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第一课时数列的概念与简单表示法



数列的概念及表示方法

1

8

7

6

5

4

陛下,赏小 人一些麦粒 请在第一个格 请在第三个格 请在第四个格 子放 1 颗麦粒 子放 4 颗麦粒 就可以 。 请在第二个格 子放 8 颗麦粒 依次类推 ……
子放2颗

麦粒

8 7 6 5 4 64个格子 你想得到 3 什么样的 2 赏赐? 1 3 2 1

OK

2

?
64个格子

8

7

6

5

4

3

2

1

8 7 6 5 4 3 2 1

你认为国王 有能力满足 上述要求吗

每个格子里的麦粒数都是 前 一个格子里麦粒数的 2倍 且共有 64 格子

2 1

0

2 2 18446744073709551615
3

2

1

2

3

63 ?? ? 2

传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题:

三角形数 1, 3, 6, 10, .…..

正方形数 1, 4, 9, 16, …… 提问:这些数有什么规律吗?

4

?上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数:

1 , 2, 2 , 2 , ??2
2 3

63

三角形数:1,3,6,10,· · · 正方形数:1,4,9,16,· · ·
?1,2,3,4……的倒数排列成的一列数:

?高一(2)班每次考试的名次由小到大排成的一列数: ?-1的1次幂,2次幂,3次幂,……排列成一列数:

1 1 1 1, , , , ?? 2 3 4

1 , 2, 3, 4, ??54

?1 , 1 , ?1 , 1??

?无穷多个1排列成的一列数:

1 , 1 , 1 , 1 , ??

5

1,3,6,10,· · ·
2 3

1,4,9,16,· · ·
63

1 , 2, 2 , 2 , ??2
1 1 1 1, , , , ?? 2 3 4

1

2 3 4 5

1 , 2, 3 , 4, ??35

?1 , 1 , ?1 , 1??

1 , 1 , 1 , 1 , ? ?
共同特点:
1. 都是一列数;

2. 都有一定的顺序
6

定义:按一定顺序排列着的一列数称为
问1: 数列
3

(数列具有有序性) 1,2 , 3 ,… ,54 改为
请问:是不是同一数列?

3 , 2 ,1 ,… ,54

问2: 数列

4

-1,1,-1,1…… 改为:

1,-1,1,-1……,请问:是不是同一数列?
7

数列中的每一个数叫 做这个数列的项。 各项依次叫做这个数列 的第1项,第2项,· · · · · · , 第n项, · · · · · · 数列的分类
(1)按项数分: 项数有限的数列叫有穷数列 项数无限的数列叫无穷数列
(2)按项之间的大小关系:

1 , 2 , 22, 23, ?? 263
有穷数列 无穷数列

1

递增数列
2

1 1 1 1 , ,, , ?? 2 3 4

递减数列

1 , 2, 3 , 4, ??54
有穷数列
无穷数列

3

递增数列
常数列
4

1 , 1 , 1 , 1 , ? ?

?1 , 1 , ?1 , 1??
无穷数列

5

递增数列, 递减数列,

摆动数列
8

摆动数列, 常数列。

如果数列 ?an ?的第n项 与项数之间的关系可以用一 个公式来表示, 那么这个 公式就叫做这个数列的 通项公式。

? 第n项 数列的一般形式可以 a1 a 2 a 3 ? a n 写成: 0 1 a1,a2,a3, ?,an ?, 1 , 2 2 , 22 , ? , 2n?1 , ? , 263 简记为?a n ? ,其中 an是数 ?2n?1 ?(n ? N * , n ? 64) an? 2n?1 1 1 1 1 ? , , 列的第n项。 ? , , , 1 1
第1项 第2项 第3项

1

an ? n, , 1 2 3 , ? , n , ? , 54 { n } (n ? N * , n ? 54) an? n n ? ? -1 , 1 , -1 , , (-1) , a n ? (-1)n (n ? N * ) 1 , 1 , 1 , ?, 1 , ? 9 a n =1 (n ? N * )

2

3 1 { } (n ? N * )

n

2

1 n

3

4

5

例1 根据下面数列?an ?的
通项公式,写出它的前5项:
n ( 1) a n ? n ?1

(2) an ? ?? 1? ? n
n

解:(1)在通项公式中依次取 n =1,2, 3,4,5,得到数列 ?an ? 的前5项为

1 2 3 4 5 , , , , . 2 3 4 5 6

(2)在通项公式中依次取n=1,2, an ? 5项为 3,4,5,那么数列 ? 的前

-1,2, - 3,4, - 5.
10

例2 写出数列的一个通项公式, 使它的前4项分别是下列各数: (1)1,3,5,7; 解:此数列的前四项1,3,5,7都 是序号的2倍减去1,所以通项公式 是:

an ? 2 n ? 1
11

( 2)

2 ?1 3 ?1 4 ?1 5 ?1 , , , ; 2 3 4 5
2 2 2 2

解:此数列的前四项的分母都
是序号加1,分子都是分母的平方减 去1,所以通项公式是:

an

? n ? 1? ?

? 1 n ?n ? 2 ? ? n ?1 n ?1
2
12

1 1 1 1 , ,? , . ( 3) ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5
解:此数列的前4项的绝对值都等
于序号与序号加上1的积的倒数,且奇数 项为负,偶数项为正,所以通项公式是:

? ? 1? an ? n ?n ? 1?
n
13

思考题:
1、 写出下列数列的一个通项公式: (1)1,-1,1,-1;

(2)2,0,2,0;
(3)9,99,999,9999; (4)0.9,0.99,0.999,0.9999。

答案: (1)

an ? ?? 1?
n

n ?1 n ?1

(2)
(3)

an ? 1 ? ?? 1? an ? 10 ? 1 an ? 1 ? 10 ?n

(4)

14

观察下面数列的特点,用适当的数填空,并 写出每个数列的一个通项公式:

(1)2,4, ( 8 ),16,32, (64 ),128

( 2)( 1),4,9,16,25, (36 ),49
1 1 1 1 1 1 ( 3) - 1, , (- ), ,- , , ( - ) 2 3 4 5 6 7

(4)1, 2, ( 3 ), 2, 5 , ( 6 ), 7
15

基础知识梳理
数列的通项公式唯一吗?是否每 个数列都有通项公式?
【思考· 提示】 不唯一,如数 列- 1,1,- 1,1 , …的通项公式可 以 为 an = ( - 1)n 或 an = ?-1 (n为奇数 ) ? ,有的数列没有 (n为偶数 ) ?1 通项公式.
16

数列是一种特殊函数!
x
1 2 2.5 4 4.5

定义域是 N*(或它的 有限子集)

y
3 4 5 6 7

n

1 2 3 4 5

an a1 a2 a3 a4 a5

通项公式:数列{an}的第n项an与n的关系式

17

思考:数列与集合的概念有何区别
(1)数列{an}中是一列数,而集合中的元素 不一定是数; (2) 数列{an}中的数是有一定次序的,而集 合中的元素没有次序; (3) 数列{an}中的数可以重复,而集合中的

元素不能重复。
18

三基能力强化
1 1 1 1 1.数列 , , ,…, ,…中第 3 4 5 n 10 项是( ) 1 1 A. B. 10 8 1 1 C. D. 11 12

答案:D

19

三基能力强化
2.已知数列{an}的通项公式是 an= 2n ,那么这个数列是( 3n+ 1 )

A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 答案:A

20

三基能力强化
3.若数列的前四项分别为2,0,2,0, 则此数列的通项公式不能是( ) A.an=1+(-1)n+1 B.an=1-cosnπ
C.an=2sin 21)n-1+(n-1)(n-2) D.an=1+(- 答案:D
2nπ

21

三基能力强化
4.已知数列{an}满足an+2=an+1 +an(n∈N*).若a1=1,a2=2.则a5= ________. 答案:8

22

三基能力强化
5.(教材习题改编)下列关于星星 的图案个数构成一个数列,该数列的 一个通项公式是________.

1 答案:an= n(n+1) 2

23

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5

an ? n( n ? 1)的图象
是些孤立点

6

7

8

9

10
24

5
做出常数数列: 4,4,4,4,?图象

4

3
做出摆动数列: -1 , 1 , -1 , 1 , ?图象

2

1
0 -1 1 2 3 4 5

我们好孤单! 我们好孤单!

25

求数列

a n ? n ? 5n ? 1 中的数值最小的项.
2

y=x 2 ? 5x+1

26

求数列 a n

? ?2n ? 9n ? 3 中的数值最大的项.
2

9 2 105 解:? an ? ?2(n ? 4 ) ? 8 , 9 * 又2 ? ? 3, n ? N 4 ? n ? 2时an 取最大值13.

? 数列?-2n2 ? 9n ? 3?中数值最大的项为a2 ? 13.
27

问题:如果一个数列{an}的首项a1=1,从第二 项起每一项等于它的前一项的2倍再加1, 即 an = 2 an-1 + 1(n∈N,n>1),(※)
你能写出这个数列的前三项吗? 像上述问题中给出数列的方法叫做递推法, 其中an=2an-1+1(n>1)称为递推公式。递推公 式也是数列的一种表示方法。
28

递推公式是数列所特有的表示 法,它包含两个部分,一是递 推关系,一是初始条件,二者 缺一不可.

29

例3 设数列 ?a n ? 满足

写出这个数列的前五项。

30

本节课学习的主要内容有: 1、数列的有关概念 2、数列的通项公式; 3、数列的实质; 4、本节课的能力要求是:

(1) 会由通项公式 求数列的任一项;
(2)会用观察法由数列的前几项 求数列的通项公式。
31

1、 选择题

补充练习
)

( 1 )下面数列是有穷数列的是( 1 1 1 A.1,0,1,0, ? B.1, , , ; 2 3 4 C.2,22,222 , ? D.0,0,0,0, ?

( 2 )以下四个数中, 是数列 { n( n ? 1 )} 中的一项是( A.380 B.39 C .32 D.23 n2 ( 3 )已知数列 { an }的通项公式an ? 2 ,那么0.98( n ?1 A.是这个数列的项, 且n ? 6 ; B .是这个数列的项, 且n ? ?7 ; C .是这个数列的项, 且n ? 7 ; D.不是这个数列的项 .
32

).

)

2、 填空题 n?1 ( 4) 已知数列 { an }的通项公式an ? , n 则它的第5项a5 ? _______; 1 3 7 15 ( 5 )数列? , ,? , ,?的一个通项公式 2 4 8 16 为__________ ____; 1 ( 6 )数列0 , lg 2 ,lg 3 ,lg 2 ,?的一个通项公 2 式为__________ _____.
33

34



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