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2015创新设计二轮专题复习配套PPT课件1-3-1



第1讲 数列的通项与求和问题

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高考定位 高考对本讲知识主要以解答题的形式考查以下两个 问题:1.以递推公式或图、表形式给出条件,求通项公式,考查 学生用等差、等比数列知识分析问题和探

究创新的能力,属中

档题.2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问
题,考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用, 属中档题.

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[真题感悟] (2014· 新课标全国卷Ⅰ ) 已知 {an} 是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x2-5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式; an (2)求数列{2n}的前 n 项和.

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(1)解方程 x2-5x+6=0 的两根为 2,3,

由题意得 a2=2,a4=3. 1 设数列{an}的公差为 d,则 a4-a2=2d,故 d=2, 3 从而 a1=2. 1 所以{an}的通项公式为 an=2n+1.

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an an n+2 (2) 设{2n}的前 n 项和为 Sn,由(1)知2n= n+1 ,则 2 n+1 n+2 3 4 Sn=22+23+?+ 2n + n+1 , 2 n+1 n+2 1 3 4 2Sn=23+24+?+ 2n+1 + 2n+2 . 两式相减得 n+2 1 3 1 1 2Sn=4+(23+?+2n+1)- 2n+2 n+2 3 1 1 =4+4(1- n-1)- n+2 . 2 2 n+4 所以 Sn=2- n+1 . 2
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[考点整合] 1.求数列的通项公式 (1)观察法:利用递推关系写出前几项,根据前几项的特点观 察、归纳猜想出 an 的表达式,然后用数学归纳法证明. (2)利用前 n 项和与通项的关系
? ?S1 an =? ? ?Sn-Sn-1

?n=1?, ?n≥2?.

(3)公式法:利用等差(比)数列求通项公式.

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(4)在已知数列{an}中, 满足 an+1-an=f(n), 且 f(1)+f(2)+?+f(n) 可求,则可用累加法求数列的通项 an. an+1 (5)在已知数列{an}中,满足 a =f(n),且 f(1)· f(2)· ?· f(n)可求, n 则可用累积法求数列的通项 an. (6)将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列).

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2.常见的求和的方法
(1)公式法求和 适合求等差数列或等比数列的前 n 项和.对等比数列利用公 式法求和时,一定注意公式q是否取1. (2)错位相减法 这是推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,主要用于 求数列 {an·bn} 的前 n 项和,其中 {an} , {bn} 分别是等差数列

和等比数列.

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(3)裂项相消法 把数列和式中的各项分别裂开后,消去一部分从而计算和的方 1 法,适用于求通项为 的数列的前 n 项和.其中{an} 若为等 anan+1 1 ? 1 1? ?1 差数列,则 =d?a -a ? ?. anan+1 ? n n +1 ?

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(4)倒序相加法
这是推导等差数列前n项和时所用的方法.将一个数列倒过来排 序,它与原数列相加时,若有公因式可提,并且剩余的项的和 易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求和. (5)分组求和法 一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,若将这个数列适 当拆开,重新组合,就会变成几个可以求和的部分,即能分别

求和,然后再合并.

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热点一

数列的通项问题 由 Sn 与 an 的关系式,求 an

[微题型 1]

【例 1-1】 (2013· 广东卷节选)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已 2Sn 1 2 2 知 a1=1, n =an+1-3n -n-3,n∈N*,求数列{an}的通项 公式.

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1 3 2 2 解 由题意,2Sn=nan+1-3n -n -3n, 1 2 3 2 所以, 当 n≥2 时, 2Sn-1=(n-1)an-3(n-1) -(n-1) -3(n-1), 1 2 2 两式相减得 2an=nan+1-(n-1)an-3(3n -3n+1)-(2n-1)-3, 整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1), an+1 an a2 a1 即 - n =1,又 2 - 1 =1, n+ 1
?an? a1 ? ? 故数列 n 是首项为 1 =1,公差为 ? ?

1 的等差数列,

an 所以 n =1+(n-1)×1=n,所以 an=n2, 所以数列{an}的通项公式为 an=n2,n∈N*.
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规律方法 给出Sn与an的递推关系,求an,常用思路是:一是利 用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;

二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.

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[微题型 2]

已知 an 与 an+1 的递推关系式求 an

2 【例 1-2】 已知正项数列{an}满足 a1=1,(n+2)a2 n+1-(n+1)an

+anan+1=0,求数列{an}的通项.

2 由(n+2)a2 - ( n + 1) a + n 1 n+anan+1=0,

?an+1? ? ?2 an+1 得(n+2)? ? + a =n+1, a n ? n ?

an+1 n+1 所以 a = . n + 2 n 2 2 an an-1 a2 n n-1 又 a1=1,则 an= · · ?· a1= · · ?· 1= . a1· 3· an-1 an-2 n+1 n n+1 2 故数列{an}的通项公式 an= . n+1
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规律方法 已知an与an+1的关系式求通项an时,常有以下类型: ①形如an+1=an+f(n)(f(n)不是常数)的解决方法是累加法;②形 如an+1=an·f(n)(f(n)不是常数)的解决方法是累乘法;③形如an+1 =pan+q(p,q均为常数且p≠1,q≠0)解决方法是将其构造成一

个新的等比数列;④形如an+1=pan+qn(p,q均为常数,pq(p-
1)≠0)解决方法是在递推公式两边同除以qn+1.

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n2+n 【训练 1】 (2014· 湖南卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn= 2 ,n ∈N*. (1)求数列{an}的通项公式;

解 (1)当 n=1 时,a1=S1=1; n2+n ?n-1?2+?n-1? 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= 2 - =n. 2 故数列{an}的通项公式为 an=n.

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(2)与(1)知,bn=2n+(-1)nn.记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n,则 T2n=(21+22+?+22n)+(-1+2-3+4-?+2n). 记 A=21+22+?+22n,B=-1+2-3+4-?+2n,则 2?1-22n? 2n+1 A= =2 -2, 1-2 B=(-1+2)+(-3+4)+?+[-(2n-1)+2n]=n. 故数列{bn}的前 2n 项和 T2n=A+B=22n 1+n-2.


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热点二

数列的前 n 项和问题 裂项求和

[微题型 1]

【例 2-1】 (2014· 广东卷)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项
2 2 * 和为 Sn,且 Sn 满足 S2 - ( n + n - 3) S - 3( n + n ) = 0 , n ∈ N . n n

(1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 (3) 证明:对一切正整数 n ,有 + +?+ a1?a1+1? a2?a2+1? 1 1 <3. an?an+1?
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(1)解 由题意知,S-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*. 令n=1,有S-(12+1-3)S1-3×(12+1)=0,

可得有S+S1-6=0,解得S1=-3或2,即a1=-3或2,
又an为正数,所以a1=2. (2)解 由S-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*可得,(Sn+3)(Sn -n2-n)=0,则Sn=n2+n或Sn=-3, 又数列{an}的各项均为正数,所以Sn=n2+n,Sn-1=(n-1)2+(n

-1),
所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n. 又a1=2=2×1,所以an=2n.
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1 1 1 1 (3)证明 当 n=1 时, = = < 成立; a1?a1+1? 2×3 6 3 1 1 1 1 1 当 n≥ 2 时, = < = ( - an?an+1? 2n?2n+1? ?2n-1??2n+1? 2 2n-1 1 ), 2n+1 1 1 1 1 所以 + +?+ <6+ a1?a1+1? a2?a2+1? an?an+1? 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 2[(3-5)+?+(2n-1-2n+1)]=6+2(3-2n+1)<6+6=3. 1 1 1 1 所以对一切正整数 n, 有 + +?+ < . a1?a1+1? a2?a2+1? an?an+1? 3
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探究提高

(1) 解 决 本 题 的 关 键 是 先 放 缩 后 裂 项 求 和 可 得

? ? 1 1 ? ? 即 < ? 2n?2n+1? ?2n-1??2n+1??. ? ?

(2) 裂项相消法的基本思想就是把通项 an 分拆成 an = bn + k - bn(k≥1,k∈N*)的形式,从而达到在求和时某些项相消的目的, 在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式,使 之符合裂项相消的条件.

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[微题型 2]

错位相减求和

【例 2-2】 (2014· 南阳联考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=2Sn+n+1(n∈N*), (1)求数列{an}的通项公式; n (2)若 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn. an+1-an

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(1)∵Sn+1=2Sn+n+1,

当 n≥2 时,Sn=2Sn-1+n, ∴an+1=2an+1, ∴an+1+1=2(an+1), an+1+1 即 =2(n≥2). an+1 又 S2=2S1+2,a1=S1=1, a2+1 ∴a2=3,∴ =2. a1+1 ∴an+1=2n,即 an=2n-1(n∈N*).
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(2)∵an=2n-1, n n n ∴bn= n+1 = n+1 n n= n, ?2 -1?-?2 -1? 2 -2 2 1 2 3 n ∴Tn=2+22+23+?+2n, n-1 1 1 2 n 2Tn=22+23+?+ 2n +2n+1,
?1 1 1 1 n ? 1 n ? ? ∴Tn=2?2+22+23+?+2n-2n+1?=2- n-1-2n. 2 ? ?

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规律方法 错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和,其中 {an}为等差数列,{bn}为等比数列;所谓“错位”,就是要找 “同类项”相减.要注意的是相减后得到部分等比数列的和, 此时一定要查清其项数.

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【训练2】 (2014·菏泽模拟)已知数列{an},a1=-5,a2=-2,

记A(n)=a1+a2+?+an,B(n)=a2+a3+?+an+1,C(n)=a3
+ a4 +?+ an + 2(n∈N*) ,若对于任意 n∈N* , A(n) , B(n) , C(n)成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前n项和.



(1)根据题意A(n),B(n),C(n)成等差数列,∴A(n)+C(n)

=2B(n); 整理得an+2-an+1=a2-a1=-2+5=3, ∴数列{an}是首项为-5,公差为3的等差数列. ∴an=-5+3(n-1)=3n-8.
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? ?-3n+8,n≤2, (2)|an|=? ? ?3n-8,n≥3,

记数列{|an|}的前 n 项和为 Sn. n?5+8-3n? 3n2 13 当 n≤2 时,Sn= =- 2 + 2 n; 2 ?n-2??1+3n-8? 3n2 13 当 n≥3 时,Sn=7+ = 2 - 2 n+14. 2 ? 3 2 13 ?-2n + 2 n,n≤2, 综上,Sn=? ?3n2-13n+14,n≥3. 2 ?2
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1.在使用关系式

? ?S1,n=1, an=? * ? ?Sn-Sn-1,n≥2,n∈N

时,一定要注意

分 n=1,n≥2 两种情况考虑,求出结果后, 再分析这两种 情况能否整合在一起.

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2.数列求和中应用转化与化归思想的常见类型
(1) 错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题求 解. (2)并项求和时,将问题转化为等差数列求和. (3)分组求和时,将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂 项相消法或并项法求和的几个数列的和求解. 提醒:运用错位相减法求和时,相减后,要注意右边的n+1

项中的前 n 项,哪些项构成等比数列,以及两边需除以代数
式时注意要讨论代数式是否为零.

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3.裂项求和的常见技巧 1 1 1 (1) =n- . n?n+1? n+1 1 ? 1 1? ?1 (2) =k ?n-n+k? ?. n?n+k? ? ? 1 ? 1 1? ? 1 (3) 2 =2?n-1-n+1? . ? n -1 ? ? 1 ? 1 1? ? 1 (4) 2 =2?2n-1-2n+1? ?. 4n -1 ? ?

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