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2013届高考数学一轮复习讲义:专题三 三角函数与平面向量的综合应用



一轮复习讲义

三角函数与平面向量的综合应用

要点梳理
常考常新

忆一忆知识要点

1.同角三角函数的基本关系式,正弦、余弦、正切的诱导公式 两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数规律性强,对公 式的正用、逆用、变形应用的技巧、方法要求较高,考查公 式的灵活运用及变形能力.通过简单的恒

等变换解决三角函 数的化简求值是高考必考内容,且一直是高考的热点.

要点梳理

忆一忆知识要点

2.研究三角函数的性质,一般要化为 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0, ω>0)的形式,若是奇函数,则可化为 f(x)=± Asin ωx;若 是偶函数,则可化为 f(x)=± Acos ωx.求三角函数的定义域, 实际上是利用三角函数图象或三角函数线来确定不等式的 解,求函数的单调区间可以转化为求 y=sin x 与 y=cos x 的 单调区间.

要点梳理

忆一忆知识要点

3.解三角形问题主要有两种题型:一是与三角函数结合起来考 查,通过三角变换化简,然后运用正、余弦定理求值;二是 与平面向量结合(主要是数量积),判断三角形形状或结合正、 余弦定理求值.试题一般为中档题,客观题、解答题均有可 能出现. 4.平面向量的线性运算,为证明两线平行提供了重要方法.平 面向量的数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问 题.特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合,体 现了向量应用的广泛性.

[难点正本

疑点清源]

1.三角函数问题一是化简求值问题,要熟练应用公式,紧扣 角的范围,才可避免出错;二是三角函数的性质,要先将 函数式化简为 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的形式,再研 究其性质. 2.向量的运算法则、运算律与数量的运算法则、运算律形成 鲜明对比,要理解它们的联系与区别.要用向量的思想和 方法去分析解决问题,一定要突出向量的工具性作用.

三角函数式的化简求值问题
例 1 已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x-1 (x∈R). ? π? (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间?0,2 ?上的最大值和最 ? ? 小值;
?π π? 6 (2)若 f(x0)= ,x0∈?4,2 ?,求 cos 2x0 的值. 5 ? ?

(1)关键是将 f(x)化为 f(x)=Asin(ωx+φ)的形式;(2)通过角的 拆分将 cos 2x0 与 f(x0)联系起来,即可将问题解决.



(1)由 f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x-1,

得 f(x)= 3(2sin xcos x)+(2cos2x-1) ? π? = 3sin 2x+cos 2x=2sin?2x+6 ?. ? ? 所以函数 f(x)的最小正周期为 π.
? ? ?π π? π? π? 因为 f(x)=2sin?2x+6 ?在区间?0,6 ?上为增函数,在区间?6,2 ?上 ? ? ? ? ? ? ?π? ?π? 为减函数,又 f(0)=1,f?6 ?=2,f?2 ?=-1,所以函数 f(x)在区间 ? ? ? ? ? π? ?0, ?上的最大值为 2,最小值为-1. 2? ? ? π? (2)由(1),可知 f(x0)=2sin?2x0+6 ?. ? ? ? π? 3 6 又因为 f(x0)= ,所以 sin?2x0+6 ?= . 5 ? ? 5

?π π? π ?2π 7π? 由 x0∈?4,2 ?,得 2x0+ ∈? 3 , 6 ?. 6 ? ? ? ? ? ? π? π? 4 2 从而 cos?2x0+6 ?=- 1-sin ?2x0+6 ?=- . 5 ? ? ? ?
? π π? 所以 cos 2x0=cos??2x0+6?-6 ? ? ? ? ? π? π? π =cos?2x0+6 ?cos +sin?2x0+6 ?sin 6 ? ? ? ?

π 3-4 3 = . 6 10

探究提高
(1)两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三 角函数的运算规律”,对公式要会“正用”、“逆用”、“变形 用”,记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连接符号 “+”,“-”的变化特点.(2)在使用三角恒等变换公式解决问 题时,“变换”是其中的精髓,在“变换”中既有公式的各种形 式的变换, 也有角之间的变换.(3)本题的易错点是易用错公式和 角的拆分不准确.

变式训练 1
已知向量 m=(-1,cos ωx+ 3sin ωx),n=(f(x),cos ωx),其 中 ω>0,且 m⊥n,又函数 f(x)的图象上任意两相邻对称轴的间 3 距为 π. 2 (1)求 ω 的值; (2)设 α 是第一象限角,且
? π? sin?α+4 ? ? ? ?3 π? 23 f?2α+2 ?= , ? ? 26

求 的值. cos?4π+2α?



(1)由题意得 m· n=0,所以,

f(x)=cos ωx· (cos ωx+ 3sin ωx) ? 1+cos 2ωx π? 1 3sin 2ωx = + =sin?2ωx+6 ?+ . 2 2 ? ? 2

根据题意知,函数 f(x)的最小正周期为 3π, 1 又 ω>0,所以 ω= . 3 ?2 π? 1 (2)由(1)知,f(x)=sin?3x+6 ?+ , ? ? 2 ?3 ? π? π? 1 所以 f?2α+2 ?=sin?α+2?+ ? ? ? ? 2 1 23 =cos α+ = , 2 26 5 解得 cos α= . 13

12 因为 α 是第一象限角,故 sin α= . 13 ? ? π? π? sin?α+4 ? sin?α+4 ? ? ? ? ? 所以, = cos 2α cos?4π+2α? 2 13 = =- 2. 14 2?cos α-sin α?

三角形中的三角恒等变换
例 2 设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,a=2bsin A. (1)求 B 的大小; (2)求 cos A+sin C 的取值范围.

(1)利用正弦定理把边的比转化为对应角的正弦之比, 即可得到角 5π B 的正弦;(2)首先利用 A+C= ,将式子化成关于角 A 的函数 6 式, 然后利用“锐角三角形”确定角 A 的取值范围, 根据三角函 数的性质确定其取值范围.



(1)由 a=2bsin A,

根据正弦定理得 sin A=2sin Bsin A, 1 π 所以 sin B= ,由△ABC 为锐角三角形可得 B= . 2 6 5π 5π (2)由(1)可知 A+C=π-B= ,故 C= -A. 6 6 ?5π ? 故 cos A+sin C=cos A+sin? 6 -A? ? ? ?π ? 1 3 ? ? =cos A+sin 6+A =cos A+ cos A+ sin A 2 2 ? ? ? 3 ? 3 3 1 ? = cos A+ sin A= 3? cos A+ sin A? ? 2 2 2 ? 2 ? ? π? = 3sin?A+3 ?, ? ? π 由△ABC 为锐角三角形可得,0<C< , 2

5π π π 5π 故 0< -A< ,解得 <A< , 6 2 3 6 π π π 又 0<A< ,所以 <A< . 2 3 2
? π? 3 2π π 5π 1 故 <A+ < ,所以 <sin?A+3 ?< , 3 3 6 2 ? ? 2 ? π? 3 3 所以 < 3sin?A+ 3?< , 2 ? ? 2 ? 3 3? ? 即 cos A+sin C 的取值范围为? . , ? 2 2? ? ?

探究提高
本题的难点是第(2)问, 求解三角函数式的取值范围, 首先要根据 三角形内角之间的关系进行化简, 然后根据已知条件确定角 A 或 角 C 的取值范围, 要利用锐角三角形的每个内角都是锐角, 构造 关于角 A 的不等式确定其取值范围, 最后利用三角函数的图象和 性质确定三角函数式的取值范围.

变式训练 2
设△ABC 的内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c 且 3b2+3c2 -3a2=4 2bc. (1)求 sin A 的值; ? π? ? π? 2sin?A+4 ?sin?B+C+4 ? ? ? ? ? (2)求 的值. 1-cos 2A
b2+c2-a2 2 2 解 (1)由余弦定理得 cos A= = , 2bc 3 1 2 又 0<A<π,故 sin A= 1-cos A= . 3

(2)原式=

? π? ? π? 2sin?A+4 ?sin?π-A+4 ? ? ? ? ?

1-cos 2A ? π? ? π? 2sin?A+4 ?sin?A-4? ? ? ? ? = 2sin2A ? 2 ?? 2 ? 2 2 ? ?? 2? sin A+ cos A?? sin A- cos A? ? 2 2 ? 2 ?? 2 ? = 2sin2A sin2A-cos2A 7 = =- . 2sin2A 2

平面向量与三角函数
? x 3sin ,1?, 例 3 向量 4 ? ? ? x 2x n=?cos 4,cos 4?. ? ? ?2π ? (1)若 m· n=1,求 cos? 3 -x?的值; ? ? ? m=? ?

(2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b,c,且满足(2a-c)cos B=bcos C,求函数 f(A)的取值范围.

(1)由向量数量积的运算转化成三角函数式,化简求值. (2)在△ABC 中,求出∠A 的范围,再求 f(A)的取值范围.

x x 2x 解 (1)m· n= 3sin · cos +cos 4 4 4 x 1+cos ?x π? 1 2 3 x = sin + =sin?2+6 ?+ , 2 2 2 ? ? 2
?x π? 1 ∵m· n=1,∴sin?2+6 ?= . ? ? 2 ? ?x π? 1 π? 2 cos?x+3?=1-2sin ?2+6 ?= , ? ? ? ? 2 ?2π ? ? π? 1 cos? 3 -x?=-cos?x+3 ?=- . 2 ? ? ? ?

(2)∵(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, ∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C. ∴2sin Acos B=sin(B+C).

∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin A≠0. 1 π 2π ∴cos B= ,∵0<B<π,∴B= .∴0<A< . 2 3 3 ?A π? ?1 ? π A π π ∴ < + < ,sin? 2 +6 ?∈?2,1?. 6 2 6 2 ? ? ? ?
?x π? 1 又∵f(x)=sin?2+6?+ . ? ? 2 ?A π? 1 ∴f(A)=sin? 2 + 6?+ . ? ? 2

故函数

? 3? f(A)的取值范围是?1,2?. ? ?

探究提高
向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的 数量积运算或性质转化成三角函数问题.

变式训练 3
已知 A、B、C 的坐标分别为 A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α), ?π 3π? α∈?2, 2 ?. ? ? → → (1)若|AC|=|BC|,求角 α 的值; 2 2sin α+sin 2α → → (2)若AC· BC=-1,求 的值. 1+tan α → → 解 (1)∵AC=(cos α-3,sin α),BC=(cos α,sin α-3), → ∴AC2=(cos α-3)2+sin2α=10-6cos α, →2 BC =cos2α+(sin α-3)2=10-6sin α, → → →2 →2 由|AC|=|BC|,可得AC =BC ,
即 10-6cos α=10-6sin α,得 sin α=cos α. ?π 3π? 5π ? ? 又 α∈ 2, 2 ,∴α= . 4 ? ?

→ → (2)由AC· BC=-1, 得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1, 2 ∴sin α+cos α= . 3
2sin2α+sin 2α 2sin2α+2sin αcos α 又 = =2sin αcos α. sin α 1+tan α 1+ cos α 4 由①式两边分别平方,得 1+2sin αcos α= , 9 2 5 2sin α+sin 2α 5 ∴2sin αcos α=- .∴ =- . 9 9 1+tan α



答题模板
平面向量与三角函数的结合问题
(14 分)设向量 a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β, -4sin β). (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若 tan αtan β=16,求证:a∥b.

审题视角
(1)利用向量的垂直关系,将向量间的关系转化成三角函数式, 化简求值.(2)根据向量模的定义,将求模问题转化为求三角函 数最值的问题.(3)转化成证明与向量平行等价的三角函数式.

规范解答 (1)解 由 a 与 b-2c 垂直, [4 分] 得 a· (b-2c)=a· b-2a· c=0, 即 4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,tan(α+β)=2.
(2)解 16sin2β+2(sin βcos β-16sin βcos β) =17-30sin βcos β=17-15sin 2β, 最大值为 32,所以|b+c|的最大值为 4 2.
即 4 cos α· 4cos β-sin αsin β=0,故 a∥b.

|b+c|2=(b+c)2=b2+c2+2b· c=sin2β+16cos2β+cos2β+

[9 分]
[14 分]

(3)证明 由 tan αtan β=16,得 sin αsin β=16cos αcos β,

答题模板
第一步:将向量间的关系转化成三角函数式. 第二步:化简三角函数式. 第三步:求三角函数式的值或分析三角函数式的性质. 第四步:明确结论. 第五步:反思回顾.查看关键点,易错点和规范解答.

批阅笔记

(1)本题是典型的向量与三角函数的综合, 题目难度中档, 属高考 的重点题型. (2)本题体现了转化与化归的思想方法.根据向量关系, 转化为三 角函数式的问题,利用三角函数解决. (3)易错分析. 在将向量关系转化为三角函数式时易出错. 在第(3) 问中,学生不知道要推出怎样的三角关系式才能说明 a∥b.事实 上是学生忽略了 a∥b 的条件.

方法与技巧
1. 研究三角函数的图象与性质的主要思想方法是数形结合思想, 这主要体现在运用三角函数的图象研究三角函数的图象变换、 最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等知识;运用三角函 数的图象解决取值范围、交点个数、定义域等内容. 2.三角函数与向量的交汇综合是近几年高考的热点题型,主要 从以下两个方面进行考查. (1)利用平面向量的知识(如向量的模、数量积、向量的夹角), 通过向量的有关运算,将向量条件转化为三角关系,然后通过 三角变换及三角函数的图象与性质等解决问题.

方法与技巧
(2)从三角与向量的关联点(角与距离)处设置问题,把三角函 数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查. 3.加强数学思想方法的考查,转化思想主要体现在把向量问题 转化为三角问题.

失误与防范
1.对于三角函数的化简求值问题,一要熟练应用公式化简,二 要注意角的范围. 2.平面向量与三角函数问题,一般是通过向量运算,将其转化 为三角函数式,要注意转化的准确性和灵活性.

知识网络

要点梳理

忆一忆知识要点

? 三角形四心的向量形式 设O为△ABC所在平面上一点,角A, B, C所对的 边长分别为a, b, c,则 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ?2 (1) O为△ ABC的外心 ? OA ? OB ? OC ; ??? ? ??? ? ??? ? ? (2) O为△ ABC的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 ; ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (3) O为△ ABC的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OA ? OC ;
??? ? ??? ? ??? ? ? (4) O为△ ABC的内心 ? a ? OA ? b ? OB ? c ? OC =0.

要点梳理
1.在△ABC 中:

忆一忆知识要点

? 向量与常见几何图形的联系
??? ? 2 ??? ? 2 ??? ?2 (1) 若OA ? OB ? OC , 则O是△ ABC的外心; ??? ? ??? ? ??? ? ? (2) 若 OA ? OB ? OC ? 0, 则O是△ ABC的重心; ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (3) 若 OA ? OB ? OB ? OC ? OA ? OC , 则O是△ABC的垂心; ??? ? ???? (4) AB ? AC 一定过△ ABC的重心. ???? ??? ? AC )(? ? R) 一定过△ ABC的内心. AB ? ? ???? (5) ? ( ??? | AB | | AC | ??? ? ??? ? ??? ? ? (6) 若 a ? OA ? b ? OB ? c ? OC =0,则O是△ ABC的内心.

要点梳理
2.在△ABC ??? ? 中: ??? ?

忆一忆知识要点

? ? ? ??? ? (1) 设 BC ? a , CA ? b , AB ? c , ? ? ? ? ? ? 若a ? b ? ?c ,△ ABC ??? ?b ??? ? ? a ?c ??? ? ??? ? 是正三角形 ??? ? ??? ? ; (2) 若 ? OA, OB ??? OB , OC ??? OC , OA ? ,

则△ ABC是正三角形. ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? (3) 若 OA ? OB ? OC ? 0,| OA |?| OB |?| OC|, 则△ ABC是正三角形.

3.在平行四边形 ABCD 中 : ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? (1) 若 | AB |?| AD |, 则 ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? 0; ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2) 若AB ? AD, 则 | AB ? AD |?| AB ? AD | .



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