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国庆作业(三)高二数学月考模拟试题



国庆作业---------高二月考复习(三)
班级 学号 姓名 成绩

一、填空题(本大题共 14 题,每题 5 分,共 70 分,请将答案填 写在答题卷相应的位置上) 1. cos96 cos 24 ? sin96 cos56 = . 2. 过点 P(?3,1) 且与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 垂直的直线方程为
0 0 0

0 2 2 2



3. 在 ?ABC 中,若 b ? c ? a ? bc ,则 A ? . 4. 直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 在两坐标轴上的截距之和为 . 5. P,Q 分别为直线 3x+4y﹣12=0 与 6x+8y+6=0 上任意一点,则 PQ 的最小值为 6. 若 x ? y ? 1 ,则 x ? y 的最小值为
2 2
2 2



. .

7.椭圆

x y ? ? 1 上横坐标为 2 的点到右焦点的距离为 16 7


?x ? y ? 2 ? 0 y ? 8. 若实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则 的最大值是 x ?2 y ? 3 ? 0 ?

[来源:学§科§网]

10. 光线从 A(1,0)出发经 y 轴反射后到达圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 6 y ? 17 ? 0 所走过的最短路程 为 . 11.已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 1,由直线 l : x ? y ? k ? 0 上一点 P 作圆 O 的两条切线,切点为 A, B,若在直线 l 上至少存在一点 P,使 ?APB ? 60 ,则 k 的取值范围是
0

.

x2 y2 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 + =1 的左焦点为 F,直线 x-y-1=0, 4 3 x-y+1=0 与椭圆分别相交于点 A,B,C,D,则 AF+BF+CF+DF= . 13、平面直角坐标系中,O 为坐标原点, M 是直线 l : x ? 3 上的动点,过点 F (1, 0) 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆 D 交于点 P(m, n) .则 m, n 满足的关系式为 . 14、已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 相交于 A, B 两点,且 OA ? OB(O a2 b2 1 2 为坐标原点),若椭圆的离心率 e ? [ , . ] ,则 a 的最大值为 2 2

二、解答题(本大题共 6 题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) π α 1 2 15. (本小题满分 14 分) 已知 0<α< <β<π,tan = ,cos(β-α)= . 2 2 2 10 (1)求 sin α 的值; (2)求 β 的值.

1

16. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, E , F 分别是 A1 B, A1C 的 中点,点 D 在 B1C1 上, A1 D ? B1C . 求证: (1) EF ∥平面 ABC ; (2)平面 A1 FD ? 平面 BB1C1C .
A1 D B1 C1

F E A B

C

17. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-2x-3 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 x+y+a=0 与圆 C 交于 A,B 两点,且 AB=2,求实数 a 的值.

2

18 ( 本小 题满分 16 分) . 如图 ,直 角三 角形 ABC 的 顶 点坐 标 A(?2, 0) , 直角 顶点

B(0, ?2 2) ,顶点 C 在 x 轴上,点 P 为线段 OA 的中点. (1)求 BC 边所在直线方程; (2)求三角形 ABC 外接圆的方程; (3)若动圆 N 过点 P 且与 ?ABC 的外接圆内切, 求动圆 N 的圆心 N 所在的曲线方程.

19. (本小题满分 16 分) 已知圆 O : x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 与直线 x ? y ? 2 2 ? 0 相切. (1)求圆 O 的方程;

3 ) 的直线 l 截圆所得弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; 3 (3) 设圆 O 与 x 轴的负半轴的交点为 A , 过点 A 作两条斜率分别为 k1 ,k 2 的直线交圆 O 于 B, C 两点,且 k1k2 ? ?2 ,试证明直线 BC 恒过一个定点,并求出该定点坐标.
(2)过点 (1,

3

20. (本小题满分 16 分)

x2 y 2 2 ,右顶点为 A ,直线 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2 BC 过原点 O ,且点 B 在 x 轴上方,直线 AB 与 AC 分别交直线 l : x ? a ? 1 于点 E , F . (1)若点 B ( 2, 3) ,求 ?ABC 的面积; (2)若点 B 为动点,设直线 AB 与 AC 的斜率分别为 k1 , k2 . ① 试探究 k1 ? k2 是否为定值.若为定值,请求出值;若不为定
在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 值,请说明理由. ② 求 ?AEF 的面积的最小值.

4

国庆作业---------高二月考复习(三)
一、填空题(本大题共 14 题,每题 5 分,共 70 分,请将答案填 写在答题卷相应的位置上)

1、 -

1 ? 1 1 3 5 ;2、 3x-2 y +11 ? 0 ;3、 ;4、 - ;5、3;6、 ;7、 ;8、 2 2 2 3 2 2
2 2

10、4;11、 [?2 2, 2 2] ;12、8;13、 m +n =3 ;14、 2

6

二、解答题(本大题共 6 题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) π α 1 2 15.已知 0<α< <β<π,tan = ,cos(β-α)= . 2 2 2 10 (1)求 sin α 的值; (2)求 β 的值. α 2tan 2

1 sin α 4 2× ? ?cos α=3, 2 α 1 4 解:(1)∵tan = ,∴tan α= = = ,由? 2 2 1?2 3 2α ? ? 1-tan ?sin2α+cos2α=1, 2 1-?2? 4 4 sin α=- 舍去?. 解得 sin α= ? 5 ? 5? (2)由(1)知 cos α= 1-sin2α= 4?2 3 1-? ?5? =5,

π 2 又 0<α< <β<π,∴β-α∈(0,π),而 cos(β-α)= , 2 10 ∴sin(β-α)= 1-cos2?β-α?= 1-? 2?2 7 2 = , ? 10 ? 10

4 2 3 7 2 2 于是 sin β=sin[α+(β-α)]=sin αcos(β-α)+cos αsin(β-α)= × + × = . 5 10 5 10 2 π ? 3π 又 β∈? ?2,π?,∴β= 4 . 16.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, E , F 分别是 A1 B, A1C 的中点, 点 D 在 B1C1 上, A1 D ? B1C . 求证: (1) EF ∥平面 ABC ; (2)平面 A1 FD ? 平面 BB1C1C .
A A1 D B1 C B1 E C A1 D B1 C1

F

证明: (1)

E , F 分别是 A1 B, A1C 的中点
E

F

5

A B

C

? EF / / BC 又 EF ? 平面ABC BC ? 平面ABC ? EF / / 平面ABC
(2)

……………3 分

…………………6 分

直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 …………………7 分 …………………9 分

? BB1 ? 平面A1 B1C1 又 A1 D ? 平面A1 B1C1 ? BB1 ? A1 D 又 A1 D ? B1C B1C BB1 ? B1 B1C ? 平面BB1C1C BB1 ? 平面BB1C1C ? A1 D ? 平面BB1C1C 又 A1 D ? 平面A1 FD ? 平面A1 FD ? 平面BB1C1C

…………………12 分 …………………14 分

17.解 (1)曲线与 y 轴的交点是(0,-3).令 y=0,得 x2-2x-3=0, 解得 x=-1 或 x=3. 即曲线与 x 轴的交点是(-1,0),(3,0). 设所求圆 C 的方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0, ……………… 2 分

? ?9-3E+F=0, 则?1-D+F=0, 解得 D=-2,E=2,F=-3. ?9+3D+F=0, ?
所以圆 C 的方程是 x2+y2-2x+2y-3=0. (2)圆 C 的方程可化为(x-1)2+(y+1)2=( 5)2, 所以圆心 C(1,-1),半径 r= 5. |1+(-1)+a| |a| 圆心 C 到直线 x+y+a=0 的距离 d= = . 2 2 所以( |a| 2 ) +12=( 5)2,解得 a=±2 2 . 2 2 , 2 ……………… 7 分 1 由于 d2+( AB)2=r2, 2 ……………… 10 分 ……………… 5 分

18.解: (1)∵kAB=- 2,AB⊥BC,∴kCB= ∴直线 BC 方程为:y=

……………………………2 分

2 x-2 2. ……………………………4 分 2 (2)直线 BC 与 x 轴交于 C,令 y=0,得 C(4,0),∴圆心 M(1,0) ,……………7 分 又∵AM=3,∴外接圆的方程为 ( x ? 1) ? y ? 9 . (3)∵P(-1,0),M(1,0), ∵圆 N 过点 P(-1,0),∴PN 是该圆的半径.
2 2

……………………10 分

6

又∵动圆 N 与圆 M 内切,∴MN=3-PN,即 MN+ PN=3. ∴点 N 的轨迹是以 M、P 为焦点,长轴长为 3 的椭圆,
2 2

……………12 分 ……………14 分

x y 3 5 ∴a= ,c=1,b2=a2-c2= ,∴轨迹方程为 ? ? 1 . …………………16 分 2 4 9 5 4
19⑴由题意知, d ?

4
………4 分

2 2 1 ? ( ?1)
2 2

? 2 ? r ,所以圆 O 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 ;

⑵若直线 l 的斜率不存在,直线 l 为 x ? 1 , 此时直线 l 截圆所得弦长为 2 3 ,符合题意, 若直线 l 的斜率存在,设直线为 y ? ………5 分

3 ? k ( x ? 1) ,即 3kx ? 3 y ? 3 ? 3k ? 0 , 3

由题意知,圆心到直线的距离为 d ? 则直线 l 为 x ? 3 y ? 2 ? 0 .

| 3 ? 3k | 9k 2 ? 9

? 1 ,所以 k ? ?

3 , 3
……7 分 ………8 分

所以所求的直线为 x ? 1 或 x ? 3 y ? 2 ? 0 .

7

? 2 3 ? ?1 ? ?a 2 ? 8 ? a 2 b2 20.解: (1)依题意, ? 2 ,得 ? 2 2 2 ?b ? 4 ?c ? a ?b ? 1 2 2 ? a 2 ?a ? A(2 2, 0)

? S ?ABC ? S ?AOB ? S ?AOC ? 2 6
(2)①由 e ?

…………………4 分

2 得 a 2 ? 2b 2 2 设 BC : x ? my ,设 B ( x0 , y0 ) ,则 C (? x0 , ? y0 ) y0 y0 , k2 ? x0 ? a x0 ? a

? k1 ?

? k1 ? k2 ?

2 2 y0 y0 ? 2 2 x0 ? a 2 m 2 y0 ? 2b 2

? x ? my ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 2 b2 ? 2b 1 ? k1 ? k2 ? ? 为定值 2 ② AB : y ? k1 ( x ? a )

? y2 ?

2b 2 m2 ? 2
…………………10 分

?x ? a ?1 ?? 即 E (a ? 1, k1 ) 同理, F (a ? 1, k2 ) ? y ? k1 1 1 ? S ?AEF ? EF ? (a ? 1 ? a ) ? k1 ? k2 2 2 2 1 1 2 2 时取等 k1 ? k2 ? k12 ? k2 ? 1 ? k12 ? 2 ? 1 ? 2 当且仅当 k12 ? 2 即 k1 ? ? 2 4k1 4k1
? y ? k1 ( x ? a ) ? ? x ? a ?1
此时 S min ?

2 2

…………………………16 分

1、 cos96 cos 24 ? sin96 cos56 =
0 0 0 0

.-

1 2
8

2、点 P(?3,1) 且与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 垂直的直线方程为 3、在 ?ABC 中,若 b ? c ? a ? bc ,则 A ?
2 2 2

. 3x-2 y +11 ? 0



? 3
.-

4、直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 在两坐标轴上的截距之和为

1 2

5. P,Q 分别为直线 3x+4y﹣12=0 与 6x+8y+6=0 上任意一点,则 PQ 的最小值为 3 . 6.若 x ? y ? 1 ,则 x 2 ? y 2 的最小值为 .

1 2


7.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上横坐标为 2 的点到右焦点的距离为 16 7

5 2

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 8.若实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则 的最大值是 x ?2 y ? 3 ? 0 ?
为 .4



[来源:学§科§网]

3 2

10.光线从 A(1,0)出发经 y 轴反射后到达圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 6 y ? 17 ? 0 所走过的最短路程

11.已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 1,由直线 l : x ? y ? k ? 0 上一点 P 作圆 O 的两条切线,切点为 A,
0 B , 若 在 直 线 l 上 至 少 存 在 一 点 P , 使 ?APB ? 60 , 则 k 的 取 值 范 围 是

[?2 2, 2 2]

.

x2 y2 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 + =1 的左焦点为 F,直线 x-y-1=0, 4 3 x-y+1=0 与椭圆分别相交于点 A,B,C,D,则 AF+BF+CF+DF= 8 .

13.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,M 是直线 l : x ? 3 上的动点, 过点 F (1, 0) 作 OM 的 垂线与以 OM 为直径的圆 D 交于点 P(m, n) .则 m, n 满足的关系式为 14. 已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆 . m +n =3
2 2

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 相交于 A, B 两点,且 OA ? OB(O a2 b2
1 2 ] ,则 a 的最大值为 2 2


为坐标原点),若椭圆的离心率 e ? [ ,

6 2

9



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