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芜湖一中2013—2014学年第二学期期中考试高二数学



芜湖一中 2013—2014 学年第二学期期中考试

高二数学(理科)试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每题 3 分,共 30 分) 1.已知命题 p:函数 y ? x 为 R 上的奇函数;命题 q:若 b 2 ? ac ,则 a,b,c 不一定成等比数列。
3

下列说法正确的是 A.p 或 q 为假 假 2.“

0 ? k ? 2 ”是“

B.p 且 q 为真

C. ?p 且 q 为真

D.?p 或 q 为

x2 y 2 ? ? 1 表示椭圆”的 2 k
B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条

A.充分不必要条件

件 3.下列说法不正确的是 A.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题等四种命题中真命题个数为偶数; B.命题:“若 xy ? 0 ,则 x ? 0或y ? 0 ”的逆否命题是“若 x ? 0且y ? 0 ,则 xy ? 0 ”;

C.椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 比椭圆 ? ? 1 更接近于圆; 4 3 9 8
a ? ?3 b

D.已知直线 l1 : ax ? 3 y ? 1 ? 0, l2 : x ? by ? 1 ? 0 ,则 l1 ? l2 的充分不必要条件是

4.已知椭圆的中心在原点,长轴长为 6 ,一条准线方程为 x=9 ,则该椭圆的标准方程为 A.

x2 y 2 ? ?1 36 20

B.

x2 y 2 ? ?1 9 8

C.

y 2 x2 ? ?1 36 20

y 2 x2 D. ? ?1 9 8
5.若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则切线 l 的方程为
4

A. x ? 4 y ? 5 ? 0

B . x ? 4 y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0

D. 4 x ? y ? 3 ? 0

6.设函数 f ( x) 在定义域内可导, y ? f ( x) 的图象如下左图所示,则导函数 y ? f ?( x) 的图 象可能是

y

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

A. 7.已知点 M 在双曲线 A.7
2

B.

C.

D.

x2 y 2 ? ? 1 上,它到左准线的距离为 2 ,则它到左焦点的距离为 4 5 4 8 B.3 C. D. 3 3

8.抛物线 x ? 2 y 上的点到直线 y ? 2 x ? 1 的最短距离为

A. 5

B.

5 5

C. 2 5

D.

2 5 5

9.若斜率为 3 的直线与双曲线 的取值范围是 A. ? 2, ?? ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 恒有两个公共点,则双曲线离心率 a 2 b2
D. (2, ??)

B. ( 3, ??)

C. (1, 3)

10.已知函数 f ( x) ? ?2 cos x, x ? [0, ? ] 在点 P 处的切线与函数 g ( x) ? 的切线平行,则直线 PQ 的斜率为 A.

1 2 x ? ln x 在点 Q 处 2
D. ? ? 2

1

?

B.

1 2 ??

C .2

二、填空题(本大题共 5 小题,每题 4 分,共 20 分) 11.命题“ ?x ? (0, 12.函数 f ( x) ?

?
2

), 都有 x ? sin x ”的否定是

x 的单调递增区间是 ex

13.已知命题 p: 0 ? a ? 3 ,命题 q:对数函数 y ? log 2 a ?3 x 在 (0, ??) 上是递增函数,如果命 题“ ?p或q ”是假命题,那么实数 a 的取值范围是 14.若线段 x ? y ? 1(?1 ? x ? 1) 与椭圆

x2 y 2 ? ? k (k ? 0) 没有交点,则实数 k 的取值范围是 3 2

15.已知过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) 两点,
2

直线 OM 、ON(O 为坐标原点)分别与准线 l 相交于 P、Q 两点,下列命题正确的是 (请填上正确命题的序号) ① MN ? x1 ? x2 ? p ② MF ? MQ ③ ?PFQ =

? 2

④ MN ? MQ ? NP

⑤以线段 MF 为直径的圆必与 y 轴相切

芜湖一中 2013—2014 学年第二学期期中考试

高二数学(理科)答题卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每题 3 分,共 30 分)
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题(本大题共 5 小题,每题 4 分,共 20 分) 11. 13. 12. 14. 15.

三、解答题(本大题共 5 题,共 50 分) 16. (本题 8 分)已知双曲线 C: 为x?

x2 y 2 ,一条准线方程 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F(2,0) a 2 b2

3 2

(1)求双曲线 C 的标准方程和渐近线方程; (2)求与双曲线 C 共渐近线且过点 P ( 3, 2) 的双曲线方程。

17. (本题 8 分)已知函数 f ( x) ? x ? 3 x ? 1
3

(1)求 f ( x) 在 [?2, 2] 上的极大值与极小值; (2)若函数 f ( x) 在 [ m, m ? 1] 上是减函数,求实数 m 的取值范围。

18. (本题 10 分)已知函数 f ( x) ? x ? 3 x ? ax ? b 在 x ? ?1 处的切线与 x 轴平行
3 2

(1)求 a 的值和函数 f ( x) 的单调区间; (2)若函数 y ? f ( x ) 的图像与抛物线 y ? 范围。

3 2 x ? 15 x ? 3 恰有三个不同交点,求 b 的取值 2

19. (本题 12 分)已知 M (2, 2 2) 为抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 上一点
2

(1)求抛物线 C 的标准方程; (2)设 A、B 抛物线 C 上异于原点 O 的两点且 ?AOB ? 900 ,求证:直线 AB 恒过定点,并 求出该定点坐标; (3)在(2)的条件下,若过原点 O 向直线 AB 作垂线,求垂足 P(x,y)的轨迹方程。

20. (本题 12 分)已知 O 为原点, A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 是椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(0 ? m ? 4) 上任意 m 4

? ? ? ? ? 3 y ? y 两点,向量 p ? ( x1 , 1 ), q ? ( x2 , 2 ) ,且 p ? q ,椭圆的离心率 e ? , 2 2 2
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2) 三角形 AOB 的面积是否为定值?若是,请证明并求出这个定值;若不是, 请说明理由。

高二年级数学期中考试试卷(理科)答案

一、选择题(本大题共 10 题,每题 3 分,共 30 分) 1 B 2 A 3 C 4 B 5 C 6 A 7 B 8 B 9 D 10 B

二、填空题(本大题共 5 题,每题 4 分,共 20 分) 11. ?x ? R,使得x ? sin x 14. 0 ? k ? 12. (??,1) 13. (0, 2]

1 7 或k ? 5 3

15.①②③⑤

三、解答题: (本大题共 5 题,共 50 分) 16.(本题 8 分)已知双曲线 C: 程为 x ?

x2 y 2 ,一条准线方 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F(2,0) a 2 b2

3 2

(1)求双曲线 C 的标准方程和渐近线方程; (2)求与双曲线 C 共渐近线且过点 P ( 3, 2) 的双曲线方程。

解: (1)双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1 ,渐近线方程: x ? 3 y ? 0 (4 分) 3
(8 分)
3

y 2 x2 (2) ? ?1 3 9

17.(本题 8 分)已知函数 f ( x) ? x ? 3 x ? 1 (1)求 f ( x) 在 [?2, 2] 上的极大值与极小值; (2)若函数 f ( x) 在 [ m, m ? 1] 上是减函数,求实数 m 的取值范围。
2 解: (1) f ?( x) ? 3 x ? 3 , (1 分)由 f ?( x) ? 0, 得x ? ?1, 则x, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x f ?( x)

(??, ?1)

-1 0 极大值

(-1,1) 减

1 0 极小值 (4 分)

(1, ??)

+ 增

+ 增

f ( x)

故当 x=-1 时,f(x)取极大值 1;当 x=1 时,f(x)取极小值-1

(2)由(1)知,函数 f(x)在[-1,1]上单调递减,故 [m, m ? 1] ? [ ?1,1] (6 分)

于是 ?

? m ? ?1 ,即 ?1 ? m ? 0 ?m ? 1 ? 1

(8 分)

18.(本题 10 分)已知函数 f ( x) ? x ? 3 x ? ax ? b 在 x ? ?1 处的切线与 x 轴平行
3 2

(1)求 a 的值和函数 f ( x) 的单调区间 (2)若函数 y ? f ( x ) 的图像与抛物线 y ? 围。 解:(1) f ?( x) ? 3 x ? 6 x ? a,f ?(-1) ? 9 ? a ? 0, a ? ?9 ,
2

3 2 x ? 15 x ? 3 恰有三个不同交点,求 b 的取值范 2
(2 分)

所以函 f ?( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 9 ? 3( x 2 ? 2 x ? 3) ? 3( x ? 3)( x ? 1) ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 3或x ? -1 , 数 f ( x) 的单调递增区间是(-?,-1),(3,+?),单调递减区间为 (?1,3) (2)令 g ( x) ? f ( x) ? ( x 2 ? 15 x ? 3) ? x 3 ? (4 分)

3 2

9 2 x ? 6x ? b ? 3 , 2

(6 分) g ?( x) ? 3x 2 ? 9 x ? 6 ? 3( x ? 1)( x ? 2) , 由 g ?( x) ? 0 得 x ? 2或x ? 1 ,即函数 g ( x) 在 (??,1), (2, ??) 上单调递增,在 (1, 2) 上单调递 减,故当 x ? 1 时,g(x)取极大值 g (1) ? b ? g(x)取极小值 g (2) ? b ? 1 , (8 分) 函数 y ? f ( x ) 的图像与抛物线 y ?

1 ,当 x ? 2 时, 2

3 2 x ? 15 x ? 3 恰有三个不同交点即函数 g(x)有三个零点, 2
(10 分)

? 1 1 ?b ? ? 0 故? ,所以 ? b ? 1 2 2 ? ? b ?1 ? 0

19.(本题 12 分)已知 M (2, 2 2) 为抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 上一点
2

(1)求抛物线的标准方程; (2)设 A、B 抛物线 C 上异于原点 O 的两点且 ?AOB ? 900 ,求证:直线 AB 恒过定点 N,并 求出定点 N 坐标; (3)在(2)的条件下,若过原点 O 向直线 AB 作垂线,求垂足 P(x,y)的轨迹方程。 解: (1) y ? 4 x
2

(3 分)
2

(2)当 直 线 的 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 l:y=kx+m, A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 联 立 y ? 4 x 得

k 2 x 2 ? (2km ? 4) x ? m 2 ? 0 , 依 题 意 有 k ? 0, x1 ? x2 ? ?
?AOB ? 900

2km ? 4 m2 且 x x ? , 则 1 2 k2 k2

OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? (1 ? k ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m =0 即 OA?
2 2

??? ? ??? ?

(1 ? k 2 )

m2 2km ? 4 ? km(? ) ? m 2 ? 0 , 化 简 得 m 2 ? 4km ? 0 , 故 m ? ?4k , 此 时 直 线 2 2 k k
(8 分)

l:y=kx-4k=(x-4)k, 恒过点 N(4,0) 当直线 l 的斜率不存在时,设 l:x=t,可解得 t=4,故直线恒过定点 N(4,0) 注:本题也可以先由 x1 x2 ? y1 y2 ?

( y1 y2 ) 2 ? y1 y2 ? 0 ,解得 y1 y2 ? ?16 ,再结合韦达定理求 16

出定点坐标,同样给分; (3)P 点在以 ON 为直径的圆周上(除去原点) ,故点 P 的轨迹方程为:

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4( x ? 0)

(12 分)

20.(本题 12 分)已知 O 为原点, A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 是椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(0 ? m ? 4) 上任意 m 4

? ? ? ? ? 3 y ? y 两点,向量 p ? ( x1 , 1 ), q ? ( x2 , 2 ) ,且 p ? q ,椭圆的离心率 e ? , 2 2 2
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)三角形 AOB 的面积是否为定值?若是,请证明;若不是,请说明理由。 解: (1) x 2 ?

y2 ?1 4

(5 分) (6 分)

? ? ? (2)由 p ? q 得 4 x1 x2 ? y1 y2 ? 0

当直线 AB 斜率存在时,设直线 AB 方程为: y ? kx ? m ,联立 x 2 ?

y2 ? 1 消去 y 得 4

(4 ? k 2 ) x 2 ? 2kmx ? m 2 ? 4 ? 0
?? ? 4k 2 m 2 ? 4(4 ? k 2 )(m 2 ? 4) ? 0, x1 ? x2 ? ? 2km m2 ? 4 , x1 x2 ? 2 4?k 4 ? k2

故 4 x1 x2 ? y1 y2 ? 4 x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? (4 ? k 2 ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 0 即 (4 ? k )(
2

m2 ? 4 2km ) ? (km)(? ) ? m 2 ? 0 化简得 2m 2 ? k 2 ? 4 ? 0 (8 分) 2 2 4?k 4?k

S ?AOB ?

1 m 1 1 ? y1 ? y2 ? m x1 ? x2 ? m ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 2 k 2 2

?

1 2km 2 m2 ? 4 1 m (? ) ? 4 ? m 2 4 ? k2 4 ? k2 2

4k 2 m 2 ? 4(m 2 ? 4)(4 ? k 2 ) 1 ? m (4 ? k 2 ) 2 2
(10 分)

4k 2 m 2 ? 16m 2 ? 4k 2 m 2 ? 64 ? 16 (4 ? k 2 ) 2

1 4 k 2 ? m 2 ? 4 1 4 2m 2 ? m 2 ? m ? m ?1 2 4 ? k2 2 2m 2

当直线 AB 斜率不存在时,设直线 AB 方程为: x ? t (?1 ? t ? 1) ,联立椭圆 x 2 ?

y2 ? 1 ,解得 4

y ? ?2 1 ? t 2
不妨设 A(t , 2 1 ? t 2 ), B(t , ?2 1 ? t 2 ) ,代入 4 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 得 t 2 ?

1 2 , ,t ? ? 2 2

此时 S ?AOB ?

1 2 ? ?2 2 ? 1 2 2
(12 分)

综上,三角形 AOB 的面积为定值 1.



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