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【创新设计】(江苏专用)2014届高考数学二轮总复习 阶段检测卷2 文


阶段检测卷(二)
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 3π? 5 1.已知 α∈? ?π, 2 ?,cos α=- 5 ,tan 2α 等于________. 3π? 5 2 5 sin α 解析 由于 α∈? cos α=- , 则 sin α=- 1-cos2α=- , 那么 tan α= ?π, 2 ?, 5 5 cos α 2tan α 4 =2,则 tan 2α= =- . 3 1-tan2 α 4 答案 - 3 2.已知向量 a=(2,1),a· b=10,|a+b|=5 2,则|b|等于________. 解析 由于|a|= 5,而|a+b|2=(a+b)2=a2+2a· b+b2=5+2×10+b2=(5 2)2,则有 b2 =25,解得|b|=5. 答案 5 α π? 3 3.(2013· 苏锡常镇调研)已知钝角 α 满足 cos α=- ,则 tan? ?2+4?的值为________. 5 α 解析 因为 α 是钝角,所以 是锐角, 2 α 3 cos α=2cos2 -1=- , 2 5 α 5 α 2 5 α 所以 cos = ,sin = ,tan =2, 2 5 2 5 2 α π? 2+1 所以 tan? ?2+4?=1-2=-3. 答案 -3 5 a- b?,则 a 与 b 的夹角为________. 4.已知向量 a,b 满足|a|=2,|b|=1,且(a+b)⊥? ? 2 ? 解析 5 ?a-5b?=a2-5b2-3a· a- b?,所以(a+b)· 因为(a+b)⊥? b=0.又因为|a|=2,|b| ? 2 ? ? 2 ? 2 2

5 3 =1,所以 4- - a· b=0.所以 a· b=1.又 a· b=|a||b|cos〈a,b〉=1,所以 cos〈a,b〉= 2 2 1 π .又 a 与 b 的夹角的取值范围是[0,π],所以 a 与 b 的夹角为 . 2 3 答案 π 3

π? 5. (2013· 南京模拟)函数 y=Asin(ωx+φ)? ?A>0,ω>0,|φ|<2?的 图象如图所示,则 f(0)=________. 解析 由图知,A=2.

1

4π 8π - ?=4π, 函数的周期(用区间长度表示)为 -? 3 ? 3? ∴ 2π 1 =4π,ω= . ω 2

4π ? 又∵? ?- 3 ,0?在函数的图象上, 4π? 1 ? ∴2sin?2×? ?- 3 ?+φ =0,

?

?

4π 1 2π - ?+φ=0,即 φ= . 得 ×? 2 ? 3? 3 x 2π? ∴函数的解析式为 f(x)=2sin? ?2+ 3 ?, ∴f(0)= 3. 答案 3

6.若 M 为△ABC 所在平面内一点,且满足(MB-MC)· (MB+MC-2MA)=0,则△ABC 为 ________三角形. 解析 由(MB-MC)· (MB+MC-2MA)=0,可知CB· (AB+AC)=0,设 BC 的中点为 D, 则AB+AC=2A D ,故CB· AD=0,所以CB⊥AD.又 D 为 BC 中点,故△ABC 为等腰三角 形. 答案 等腰 7.在△ABC 中,AB=2,AC=3,BC=4,则角 A,B,C 中最大角的余弦值为________. 解析 根据三角形的性质:大边对大角,由此可知角 A 最大,由余弦定理得 cos A=





















→ →









→ →





b2+c2-a2 32+22-42 1 = =- . 2bc 4 2×3×2 1 答案 - 4 → → → → → 8.(2012· 南京、盐城模拟)已知正△ABC 的边长为 1,CP=7CA+3CB,则CP· AB=________. 7 3 → → → → → → → → → 解析 CP· AB=(7CA+3CB)· AB=7CA· AB+3CB· AB=- + =-2. 2 2 答案 -2 9.(2013· 盐城调研)△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,向量 m= B? 2?π ? (2sin B,2-cos 2B),n=? ?2sin ?4+ 2 ?,-1?,m⊥n,∠B=________. π B? 解析 由 m⊥n,得 m· n=0,所以 4sin B· sin2? ?4+ 2 ?+cos 2B-2=0,所以

?π ?? 2sin B? ?1-cos?2+B??+cos 2B-2=0,
即 2sin B+2sin2B+1-2sin2B-2=0,
2

1 π 5 也即 sin B= ,又因为 0<B<π,所以 B= 或 π. 2 6 6 答案 π 5 或 π 6 6

10.如图,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 3 BD,BC=2BD,则 sin C 的值为________. 解析 设 AB=c,则 AD=c,BD= 2c 4c ,BC= , 3 3

4 c2+c2- c2 3 1 在△ABD 中,由余弦定理得 cos A= = , 2c2 3 4c 3 2 2 c sin A= ,在△ABC 中,由正弦定理得 = , 3 sin C 2 2 3 解得 sin C= 答案 6 6 6 . 6

→ → → → 11.在△ABC 所在的平面上有一点 P 满足PA+PB+PC=AB,则△PBC 与△ABC 的面积之 比是________. 解析 → → → → → → → → → → 因为PA+PB+PC=AB,所以PA+PB+PC+BA=0,即PC=2AP,所以点 P 是

S△PBC PC 2 CA 边上的靠近 A 点的一个三等分点,故 = = . S△ABC AC 3 答案 2 3

12.在△ABC 中,若 AB=1,AC= 3|A B +A C |=|B C |,则







BA· BC |BC|

→ → →

=______.

解析 如图, AB+AC=AD, 依题意, 得|AD|=|BC|, 所以四边形 ABDC 是矩形,∠BAC=90° . 因为 AB=1,AC= 3,所以 BC=2.cos∠ABC AB 1 BA· BC |BA|| BC|cos∠ABC → 1 = = , = =|BA|cos∠ABC= . BC 2 2 → → |BC| | BC| 答案 1 2











→ →





π ? 13.已知 f(x)=sin x,x∈R,g(x)的图象与 f(x)的图象关于点? ?4,0?对称,则在区间[0,2π]上 满足 f(x)≤g(x)的 x 的范围是________.

3

π ? ?π ? 解析 设(x,y)为 g(x)的图象上任意一点,则其关于点? ?4,0?对称的点为?2-x,-y?, π ? 由题意知该点在 f(x)的图象上,所以-y=sin? ?2-x?, π ? 即 g(x)=-sin? ?2-x?=-cos x, π? 由 sin x≤-cos x,得 sin x+cos x= 2sin? ?x+4?≤0, 3π 7π 又因为 x∈[0,2π],从而解得 ≤x≤ . 4 4 3π 7π? 答案 ? ?4,4? 14.(2013· 泰州模拟)如图,在直角三角形 ABC 中,AC= 3,BC=1, 点 M, N 分别是 AB, BC 的中点, 点 P 是△ABC(包括边界)内任一点, → → 则AN· MP的取值范围为________. 解析 以点 C 为原点,CB 所在直线为 x 轴,CA 所在直线为 y 轴, 建立如图所示直角坐标系, 设 P(x, y), 则由题可知 B(1,0), A(0, 3), 1 ? 3? → ?1 ?1 3? ? → ? 1 N? ?2,0?,M?2, 2 ?,所以AN=?2,- 3?,MP=?x-2,y- 2 ?, 3 x 5 → → x 1 所以AN· MP= - - 3y+ = - 3y+ ,直线 AB 的方程为 3x+y- 3=0. 2 4 2 2 4

?x≥0, ? 由题可知?y≥0, ? ? 3x+y- 3≤0,

x 由线性规划知识可知,当直线 - 2

5 7 7 3y+ -z=0 过点 A 时有最小值- ,过点 B 时有最大值 . 4 4 4 7 7 - , ? 答案 ? ? 4 4? 二、解答题(共 90 分) π 0, ?. 15.(本小题满分 14 分)已知 a=(sin α,1), b=(cos α,2),α∈? ? 4? (1)若 a∥b,求 tan α 的值; π? 12 (2)若 a· b= ,求 sin? ?2α+4?的值. 5 解 1 (1)因为 a∥b,所以 2sin α=cos α,所以 tan α= . 2

12 12 4 (2)因为 a· b= ,所以 sin αcos α+2= 即 sin 2α= . 5 5 5 π? ? π? 因为 α∈? ?0,4?,所以 2α∈?0,2?,
4

3 所以 cos 2α= 1-sin22α= . 5 π? π π 4 2 3 2 7 2 所以 sin? ?2α+4?=sin 2αcos 4+cos 2αsin4=5× 2 +5× 2 = 10 . π ? 16.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)= 3sin2x+sin xcos x,x∈? ?2,π?. (1)求 f(x) 的零点; (2)求 f(x)的最大值和最小值. 解 (1)令 f(x)=0 得 sin x· ( 3sin x+cos x)=0, 3 . 3

所以 sin x=0,或 tan x=-

π ? 由 sin x=0,x∈? ?2,π?,得 x=π; 由 tan x=- π ? 3 5π ,x∈? ?2,π?,得 x= 6 . 3

π ? 5π 综上,函数 f(x)在? ?2,π?上的零点为 6 或 π. (2)f(x)= 3 1 (1-cos 2x)+ sin 2x 2 2

π? 3 =sin? ?2x-3?+ 2 . π ? π ?2π 5π? 因为 x∈? ?2,π?,所以 2x-3∈? 3 , 3 ?. π 2π π 当 2x- = ,即 x= 时,f(x)的最大值为 3; 3 3 2 π 3π 11π 3 当 2x- = ,即 x= 时,f(x)的最小值为-1+ . 3 2 12 2 π 17.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=Msin(ωx+φ)(M>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示. 2 (1)求函数 f(x)的解析式; A? (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若(2a-c)cos B=bcos C,求 f? ? 2 ?的 取值范围.



(1)由图象知 M=1,
5

5π π? f(x)的最小正周期 T=4×? ?12-6?=π, 2π 故 ω= =2. T π ? ?π ? 将点? ?6,1?代入 f(x)的解析式得 sin?3+φ?=1, π π π 即 +φ=2kπ+ ,φ=2kπ+ ,k∈Z, 3 2 6 π π 又|φ|< ∴φ= . 2 6 π? 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=sin? ?2x+6?. (2)由(2a-c)cos B=bcosC,得 (2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, ∴2sin Acos B=sin(B+C)=sin A. 1 ∵sin A≠0,∴cos B= , 2 π 2π ∴B= ,∴A+C= . 3 3 A? ? π? ∵f? ? 2 ?=sin?A+6?, 2π π π 5 ? , π . 又∵0<A< ,∴A+ ∈? 3 6 ?6 6 ? π? ?1 ? ?A? ?1 ? ∴sin? ?A+6?∈?2,1?,∴f? 2?∈?2,1?. 18.(本小题满分 16 分)(2013· 湖北卷)在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c.已 知 cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值. 解 (1)由 cos 2A-3cos(B+C)=1,

得 2cos2A+3cos A-2=0, 即(2cos A-1)(cos A+2)=0, 1 解得 cos A= 或 cos A=-2(舍去). 2 π 因为 0<A<π,所以 A= , 3 1 1 3 3 (2)由 S= bcsin A= bc· = bc=5 3,得 bc=20.又 b=5,知 c=4. 2 2 2 4 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,故 a= 21.

6

b c 又由正弦定理得 sin Bsin C= sin A·sin A= a a bc 2 20 3 5 sin A= × = . a2 21 4 7 19.(本小题满分 16 分)(2013· 江西卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 已知 cos C+(cos A- 3sin A)cos B=0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围. 解 (1)由已知得-cos(A+B)+cos Acos B- 3sin Acos B=0,即有 sin Asin B- 3sin

Acos B=0, 因为 sin A≠0,所以 sin B- 3cos B=0, 即 3cos B=sin B. 所以 tan B= 3, 又因为 0<B<π, π 所以 B= . 3 (2)由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 1 因为 a+c=1,cos B= , 2 所以 b2=(a+c)2-3ac≥(a+c)2-3? 1 1 1 = (a+c)2= ,∴b≥ . 4 4 2 1 又 a+c>b,∴b<1,∴ ≤b<1. 2 20.(本小题满分 16 分)(2013· 江苏卷)如图,游客从某旅游景区 的景点 A 处下山至 C 处有两种路径. 一种是从 A 沿直线步行 到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线 步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出 发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆车 12 3 匀速直线运动的速度为 130 m/min,山路 AC 长为 1 260 m,经测量 cos A= ,cos C= . 13 5 (1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟, 乙步行的速度应控制在什么范围 内? a+c?2 ? 2 ?

7



12 3 (1)在△ABC 中,因为 cos A= ,cos C= ,所以 sin 13 5

5 A= , 13 4 sin C= . 5 5 3 12 4 63 从而 sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= × + × = . 13 5 13 5 65 AB AC AC 由正弦定理 = ,得 AB= ×sin C= sin C sin B sin B 1 260 4 × =1 040(m). 63 5 65 所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t 分钟后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离 12 A 处 130t m,所以由余弦定理得 d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)× = 13 1 040 35 200(37t2-70t+50),因 0≤t≤ ,即 0≤t≤8,故当 t= (min)时,甲、乙两游客距 130 37 离最短. BC AC AC 1 260 5 (3)由正弦定理 = ,得 BC= ×sin A= × =500(m). sin A sin B sin B 63 13 65 乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C. 500 710 1 250 625 设乙步行的速度为 v m/min,由题意得-3≤ v - ≤3,解得 ≤v≤ ,所以为 50 43 14 1 250 625? 使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在? ? 43 , 14 ? (单位:m/min)范围内. 备课札记:

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