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2016高考数学二轮精品复习材料(4):导数及其应用(理)


第四讲
★★★高考在考什么 【考题回放】

导数及其应用(2)

x) 1 . 已 知 对 任 意 实 数 x , 有 f (? x) ? ? f ( , f ?( x)? , 0 ?g (? x ) ,则 0 x ? 0 时( B )
A. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0
1 x

g? ( x)? g ( x ) x?0 时 , , 且

B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 D )

2.曲线 y ? e 2 在点 (4,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( A.

9 2 e 2

B. 4e

2

C. 2e

2

D. e

2

? ?) 内单调递增, q : m ≥ ?5 ,则 p 是 q 的 3.设 p : f ( x) ? ex ? ln x ? 2x2 ? mx ? 1 在 (0,
( B ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.设 f ?( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标系 中,不可能正确的是( D )

5.函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是____. ? , ?? ? 6.若直线 y=x 是曲线 y=x -3x +ax 的切线,则 a=
3 2

?1 ?e

? ?



★★★高考要考什么 1. 导数的定义:

f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ? lim ? lim x ? x0 ?x ?0 ?x x ? x0 2?x

2. 导数的几何意义: (1) 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) ,就是曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , y0 ) 处的切 线的斜率; (2)函数 s ? s(t ) 在点 t 0 处的导数 S ?(t0 ) ,就是物体的运动方程 s ? s(t ) 在时刻 t 0 时的瞬 时速度; 3.要熟记求导公式、导数的运算法则、复合函数的导数等。尤其注意: (log a )? ?
x

1 log e a和 x

?a ?
x

?

? a x ? ln a 。

4.求函数单调区间的步骤:1) 、确定 f(x)的定义域,2) 、求导数 y′,3) 、令 y′>0(y′ <0),解出相应的 x 的范围。当 y′>0 时,f(x)在相应区间上是增函数;当 y′<0 时,f(x) 在相应区间上是减函数 5.求极值常按如下步骤:① 确定函数的定义域;② 求导数;③ 求方程 y / =0 的根及导数 不存在的点, 这些根或点也称为可能极值点; ④通过列表法, 检查在可能极值点的左右两侧 的符号,确定极值点。 6.设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求 f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤如下: (1) 求 f(x) 在 (a,b) 内 的 极 值 ,(2) 将 f(x) 的 各 极 值 与 f(a),f(b) 比 较 ,其 中 最 大 的 一个是最大值,最小的一个是最小值。 7.最值(或极值)点必在下列各种点之中:导数等于零的点、导数不存在的点、端点。 ★★★ 突 破 重 难 点 【范例 1】已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值. (1)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f(x)的极大值还是极小值;
3 2

(2)过点 A(0, 16) 作曲线 y= f(x)的切线,求此切线方程. (1)解: f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 3 ,依题意, f ?(1) ? f ?(?1) ? 0 ,即

?3a ? 2b ? 3 ? 0, ? ?3a ? 2b ? 3 ? 0.
解得 a ? 1, b ? 0 . ∴ f ( x) ? x 3 ? 3x, f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ? 3( x ? 1)(x ? 1) . 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1, x ? 1 . 若 x ? (??, ? 1) ? (1, ? ?) ,则 f ?( x) ? 0 ,故

f(x)在 (??, ? 1) 上是增函数, f(x)在 (1, ? ?) 上是增函数.
若 x ? (?1, 1) ,则 f ?( x) ? 0 ,故 f(x)在 (?1, 1) 上是减函数. 所以, f (?1) ? 2 是极大值; f (1) ? ?2 是极小值.
3 (2)解:曲线方程为 y ? x ? 3x ,点 A(0, 16) 不在曲线上.

3 设切点为 M ( x0 , y0 ) ,则点 M 的坐标满足 y0 ? x0 ? 3x0 . 2 因 f ?( x0 ) ? 3( x0 ? 1) ,故切线的方程为 y ? y0 ? 3( x0 ? 1)(x ? x0 ) 2

注意到点 A(0,16)在切线上,有
3 2 3 16 ? ( x0 ? 3x0 ) ? 3( x0 ? 1)(0 ? x0 ) 化简得 x0 ? ?8 ,解得 x0 ? ?2 . 所以,切点为 M (?2, ? 2) ,切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 .

【点晴】过已知点求切线,当点不在曲线上时,求切点的坐标成了解题的关键. 2 【范例 2】 (安徽理)设 a≥0,f (x)=x-1-ln x+2a ln x(x>0). (Ⅰ)令 F(x)=xf' (x) ,讨论 F(x)在(0.+∞)内的单调性并求极值; (Ⅱ)求证:当 x>1 时,恒有 x>ln x-2a ln x+1. 解: (Ⅰ)根据求导法则有 f ?( x) ? 1 ?
2

2 ln x 2a ? ,x ? 0 , x x

故 F ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2ln x ? 2a,x ? 0 , 于是 F ?( x) ? 1 ? 列表如下:

2 x?2 ? ,x ? 0 , x x

x
F ?( x) F ( x)

(0, 2)

2 0 极小值 F (2)

(2, ? ∞)

?

?

2) 内是减函数,在 (2 , ? ∞) 内是增函数,所以,在 x ? 2 处取得极小值 故知 F ( x) 在 (0, F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a .
(Ⅱ)证明:由 a ≥ 0 知, F ( x) 的极小值 F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a ? 0 .

? ∞) ,恒有 F ( x) ? xf ?( x) ? 0 . 于是由上表知,对一切 x ? (0, ? ∞) 内单调增加. 从而当 x ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0,
所以当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln x ? 2a ln x ? 0 .
2

故当 x ? 1 时,恒有 x ? ln x ? 2a ln x ? 1 .
2

【点晴】本小题主要考查函数导数的概念与计算,利用导数研究函数的单调性、极值和证明 不等式的方法,考查综合运用有关知识解决问题的能力. 【范例 2】已知定义在正实数集上的函数 f ( x ) ?

1 2 x ? 2ax , g ( x) ? 3a2 ln x ? b ,其中 2

a ? 0. 设两曲线 y ? f ( x) , y ? g ( x) 有公共点, 且在该点处的切线相同. ( I) 用 a 表示 b ,
并求 b 的最大值;

(II)求证: f ( x) ≥ g ( x) ( x ? 0 ) . 解: (Ⅰ)设 y ? f ( x) 与 y ? g ( x)( x ? 0) 在公共点 ( x0,y0 ) 处的切线相同.

∵ f ?( x) ? x ? 2a , g ?( x) ?

3a 2 ,由题意 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , f ?( x0 ) ? g ?( x0 ) . x

?1 2 x0 ? 2ax0 ? 3a 2 ln x0 ? b, ? 2 3a 2 ? 即? 由 得: x0 ? a ,或 x0 ? ?3a (舍去) . x ? 2 a ? 2 0 3 a x 0 ? x0 ? 2a ? , ? x0 ?
1 2 5 a ? 2a 2 ? 3a 2 ln a ? a 2 ? 3a 2 ln a . 2 2 5 2 2 令 h(t ) ? t ? 3t ln t (t ? 0) ,则 h?(t ) ? 2t (1 ? 3ln t ) .于是 2
即有 b ? 当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 0 ? t ? e 时, h?(t ) ? 0 ; 当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 t ? e 时, h?(t ) ? 0 .
1 3 1 3

? ∞ ? 为减函数, 故 h(t ) 在 ? 0, e 3 ? 为增函数,在 ? e 3, ? ? ? ?
2 ? 1 ? 3 3 3 ? ∞) 的最大值为 h ? e ? ? e . 于是 h(t ) 在 (0, ? ? 2

?

1

?

?

1

?

(Ⅱ)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1 2 x ? 2ax ? 3a 2 ln x ? b( x ? 0) , 2

3a 2 ( x ? a)( x ? 3a) ? ( x ? 0) . 则 F ?( x) ? x ? 2a ? x x
? ∞) 为增函数, 故 F ( x) 在 (0,a) 为减函数,在 (a, ? ∞) 上的最小值是 F (a) ? F ( x0 ) ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 . 于是函数 F ( x) 在 (0,
故当 x ? 0 时,有 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 ,即当 x ? 0 时, f ( x) ≥ g ( x) . 【点晴】本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问 题的能力. 变式:已知函数 f ( x) ? ln(e ? a)(a ? 0) .
x

(1)求函数 y= f(x)的反函数 y ? f

?1

( x)及f ( x) 的导数 f ?( x);

(2)假设对任意 x ? [ln(3a), ln(4a)],不等式| m ? f 数 m 的取值范围. 解: (1)? e x ? 0,? y ? ln a,? y ? f
?1

?1

( x) | ? ln( f ?( x)) ? 0 成立,求实

?x? ? ln?e x ? a?, ?x ? ln a? ;

y? ?

ex 1 ? 1? x x e ?a e ?a
?1

(2) x ? [ln(3a), ln(4a)],不等式| m ? f

( x) | ? ln( f ?( x)) ? 0

? f ?1 ?x? ? ln f ??x? ? m ? f ?1 ?x? ? ln f ??x?
? ln e x ? a ? ln

?

?

ex ex x ? m ? ln e ? a ? ln ex ? a ex ? a

?

?

? ln

ex ex ? a e2x ? a 2 ex ex ? a e2x ? a 2 m ? m ? ln ? e ? ? ex ? a ex ex ? a ex

?

?

?

?

t ?t ? a ? t 2 ? a2 , v?t ? ? , t ? e x , t ? ?3a,4a ? 令: u ?t ? ? t?a t

?

?

v? ? t ? ?

t 2 ? a2 t 2 ? 2at ? a 2 ? ? 0, t ? 3 a , 4 a , u t ? ?0 ? ? ? ? t2 (t ? a)2

12 a, v(t ) 的最 5 8 12 8 m a ? e m ? a ,于 小值为 v (3a ) ? a, 而不等式②成立当且仅当 u(4a) ? e ? v(3a), 即 3 5 3 12 8 是得 ln( a ) ? m ? ln( a ). 5 3
所以 u (t ), v(t ) 都是增函数 .因此当 t ? [3a,4a] 时, u(t ) 的最大值为 u ( 4a ) ? 解法二:由 | m ? f
?1

( x) | ? ln( f ?( x)) ? 0 得

ln(e x ? a) ? ln(e x ? a) ? x ? m ? ln(e x ? a) ? ln(e x ? a) ? x.
设 ? ( x) ? ln(e ? a) ? ln(e ? a) ? x,? ( x) ? ln(e ? a) ? ln(e ? a) ? x,
x x x x

于是原不等式对于 x ? [ln(3a), ln(4a)] 恒成立等价于 ? ( x) ? m ? ? ( x). ③…7 分 由 ? ?( x) ?

ex ex ex ex ? ? ? 1,? ( x) ? x ? ? 1 ,注意到 ex ? a ex ? a e ? a ex ? a

0 ? e x ? a ? e x ? e x ? a, 故有 ? ?( x) ? 0,? ?( x) ? 0 ,从而可 ? ( x)与? ( x) 均在

[ln(3a), ln(4a)] 上单调递增,因此不等式③成立当且仅当

? (ln(4a)) ? m ? ? (ln(3a)).即 ln(

12 8 a) ? m ? ln( a). 5 3

【点晴】求参数的取值范围,凡涉及函数的单调性、最值问题时,用导数的知识解决较 简单.



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