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全等三角形的概念和性质(基础)知识讲解



全等三角形的概念和性质(基础)
【学习目标】 1.理解全等三角形及其对应边、对应角的概念;能准确辨认全等三角形的对应元素. 2.掌握全等三角形的性质;会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算,解决某些实际 问题. 【要点梳理】 要点一、全等形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点诠释:一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化

了,但形状、大小都没有改变, 即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等,面积相等. 要点二、全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点三、对应顶点,对应边,对应角 1. 对应顶点,对应边,对应角定义 两个全等三角形重合在一起,重合的顶点叫对应顶点,重合的边叫对应边,重合的角叫 对应角. 要点诠释: 在写两个三角形全等时, 通常把对应顶点的字母写在对应位置上, 这样容易找出对应边、 对应角.如下图,△ABC 与△DEF 全等,记作△ABC≌△DEF,其中点 A 和点 D,点 B 和点 E, 点 C 和点 F 是对应顶点;AB 和 DE,BC 和 EF,AC 和 DF 是对应边;∠A 和∠D,∠B 和∠E, ∠C 和∠F 是对应角.

2. 找对应边、对应角的方法 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角; (3)有公共边的,公共边是对应边; (4)有公共角的,公共角是对应角; (5)有对顶角的,对顶角一定是对应角; (6)两个全等三角形中一对最长的边(或最大的角)是对应边(或角) ,一对最短的边 (或最小的角)是对应边(或角) ,等等. 要点四、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等. 要点诠释: 全等三角形对应边上的高相等, 对应边上的中线相等, 周长相等, 面积相等. 全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 【典型例题】 类型一、全等形和全等三角形的概念 1、下列每组中的两个图形,是全等图形的为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】B,C,D 选项中形状相同,但大小不等. 【总结升华】是不是全等形,既要看形状是否相同,还要看大小是否相等. 举一反三: 【变式】 如图, 在 5 个条形方格图中, 图中由实线围成的图形与①全等的有______________.

【答案】②、④; 提示:找与①形状、大小相同的图形. 类型二、全等三角形的对应边,对应角 2、如图,△ABN≌△ACM,∠B 和∠C 是对应角,AB 与 AC 是对应边,写出其他对应边 和对应角.

【答案与解析】对应边:AN 与 AM,BN 与 CM 对应角:∠BAN 与∠CAM, ∠ANB 与∠AMC 【总结升华】全等三角形对应角所对的边是对应边;全等三角形对应边所对的角是对应角. 举一反三:

【变式】如图,△ABD≌△ACE,AB=AC,写出图中的对应边和对应角.

【答案】AB 和 AC 是对应边,AD 和 AE、BD 和 CE 是对应边,∠A 和∠A 是对应角,∠B 和∠C, ∠ADB 和∠AEC 是对应角. 类型三、全等三角形性质 3、已知:如图所示,Rt△EBC 中,∠EBC=90°,∠E=35°.以 B 为中心,将 Rt△EBC 绕点 B 逆时针旋转 90°得到△ABD,求∠ADB 的度数.

解:∵Rt△EBC 中,∠EBC=90°,∠E=35°, ∴∠ECB=________°. ∵将 Rt△EBC 绕点 B 逆时针旋转 90°得到△ABD, ∴△________≌△_________. ∴∠ADB=∠________=________°. 【思路点拨】由旋转的定义,△ABD≌△EBC,∠ADB 与∠ECB 是对应角,通过计算得出结论. 【答案】55;ABD,EBC;ECB,55 【解析】旋转得到的图形是全等形,全等三角形对应边相等,对应角相等. 【总结升华】根据全等三角形的性质来解题. 4、如图,把△ABC 绕 C 点顺时针旋转 35°,得到△ A?B?C , A?B ? 交 AC 于点 D,则 ?AB?D ? °.

【思路点拨】由旋转的定义, B?C ? BC ,∠A?B?C=∠ABC =∠ BB?C ,由平角的定义及 三角形的内角和可知 ?AB?D ? 旋转角度. 【答案】35°; 【解析】旋转得到的三角形和原三角形全等,所以 B?C ? BC ,∠A?B?C=∠ABC ,所以, ∠AB?D = 180°-∠ BB?C -∠ A?B?C =180°-(∠ABC+∠ BB?C )=∠ BCB? =35°.

【总结升华】旋转得到的三角形与原三角形全等,并且对应边的夹角等于旋转角度.这道题 要注意隐含条件 B?C ? BC ,这是一对对应边. 举一反三: 【变式】 如图, 将△ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 20°, B 点落在 B? 位置, A 点落在 A? 位 置,若 AC ? A?B? ,则 ?BAC 的度数是____________.

【答案】70°; 提示: ?BAC =∠ B?A?C =90°-20°=70°.



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