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四川省成都外国语学校2014-2015学年高一数学上学期期中试题



成都外国语学校 2014—2015 学年度上期期中考试 高一数学试卷
注意事项: 1、本试卷分第Ⅰ卷 ( 选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两 部分。 2、本堂考试 120 分钟,满分 150 分。 3、答题前,请考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卷上,并使用 2B 铅笔填涂。 4、考试结束后,请考生将答题卷交回。 第Ⅰ卷(选择题 共50 分) 一.选择题:本大题共 10

小题,每小题 5 分共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1. 设集合 A ? ?0, 1, 2, 3? ,集合 B ? ?2, 3, 4? ,则 A ? B ? ( A. ) D. A

?2, 3?

B.

?0, 1?

C.

?0, 1, 4?

?0, 1, 2, 3, 4?
)B

2.设全集为实数集 R ,集合 A ? ?x | x ? 2? , B ? ?x | x ? 3? ,则( A. A ? (CR B) ? R C. A ? (CR B) ? ? 3.若函数 f ( x) ?
2

B. (CR A) ? (CR B) ? R D. CR ( A ? B) ? ? )D

3? x 的定义域为 R ,则实数 m 的取值范围是( mx ? 4mx ? 3

3 A . ? ??, 0 ? ? ( , ?? ) 4

3 B . (0, ) 4

?3 ? C . ? , ?? ? ?4 ?

? 3? D . ?0, ? ? 4?
)C

4. 若函数 y ? f ( x ) 的定义域是 [0, 2] ,则函数 y ? f (2 x ? 1) 的定义域是( A. [0,1] B. [0, 2] C. ? , ? 2 2

?1 3? ? ?

D. ?- 1,3?

5.已知 a ? 0, 且 a ? 1 ,函数 y ? loga x, y ? a x , y ? x ? a 在同一坐标系中的图象可能是 C

6.已知幂函数 y ? f ( x) 的图像过点(

1 2 , ) ,则 log2 f (2) 的值为( 2 2

)A

-1-

A.

1 2

B.-

1 2

C.-1

D.1

7.已知映射 f :A ? B ,其中 A ? B ? R ,对应法则 f :x ? y ? x2 ? 2x ? 2, 若对实数 k ? B ,在 集合 A 中不存在元素与之对应,则 k 的取值范围是( A. k ? 1 B. k ? 1 C. k ? 1 )B D. k ? 1

8. 定义两种运算: ① a ? b ? a2 ? b2 ; ② a ? b ? (a ? b)2 , 则函数 f ( x) ? A A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数

2? x 是 ( x?2?2



D.非奇非偶函数 )D

9.已知 2a ? 3b ? k ( k ? 1) ,且 2a ? b ? ab ,则实数 k 的值为(

A.6 B.9 C.12 D.18 10.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数” , 那么函数解析式为 y ? 2 x ? 1,值域为{1,7}的“孪生函数”共有 A.10 个 B.9 个 C.8 个 D.4 个
2



)B

第Ⅱ卷

(非选择题 共90 分)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.若 A ? ?x | x ? 12,x ? N?,B ? ?x | x ? 6,x ? N?, 全集 I ? N ,则 ?I ( A ? B) = { 6,7,8,9,10,11,12}
5 3

12.已知函数 f ? x ? ? 3x ? ax ? bx ? 8, 且f ? ?2? ? 15, 那么f ? 2? 等于

1

13.已知函数 f ( x ? 1 ) 是偶函数,当 x ? ( ?? ,1 ) 时,函数 f ( x ) 单调递减,设 a ? f ( ?

1 ),b ? f ( ?1 ),c ? f ( 2 ) 2

1 a ? f ( ? ),b ? f ( ?1 ),c ? f ( 2 ) ,则 a, b, c 的大小关系为 2 c?a?b

? 1 ? 1? ? x ? 2 , x ? ?0, 2 ? ? ? ? 14.已知函数 f ( x) ? ? ,若存在 x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? f ( x2 ) ?3x 2 , x ? ? 1 ,1? ? ? ?2 ? ? ?
的取值范围为

? 3 1? ,? ? ?16 2 ?

15 . 符 号 [ x ] 表 示 不超 ..过 .x 的最 大 整 数, 如 [ ? ] =3, [-1.8] = - 2, 定 义函 数:

f ( x ) ? x ? [ x ] ,则下列命题正确的序号是

.12
-2-

① f ( ?0.2) ? 0.8 ; ③ 函数 f ( x ) 是增函数;

② 方程 f ( x ) =

1 有无数个解; 2

④ 函数 f ( x ) 是奇函数.

⑤ 函数 f ( x ) 的定义域为R,值域为[0,1].

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,本大题共 6 小题,共 75 分。 16. (本题满分12分)求下列各式的值:
2 8 ?2 2 lg 2 3 3 (1) ( ) ? e ? e 3 ? (2 ? e) ? 10 27

原式=
2

9 4
1 1 lg ? log 2 9 ? log 3 2 2 25

????(6分)

(2) lg 5 ? lg 2 ? lg 500 ?

9 原式= (lg2 5) ? lg5? lg 2 ? 2lg 2 ? lg5 ? log3

= lg5(lg5 ? lg 2) ? 2lg 2 ? lg5 ? 2 = 2(lg 5 ? lg 2) ? 2 =0 17. (本题满分12分)
2 已知集合 A ? {x x ? 3 x ? 10 ? 0}

????(6分)

(1)若 B? A, B ? {x m ?1 ? x ? 2m ?1} ,求实数 m 的取值范围; (2)若 A? B, B ? {x m ? 6 ? x ? 2m ?1} ,求实数 m 的取值范围; 解:由 A={x|x -3x-10≤0},得 A={x|-2≤x≤5}, (1) ∵B? A,∴①若 B= ,则 m+1>2m-1,即 m<2,此时满足 B? A.
2

m+1≤2m-1, ? ? ②若 B≠ ,则?-2≤m+1, ? ?2m-1≤5.

解得 2≤m≤3.

由①②得,m 的取值范围是(-∞,3]. 2m-1>m-6, ? ? (2) 若 A? B,则依题意应有?m-6≤-2, ? ?2m-1≥5. ∴m 的取值范围是[3,4]. 18. (本题满分12分) 已知函数 f ?x ? ?

m>-5, ? ? 解得?m≤4, ? ?m≥3.

故 3≤m≤4,

5 ax2 ? 2 是奇函数,且 f ?2 ? ? . 3 3x ? b

(1)求实数 a , b 的值;

-3-

(2)判断函数 f ?x ? 在 ?? ?,?1?上的单调性,并用定义加以证 明.

19. ( 本 题 满 分 1 2 分 ) 设 f ?x ? 的 定 义 域 为 (0, ??) , 对 任 意 正 实 数 m, n , 恒 有

1 f ( ) ? ?1 ,且当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 。 f ( m? n) ? f ( m)? f ( n ) 。已知 2 (1)求 f (2) 的值;
(2)求证: f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数; (3)解关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 ? f (

3 )。 x?4

解: (1) 令m ? n ? 1得f (1) ? 2 f (1) ? f (1) ? 0

1 1 而f (1) ? f (2 ? ) ? f (2) ? f ( ) ? f (2) ? 1 ? 0 ? f (2) ? 1 2 2 x x (2)设0 ? x1 ? x2 , 则 2 ? 1,由已知得f ( 2 ) ? 0 x1 x1 1 1 1 ? f (1) ? f ( x1 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? 0 ? f ( ) ? ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ?x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,x ? 1 f ( x ) 在 (0, ?? ) 上是增函数 x2 x2 x 而f ( 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x)在(0, ??)上是增函数 (3)? x1f (2) ? 1,? f (4) ? f (2) ? f (2) ? 2
所以有 f ( x) ? f (4) ? f (

(3)由f (2) ? 1得2 ? f (2) f (4) 3 ? f (2) ?12 )? f( ) ,又 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数, P x?4 x?4 又f ( x) ? 2 ? f ( ) x?4 4P 不等式化为f ( x) ? f ( ) x?4 4P ? x ? ? ? x?4 由(2)知f ( x)在x ? (0, ??)单增,原不等式 ? ? 4 P ? ?0 ? ?x?4

-4-

? ? x?0 ? ? 12 所以 ? ?0 x ? 4 ? 12 ? x? ? x?4 ?
20. (本题满分13分)

解得, x ? 6

已知函数 f ( x) ? log4 (4x ? 1) ? kx (k ? R) 是偶函数. (1)求实数 k 的值; (2)设 g ( x) ? log4 (a? 2 x ? a) ,若 f ( x ) ? g ( x) 有且只有一个实数解,求实数 a 的取值范围. 解: (1)由函数 f ( x) 是偶函数 可知: f ( x) ? f (? x) , ∴ log4 (4x ? 1) ? kx ? log4 (4? x ? 1) ? kx ???1 分

,化简得 log 4

4x ? 1 ? ?2kx , 4? x ? 1

即 x ? ?2kx 对一切 x ? R 恒成立,∴ k ? ? . (2)函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点, 即方程 log4 (4 x ? 1) ? 化简得:方程 2 x ?

1 2

?????????3 分

1 x ? log4 (a ? 2 x ? a) 有且只有一个实根????4 分 2

1 ? a ? 2 x ? a 有且只有一个实根,且 a ? 2 x ? a ? 0 成立, 则 a ? 0 2x

令 t ? 2 x ? 0 ,则 (a ? 1)t 2 ? at ? 1 ? 0 有且只有一个正根???????6 分 设 g (t ) ? (a ? 1)t 2 ? at ? 1 ,注意到 g (0) ? ?1 ? 0 ,所以 ①当 a ? 1 时, 有 t ? 1 , 合题意; ②当 0 ? a ? 1 时, g (t ) 图象开口向下,且 g (0) ? ?1 ? 0 ,则需满足

a ? ?0 ?t对称轴 ? ? 2( a ? 1) ,此时有 a ? ?2+2 2 ; a ? ?2 ? 2 2 (舍去) ? ?? ? 0 ?
③当 a ? 1 时,又 g (0) ? ?1 ,方程恒有一个正根与一个负根. 综上可知, a 的取值范围是{ ?2+2 2 }∪[1,+∞).?????????10 分

21. (本题满分14分) 设函数 fk ( x) ? xk ? bx ? c (k ? N * , b, c ? R), g ( x) ? loga x (a ? 0, a ? 1) 。 (1)若 b ? c ? 1 ,且 f k (1) ? g ( ) ,求 a 的值;

1 4 (2)若 k ? 2 ,记函数 fk ( x) 在 [?1,1] 上的最大值为 M ,最小值为 m ,求 M ? m ? 4 时
-5-

的 b 的取值范围; (3)判断是否存在大于1的实数 a ,使得对任意 x1 ?[a, 2a] ,都有 x2 ?[a, a2 ] 满足等式:

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? p ,且满足该等式的常数 p 的取值唯一?若存在,求出所有符 合条件的 a 的值;若不存在,请说明理由。

-6-

-7-



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