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广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 圆锥曲线试题精选04



圆锥曲线 04
x2 y 2 42.设 A, B 分别为椭圆 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 的左、 右顶点, 椭圆长半轴的长等于焦距, 且x ? 4 a b
为它的右准线。 (Ⅰ) 、求椭圆的方程; (Ⅱ) 、设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线 AP, BP 分别与椭圆相交 于异于 A, B 的点 M 、N ,证明点 B 在以 M

N 为直径的圆内。 点评:本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学 知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

将○ 1 代入○ 2 ,化简得 BM · BP =

5 (2-x0). 2

∵2-x0>0,∴ BM · BP >0,则∠MBP 为锐角,从而∠MBN 为钝角, 故点 B 在以 MN 为直径的圆内。

-1-

43.已知椭圆 C1: C1 的右焦点.

x2 y 2 ? ? 1 ,抛物线 C2: ( y ? m)2 ? 2 px( p ? 0) ,且 C1、 C2 的公共弦 AB 过椭圆 4 3

(Ⅰ)当 AB⊥ x 轴时,求 m 、 p 的值,并判断抛物线 C2 的焦点是否在直线 AB 上;

(Ⅱ)是否存在 m 、 p 的值,使抛物线 C2 的焦点恰在直线 AB 上?若存在,求出符合条件 的 m 、 p 的值;若不存在,请说明理由. 解: (Ⅰ)当 AB⊥x 轴时,点 A、B 关于 x 轴对称,所以 m=0,直线 AB 的方程为: x =1, 从而点 A 的坐标为(1, 此时 C2 的焦点坐标为(
3 3 )或(1,- ). 2 2

因为点 A 在抛物线上.所以

9 9 ? 2 p ,即 p ? . 4 8

9 ,0) ,该焦点不在直线 AB 上. 16

-2-

(II)解法一: 假设存在 m 、 p 的值使 C2 的焦点恰在直线 AB 上,由(I)知直线 AB 的 斜率存在,故可设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 y 2 消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 …① ?1 ? ? 3 ?4
设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 则 x1,x2 是方程①的两根,x1+x2=
8k 2 3 ? 4k 2
O

y A x B

.

?( y ? m) 2 ? 2 px 由? ? y ? k ( x ? 1)

消去 y 得 (kx ? k ? m)2 ? 2 px .

………………②

因为 C2 的焦点 F ?( , m) 在直线 y ? ? 6( x ?1) 上,所以 m ? ? 6( ? 1) .

2 3

2 3

-3-

?

m?

6 6 或m ? ? . 3 3

由上知,满足条件的 m 、 p 存在,且 m ? 解法二:

6 6 4 或m ? ? ,p? . 3 3 3

设 A、B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 y2 ) .

因为 AB 既过 C1 的右焦点 F (1,0) ,又过 C2 的焦点 F ?(

p , m) , 2

p p 1 1 所以 AB ? ( x1 ? ) ? ( x 2 ? ) ? x1 ? x 2 ? p ? (2 ? x1 ) ? (2 ? x 2 ) . 2 2 2 2

即 x1 ? x2 ?

2 (4 ? p ) . 3

……①

由(Ⅰ)知 x1 ? x2 , p ? 2 ,于是直线 AB 的斜率 k ?

y2 ? y1 m ? 0 2m , ……② ? ? p x2 ? x1 p ? 2 ?1 2

且直线 AB 的方程是 y ? 所以 y1 ? y2 ?

2m ( x ? 1) , p?2
……③

2m 4m(1 ? p) ( x1 ? x2 ? 2) ? . p?2 3( p ? 2)

2 2 ? y ? y1 ?3x ? 4 y1 ? 12 ? 0. 又因为 ? 1 ,所以 3( x1 ? x 2 ) ? 4( y1 ? y 2 ) ? 2 2 2 x 2 ? x1 ? 3 x ? 4 y ? 12 2 ? 2

……④

-4-

44.已知椭圆 C1:

x2 y2 ? ? 1 ,抛物线 C2: ( y ? m) 2 ? 2 px( p ? 0) ,且 C1、C2 的公共弦 AB 过椭圆 4 3

C1 的右焦点.
(Ⅰ)当 AB ? x 轴时,求 p、m 的值,并判断抛物线 C2 的焦点是否在直线 AB 上;

(Ⅱ)若 p ?

4 且抛物线 C2 的焦点在直线 AB 上,求 m 的值及直线 AB 的方程. 3



(Ⅰ)当 AB⊥x 轴时,点 A、B 关于 x 轴对称,所以 m=0,直线 AB 的方程为

x=1,从而点 A 的坐标为(1,
因为点 A 在抛物线上,所以 此时 C2 的焦点坐标为(

3 3 )或(1,- ). 2 2

9 9 ? 2 p ,即 p ? . 4 8

9 ,0) ,该焦点不在直线 AB 上. 16

(Ⅱ)解法一 当 C2 的焦点在 AB 时,由(Ⅰ)知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的 方程为 y ? k ( x ? 1) .
? y ? k ( x ? 1) ? 消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 . y2 ?1 ? ? 3 ? 4

由 ?x2

……①

设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),
-5-

则 x1,x2 是方程①的两根,x1+x2=

8k 2 3 ? 4k 2

.

解法二 当 C2 的焦点在 AB 时,由(Ⅰ)知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程 为 y ? k ( x ? 1) .
8 ? 2 8 ?( y ? m) ? x 2 由? 3 消去 y 得 (kx ? k ? m) ? x . 3 ? y ? k ( x ? 1) ?

……①

因为 C2 的焦点 F ?( , m) 在直线 y ? k ( x ? 1) 上, 所以 m ? k ( ? 1) ,即 m ? ? k .代入①有 (kx ? 即 k 2 x 2 ? ( k 2 ? 2) x ?
4 3 4k 2 ?0. 9

2 3

2 3

1 3

2k 2 8 ) ? x. 3 3

……②

设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 则 x1,x2 是方程②的两根,x1+x2=
4( k 2 ? 2) 3k 2

.

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ?x2 y2 消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 . ? ? 1 ? 3 ? 4

……③

-6-

解法三 设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 因为 AB 既过 C1 的右焦点 F (1,0) ,又是过 C2 的焦点 F ?( , m) ,
p p 1 1 所以 AB ? ( x1 ? ) ? ( x 2 ? ) ? x1 ? x 2 ? p ? (2 ? x1 ) ? (2 ? x 2 ) . 2 2 2 2
2 3

即 x1 ? x 2 ?

2 16 ( 4 ? p) ? . 3 9

……①
y 2 ? y1 m ? 0 ? ? 3m , 2 x 2 ? x1 ?1 3

由(Ⅰ)知 x1 ? x 2 ,于是直线 AB 的斜率 k ?

……②

且直线 AB 的方程是 y ? ?3m( x ? 1) , 所以 y1 ? y 2 ? ?3m( x1 ? x 2 ? 2) ?
2m . 3

……③

2 2 ? y ? y1 ?3x ? 4 y1 ? 12 ? 0. 又因为 ? 1 ,所以 3( x1 ? x 2 ) ? 4( y1 ? y 2 ) ? 2 2 2 x 2 ? x1 ? ?3x 2 ? 4 y 2 ? 12

……④

将①、②、③代入④得 m 2 ? 当m ?

6 6 2 或m ? ? ,即 m ? . 3 3 3

6 时,直线 AB 的方程为 y ? ? 6 ( x ? 1) ; 3 6 时,直线 AB 的方程为 y ? 6 ( x ?1) . 3

当m ? ?

-7-



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