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北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学(文科)


北京市西城区 2016 — 2017 学年度第一学期期末试卷

高三数学(文科)2017.1
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)

一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | x ? 1 ? 0} ,那么 A ? B ?
2

(A) {x | 0 ? x ? 1} (C) {x | ?1 ? x ? 0} 2.下列函数中,定义域为 R 的奇函数是 (A) y ? x ? 1
2

(B) {x |1 ? x ? 2} (D) {x | ?1 ? x ? 2}

(B) y ? tan x

(C) y ? 2

x

(D) y ? x ? sin x

3.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 (A) 1 (B) 0 (C) ?3 (D) ?10

y2 4.已知双曲线 x ? 2 ? 1 (b ? 0) 的一个焦点是 (2, 0) ,则其渐近线的方程为 b
2

(A) x ? 3 y ? 0 (C) x ? 3 y ? 0

(B) 3x ? y ? 0 (D) 3x ? y ? 0

? x ? 1≥ 0, ? 5.实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ≥ 0, 则 y ? 4 x 的取值范围是 ? x ? y ? 2 ≤ 0, ?
(A) ( ??, 4] (B) ( ??, 7] (C) [ ?

1 , 4] 2

(D) [ ?

1 , 7] 2

第 1 页共 11 页

6.设 a , b 是非零向量,且 a ? ? b .则“ | a | ? | b | ”是“ (a ? b) ? (a ? b) ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

7.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是 (A) 20 ? 2 5 (B) 14 ? 4 5 (C) 26 (D) 12 ? 2 5 8.8 名象棋选手进行单循环赛(即每两名选手比赛一场) .规定两人对局胜者得 2 分,平 局各得 1 分,负者得 0 分,并按总得分由高到低进行排序.比赛结束后,8 名选手的得 分各不相同,且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等.则第二名选手的得分是 (A) 14 (B) 13 (C) 12 (D) 11

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

第 2 页共 11 页

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.复数

1? i ? ____. 1? i

10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1) , B(3, ?1) ,则△ AOB 的面积是____. 11.已知圆 ( x ? 1) ? y ? 4 与抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的准线相切,则 p ? ____.
2 2 2

12.函数 y ?

x?4 的定义域是____;最小值是____. x
? , sin B ? 2sin A ,则 3

13.在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .若 c ? 3 , C ?

a ? ____.
14.设函数 f ( x) ? ?

? 0 ≤ x ≤ a, ? x, 其中 a ? 0 . ? ?log3 x, x ? a,

① 若 a ? 3 ,则 f [ f (9)] ? ____; ② 若函数 y ? f ( x) ? 2 有两个零点,则 a 的取值范围是____.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

第 3 页共 11 页

15. (本小题满分 13 分) 在等差数列 {an } 中, a2 ? 3 , a3 ? a6 ? 11 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? an ?

1 ,其中 n ? N* ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . an 2

16. (本小题满分 13 分)
2 已知函数 f ( x) ? sin(2? x ? ) ? 2 cos ? x ? 1 ( ? ? 0) 的最小正周期为 π .

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [0,

π 6

7π ] 上的最大值和最小值. 12

17. (本小题满分 13 分) 手机完全充满电量,在开机不使用的状态下,电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之 间所能维持的时间称为手机的待机时间. 为了解 A,B 两个不同型号手机的待机时间,现从某卖场库存手机中随机抽取 A,B 两 个型号的手机各 5 台,在相同条件下进行测试,统计结果如下: 手机编号 1 2 125 123 3 122 127 4 124 120 5 124 a

A 型待机时间(h) 120 B 型待机时间(h) 118

已知 A,B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)判断 A,B 两个型号被测试手机待机时间方差的大小(结论不要求证明); (Ⅲ)从被测试的手机中随机抽取 A,B 型号手机各 1 台,求至少有 1 台的待机时间超 过 122 小时的概率.
1 (注:n 个数据 x1, x2 ,?, xn 的方差 s2 ? [( x1 ? x )2 ? ( x 2 ? x )2 ? ? ? ( x n ? x )2 ] ,其中 x 为 n

数据 x1, x 2 , ?, x n 的平均数)

18. (本小题满分 14 分)
第 4 页共 11 页

如图,在四棱锥 P - ABCD 中, AD // BC , ?BAD ? 90? , PA ? PD , AB ? PA ,

AD ? 2 , AB ? BC ? 1 .
(Ⅰ)求证: AB ? PD ; (Ⅱ)若 E 为 PD 的中点,求证: CE // 平面 PAB ; (Ⅲ)设平面 PAB ? 平面 PCD ? PM ,点 M 在平面

ABCD 上.当 PA ? PD 时,求 PM 的长.

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点是 F1 , F2 ,点 P( 2,1) 在椭圆 C 上,且 a 2 b2

| PF1 | ? | PF2 | ? 4 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 P 关于 x 轴的对称点为 Q , M 是椭圆 C 上一点,直线 MP 和 MQ 与 x 轴分 别相交于点 E , F , O 为原点.证明: | OE | ? | OF | 为定值.

20. (本小题满分 13 分) 对于函数 f ( x ) ,若存在实数 x0 满足 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 为函数 f ( x ) 的一个不动点. 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 3 ,其中 a, b ? R .
3 2

(Ⅰ)当 a ? 0 时, (ⅰ)求 f ( x ) 的极值点; (ⅱ)若存在 x0 既是 f ( x ) 的极值点,又是 f ( x ) 的不动点,求 b 的值; (Ⅱ)若 f ( x ) 有两个相异的极值点 x1 , x2 ,试问:是否存在 a , b ,使得 x1 , x2 均 为 f ( x ) 的不动点?证明你的结论.

北京市西城区 2016 — 2017 学年度第一学期期末

第 5 页共 11 页

高三数学(文科)参考答案及评分标准
2017.1 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.B 5.A6.C 7.A 2.D 8.C 3 .C 4 .B

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. i 10. 2 11. 2 12. (0, ??) ; 4 13. 3 14. 2 ; [4,9) 注:第 12,14 题第一空 2 分,第二空 3 分.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则有

?a1 ? d ? 3, [4 分] ? ?2a1 ? 7d ? 11.
解得 a1 ? 2 , d ? 1 .[6 分] 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? a1 ? (n ?1)d ? n ? 1 .[7 分]

1 1 ? n ? 1 ? n ?1 .[8 分] an 2 2 1 1 1 因为数列 { n ?1 } 是首项为 ,公比为 的等比数列,[9 分] 4 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ] n(n ? 3) 4 2 [11 分] ? 所以 S n ? 1 2 1? 2
(Ⅱ) bn ? an ?

n 2 ? 3n ? 1 1 ? ? n ?1 .[13 分] 2 2

16. (本小题满分 13 分)

第 6 页共 11 页

解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin(2? x ? ) ? (2 cos 2 ? x ? 1)

π 6

? (sin 2? x cos

π π ? cos 2? x sin ) ? cos 2? x 6 6

[ 4 分]

?

3 1 sin 2? x ? cos 2? x 2 2
[ 6 分]

π ? sin(2? x ? ) , 6
所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? 解得 ? ? 1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin(2 x ? 因为 0 ≤ x ≤ 所以,当 2 x ?

2π ?π, 2?
[ 7 分]

π ). 6
[ 9 分] [11 分]

7π π π 4π ,所以 ≤ 2 x ? ≤ . 12 6 6 3

π π π ? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最大值为 1; 6 6 2

当 2x ?

3 7π π 4π ? ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值为 ? . 12 6 3 2

[13 分]

17. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) xA ? 120 ?

0?5? 2? 4? 4 ? 123 (h) ,[2 分] 5 ?2 ? 3 ? 7 ? 0 ? ( a ? 120) xB ? 120 ? ,[3 分] 5
由 xA ? xB ,解得 a ? 127 .[4 分]

2 2 (Ⅱ)设 A,B 两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为 sA , sB , 2 2 则 sA .[7 分] ? sB

(Ⅲ)设 A 型号手机为 A1 ,A 2 ,A3 ,A 4 ,A5 ;B 型号手机为 B1 ,B2 , B3 ,B4 ,B5 , “至少有 1 台的待机时间超过 122 小时”为事件 C.[8 分] 从被测试的手机中随机抽取 A,B 型号手机各 1 台,不同的抽取方法有 25 种. [10 分] 抽取的两台手机待机时间都不超过 122 小时的选法有:

第 7 页共 11 页

( A1 , B1 ) , ( A1 , B4 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B4 ) ,共 4 种.

[11 分]

4 21 ,所以 P (C) ? 1 ? P (C) ? . 25 25 21 所以至少有 1 台的待机时间超过 122 小时的概率是 .[13 分] 25
因此 P (C) ?

18. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为 ?BAD ? 90 ,
?

所以 AB ? AD ,[1 分] 又因为 AB ? PA ,[2 分] 所以 AB ? 平面 PAD ,[3 分] 所以 AB ? PD .[4 分] (Ⅱ)取 PA 的中点 F ,连接 BF , EF .[5 分] 因为 E 为棱 PD 中点,所以 EF //AD , EF ? 1 AD , 2 又因为 BC //AD , BC ? 1 AD , 2 所以 BC //EF , BC ? EF . 所以四边形 BCEG 是平行四边形, EC //BF .[8 分] 又 BF ? 平面 PAB , CE ? 平面 PAB , 所以 CE // 平面 PAB .[9 分] (Ⅲ)在平面 ABCD 上,延长 AB , CD 交于点 M . 因为 M ? AB ,所以 M ? 平面 PAB ;又 M ? CD ,所以 M ? 平面 PCD , 所以平面 PAB ? 平面 PCD ? PM .[11 分] 在△ ADM 中,因为 BC //AD , BC ? 所以 AM ? 2 AB ? 2 .[12 分] 因为 PA ? PD ,所以△ APD 是等腰直角三角形,所以 PA ? 由(Ⅰ)得 AM ? 平面 PAD ,所以 AM ? PA . 在直角△ PAM 中, PM ? PA2 ? AM 2 ? 6 .[14 分] 19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由椭圆的定义,得 | PF 1 | ? | PF2 | ? 2a ? 4 , a ? 2 .[2 分]

1 AD , 2

2 .[13 分]

第 8 页共 11 页

将点 P( 2,1) 的坐标代入 解得 b ?

2 1 x2 y 2 ? 2 ? 1 ,得 ? 2 ? 1 , 4 b 4 b

2 .[4 分]
x2 y 2 ? ? 1 .[5 分] 4 2

所以,椭圆 C 的方程是

(Ⅱ)依题意,得 Q( 2, ?1) . 设 M ? x0 , y0 ? ,则有 x02 ? 2 y02 ? 4 , x0 直线 MP 的方程为 y ? 1 ?

? 2 , y0 ? ?1 .[6 分]

y0 ? 1 ( x ? 2) ,[7 分] x0 ? 2

令 y ? 0 ,得 x ?

2 y0 ? x0 ,[8 分] y0 ? 1

所以 OE ?

2 y0 ? x0 . y0 ? 1

直线 MQ 的方程为 y ? 1 ?

y0 ? 1 x0 ? 2

( x ? 2) ,[9 分]

令 y ? 0 ,得 x ?

2 y0 ? x0 ,[10 分] y0 ? 1

所以 OF ?

2 y0 ? x0 . y0 ? 1 2 y0 ? x0 ? y0 ? 1
2 2 2 y0 ? x0 2 y0 ? x0 = 2 y0 ? 1 y0 ?1

所以 OE ? OF =

=

2 2 2 y0 ? (4 ? 2 y0 ) [12 分] 2 y0 ?1

= 4.
所以 OE ? OF 为定值.[14 分]

20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (??, ??) ,且 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b .[1 分]
2

第 9 页共 11 页

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 3x ? b .
2

(ⅰ)① 当 b ≥ 0 时,显然 f ( x ) 在 (??, ??) 上单调递增,无极值点.[2 分] ② 当 b ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ? ?
b .[3 分] 3

f ( x) 和 f ?( x ) 的变化情况如下表:
x
f ?( x) f ( x)
b (??, ? ? ) 3

? ?

b 3

b b (? ? , ? ) 3 3

?

b 3

b ( ? , ??) 3

?


0

?

0

?




所以, x ? ? ?

b b 是 f ( x ) 的极大值点; x ? ? 是 f ( x ) 的极小值点.[5 分] 3 3

2 (ⅱ)若 x ? x0 是 f ( x ) 的极值点,则有 3x0 ?b ? 0;
3 若 x ? x0 是 f ( x ) 的不动点,则有 x0 ? bx0 ? 3 ? x0 .

从上述两式中消去 b ,
3 整理得 2x0 ? x0 ? 3 ? 0 .[6 分]

设 g ( x) ? 2 x3 ? x ? 3 . 所以 g?( x) ? 6x2 ? 1 ? 0 , g ( x) 在 (??, ??) 上单调递增. 又 g (1) ? 0 ,所以函数 g ( x) 有且仅有一个零点 x ? 1 ,
3 即方程 2x0 ? x0 ? 3 ? 0 的根为 x0 ? 1 , 2 所以 b ? ?3x0 ? ?3 .[8 分]

(Ⅱ)因为 f ( x ) 有两个相异的极值点 x1 , x2 , 所以方程 3x 2 ? 2ax ? b ? 0 有两个不等实根 x1 , x2 , 所以 ? ? 4a 2 ? 12b ? 0 ,即 a 2 ? 3b ? 0 .[9 分] 假设存在实数 a , b ,使得 x1 , x2 均为 f ( x ) 的不动点,则 x1 , x2 是方程

x3 ? ax2 ? (b ?1) x ? 3 ? 0 的两个实根,显然 x1 , x2 ? 0 .
3 对于实根 x1 ,有 x1 ? ax12 ? (b ?1) x1 ? 3 ? 0 .①

第 10 页共 11 页

2 又因为 3x1 ? 2ax1 ? b ? 0 .②

① ?3 ? ② ? x1 ,得 ax1 ? (2b ? 3) x1 ? 9 ? 0 .
2 2 同理可得 ax2 ? (2b ? 3) x2 ? 9 ? 0 .

所以,方程 ax ? (2b ? 3) x ? 9 ? 0 也有两个不等实根 x1 , x2 .[11 分]
2

所以 x1 ? x2 ? ?

2b ? 3 . a 2a , 3

对于方程 3x 2 ? 2ax ? b ? 0 ,有 x1 ? x2 ? ? 所以 ?

9 2a 2b ? 3 2 ?? , 即 a ? 3b ? ? , 2 3 a

这与 a 2 ? 3b ? 0 相矛盾! 所以,不存在 a , b ,使得 x1 , x2 均为 f ( x ) 的不动点.[13 分]

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