0 ? , f ? k ?? ? max ??1, ? k ? 1? e ? k ?
所以当 x ? 令

h ? k ? ? ? k ?1? ek ? k 3 ?1 , 则 h? ? k ? ? k ? e k ? 3k ? , 令 ? ? k ? ? ek ? 3k , 则

?? ? k ? ? ek ? 3 ? e ? 3 ? 0
所以 ?

?k ? 在 ? ?

3? 1 ? ?1? ? ,1? 上递减,而 ? ? ? ? ? ?1? ? ? e ? ? ? e ? 3? ? 0 2? ?2? ? ?2 ?

所以存在 时, ?

?1 ? ?1 ? x0 ? ? ,1? 使 得 ? ? x0 ? ? 0 , 且 当 k ? ? , x0 ? 时 , ? ? k ? ? 0 , 当 k ? ? x0 ,1? ?2 ? ?2 ?

?k ? ? 0 , ?k ? 在 ? ?
1 ? , x0 ? 上单调递增,在 ? x0 ,1? 上单调递减. ?2 ?

所以 ?

因为 h ?

1 7 ?1? ?1 ? e ? ? 0 , h ?1? ? 0 ,所以 h ? k ? ? 0 在 ? ,1? 上恒成立,当且仅当 k ? 1 时 ??? 2 8 ?2? ?2 ?

取得“ ? ”.

综上,函数
www.zxsx .com

f ? x ? 在 ?0, k ? 上的最大值 M ? ? k ?1? ek ? k 3 .

15.解:(1)由题设知 f ( x) ? ln x, g ( x) ? ln x ? 1 ,
x

1 ,令 g '( x) ? 0 得 x ? 1 , ? g ' (x ) ? x? x2

当 x ? (0,1) 时, g '( x) ? 0 ,故 (0,1) 是 g ( x) 的单调减区间, 当 x ? (1, ??) 时, g '( x) ? 0 ,故 (1, ??) 是 g ( x) 的单调递增区间, 因此, x ? 1 是 g ( x) 的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点, 所以 g ( x) 的最小值为 g (1) ? 1 . (2) g (1) ? ? ln x ? x ,设
x h( x) ? g ( x) ? g (1) ? 2 ln x ? x + 1 x x

则 h '( x) ? ?

( x ? 1) 2 , x2
x

当 x ? 1 时, h(1) ? 0 ,即 g ( x) ? g (1) ; 当 x ? (0,1) (1, ??) 时, h '( x) ? 0, h '(1) ? 0 , 因此, h( x) 在 (0, ??) 内单调递减, 当 0 ? x ? 1时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 g ( x) ? g (1) ;
x

当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 g ( x) ? g (1) .
x

(3)由(1)知 g ( x) 的最小值为 1,所以,
g (a) ? g ( x) ? 1 ,对任意 x ? 0 成立 ? g (a) ? 1 ? 1 , a a

即 ln a ? 1 ,从而得 0 ? a ? e .
16.解: (1) f '( x) ? 3mx 2 ? 6(m ? 1) x ? n. 因为 x ? 1 是函数 f ( x) 的一个极值点.所以 f '(1) ? 0 即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0, 所以 n ? 3m ? 6 (2)由(1)知, f '( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 ? 3m( x ? 1)[ x ? (1 ?

2 )] 当 m ? 0 时,有 m

1 ? 1?

2 , m
当 x 为化时, f ( x) 与 f '( x) 的变化如下表:

x
f '( x)

(? ?,1 ?
-

2 ) m

1?
0

2 m

(1 ?

2 ,1) m
+

1 0

(1, ? ?)
-

f ( x)

单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

故由上表知,当 m ? 0 时, f ( x) 在 (? ?,1 ? 在 (1 ?

2 ) 单调递减, m

2 ,1) 单调递增,在 (1, ? ?) 上单调递减. m 2 2 (m ? 1) x ? ? 0 , m m

(3)由已知得 f '( x) ? 3m ,即 mx 2 ? 2(m ? 1) x ? 2 ? 0 又 m ? 0 ,所以 x2 ? 即 x2 ?

2 2 1 2 (m ? 1) x ? ? 0, x ? [?1,1] 设 g ( x) ? x2 ? 2(1 ? ) x ? ,其函数图象开口向上, m m m m
解之得 ?

2 2 ? ? g (?1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 0 由题意知①式恒成立,所以 ? ?? m m ? g (1) ? 0 ? ? 1 ? 0 ?
以?

4 ? m又m ? 0 所 3

4 4 ? m ? 0 即 m 的取值范围为 (? ,0) 3 3


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