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2.1.2 指数函数及其性质(一)(人教A版必修1)


2.1.2

指数函数及其性质(一)
自主学习

1.理解指数函数的概念,会判断一个函数是否为指数函数. 2.掌握指数函数的图象和性质. 1.指数函数的概念 一般地,______________________叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 ________. 2.指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图象和性质 a>1 0<a<1

图象

性 质

定义域 值域 过定点 函数值 的变化 单调性

R (0,+∞) 过点________,即 x=________时,y=________ 当 x>0 时,________; 当 x>0 时,________; 当 x<0 时,________ 当 x<0 时,________ 是 R 上的__________ 是 R 上的__________ 对点讲练

指数函数定义的应用 【例 1】 函数 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,求 a 的值.

规律方法 判断一个函数是否为指数函数: (1)切入点:利用指数函数的定义来判断; (2)关键点:一个函数是指数函数要求系数为 1,底数是大于 0 且不等于 1 的常数,指数 必须是自变量 x. 变式迁移 1 指出下列函数哪些是指数函数? 1 (1)y=4x; (2)y=x4; (3)y=-4x; (4)y=(-4)x; (5)y=(2a-1)x (a> 且 a≠1); 2 -x (6)y=4 .

指数函数的图象问题 【例 2】 如图所示是指数函数 y=ax,y=bx,y=cx,y=dx 的图象,则 a,b,c,d 与 1 的大小关系是( )

A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 变式迁移 2 若-1<x<0,则下列不等式中成立的是( ) -x -x x x x x A.5 <5 <0.5 B.5 <0.5 <5 - - C.5x<5 x<0.5x D.0.5x<5 x<5x 求定义域、值域问题 【例 3】 求下列函数的定义域和值域: 1 2- 1 (1)y=2 ; (2)y=( ) |x|; (3)y=( )2x-x2. 3 2 x-4

规律方法 (1)由于指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的定义域是 R,所以函数 y=af(x)(a>0 且 a≠1)与函数 f(x)的定义域相同. (2)求与指数函数有关的函数的值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求, 并利用好指数函数的单调性. 变式迁移 3 求下列函数的定义域和值域: 1?x (1)y=3 x-2; (2)y= 1-? ?2? .

1.对于指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1),其底数 a 越接近 1,其图象就越接近直线 y=1. 2.指数幂 ax 和 1 的比较: 当 x<0,a<1 或 x>0,a>1 时,ax>1,即指数 x 和 0 比较,底数 a 和 1 比较,当不等号的 方向相同 时,ax 大 于 1,简称为“同大 ”. . . .. 当 x<0,a>1 或 x>0,a<1 时,ax<1,即指数 x 和 0 比较,底数 a 和 1 比较,当不等号的 方向相反(异 )时,ax 小 于 1,简称为“异小 ”. . . .. 因此简称为“同大异小”.

课时作业 一、选择题 1.下列函数中①y=2x2;②y=4x;③y=32x;④y=3×2x;⑤y=3x+1; ⑥y=-3x,一定是指数函数的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D .3 2.值域为(0,+∞)的函数是( ) 1?1-x 1 A.y=5 B.y=? ?3? 2-x ?1?x-1 C.y= 1-2x D.y= ?2? 3.函数 y=a|x|(a>1)的图象是( )

4.函数 f(x)=ax

-b

的图象如图所示,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是(

)

A.a>1,b<0 C.a>1,b>0

B.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0

二、填空题 - 5.函数 y=ax 5+1 (a≠0)的图象必经过点________. 6.函数 y= ax-1的定义域是(-∞,0],则 a 的取值范围是________. 7.下列说法中正确的是________.(填序号) - - ①任取 x∈R,都有 3x>2x ②当 a>1 时,任取 x∈R,都有 ax>a x ③y=( 3) x 是增函 -x |x| x 数 ④y=2 的最小值为 1 ⑤在同一坐标系中,y=5 与 y=5 的图象关于 y 轴对称. 三、解答题 8.若函数 f(x)=ax-1(a>0,且 a≠1)的定义域和值域都是[0,2],求实数 a 的值.

ex a 9.设 f(x)= + x是 R 上的函数,请问:f(x)可能是奇函数吗? a e

2.1.2

指数函数及其性质(一)

答案

自学导引 1.函数 y=ax (a>0,且 a≠1) R 2.(0,1) 0 1 y>1 0<y<1 0<y<1 y>1 增函数 减函数 对点讲练 【例 1】 解 由 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数, ?a2-3a+3=1 ? 可得? , ?a>0且a≠1 ?
? ?a=1或a=2 解得? , ?a>0且a≠1 ? ∴a=2.

1?x - 变式迁移 1 解 (1)、(5)、 (6)为指数函数. 其中(6)y=4 x=? ?4? ,符合指数函数的定义. (2)中底数 x 不是常数,4 不是变数;(3)是-1 与指数函数 4x 的乘积;(4)中底数-4<0, 所以不是指数函数. 【例 2】 B [方法一 当指数函数底数大于 1 时,图象上升,且在第一象限内,底数 越大,图象越靠近 y 轴;当底数大于 0 且小于 1 时,图象下降,且在第一象限内,底数越小, 图象越靠近 x 轴,故可知 b<a<1<d<c,选 B. 方法二 令 x=1,由图象知 c>d>a>b, ∴b<a<1<d<c,选 B.] 1 1 1 - 变式迁移 2 B [-1<x<0,5 x>1,0<5x<1,而 0.5x=( )x>1,又( )x>( )x, 2 5 2 - ∴5 x>0.5x>5x. 也可直接利用图象特征.] 【例 3】 解 (1)由 x-4≠0,得 x≠4, ∴函数的定义域为{x∈R|x≠4}. 1 1 ∵x-4≠0,即 ≠0,∴2 ≠1. x-4 x-4 故函数的值域为{y|y>0 且 y≠1}. (2)定义域为 R. ∵|x|≥0, 2- ∴y=( ) |x|的值域为{y|y≥1}. 3 (3)显然定义域为 R. ∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1, 1 且 y=( )x 为减函数, 2 1 1 1 ∴( )2x-x2≥( )1= . 2 2 2 1 1 故函数 y=( )2x-x2 的值域为[ ,+∞). 2 2 变式迁移 3 解 (1)定义域为[2,+∞), ∵ x-2≥0, - ∴y=3 x 2≥1, ∴值域为[1,+∞). 1?x (2)∵1-? ?2? ≥0, 1?x ∴? ?2? ≤1,即 x≥0,

∴函数 y= 1?x 令 t=? ?2? ,

1?x 1-? ?2? 的定义域为[0,+∞).

∴0<t≤1, ∴0≤1-t<1, ∴0≤ 1-t<1, 1?x ∴y= 1-? ?2? 的值域为[0,1). 课时作业 1.B 2.B [∵B 中定义域为 R,1-x∈R, 1?1-x ∴y=? ?3? >0.] 3.B - 4.D [0<a<1,当 x=0,0<f(0)=a b<1, ∴-b>0,b<0, 即 0<a<1,b<0.] 5.(5,2) 解析 指数函数的图象必过点(0,1), 即 a0=1, - 由此变形得 a5 5+1=2,所以所求函数图象必过点(5,2). 6.(0,1) 解析 由 ax-1≥0,得 ax≥1. 根据指数函数的性质知 a∈(0,1). 7.④⑤ 8.解 当 a>1 时,f(x)在[0,2]上递增, ?f?0?=0 ?a0-1=0 ? ? ∴? ,即? 2 , ?f?2?=2 ?a -1=2 ? ? ∴a=± 3. 又 a>1, ∴a= 3, 当 0<a<1 时,f(x)在[0,2]上递减, 0 ? ? ?f?0?=2 ?a -1=2 ∴? ,即? 2 , ?f?2?=0 ?a -1=0 ? ? 解得 a∈?, 综上所述,a= 3. 9.解 假设 f(x)在 R 上是奇函数,所以有 f(x)+f(-x)=0, - e x a ex a 即( + x)+( + -x)=0. a e a e 1 1 1 ∴( +a)· ex+( +a)·x=0, a a e 1 1 x 即( +a)· (e + x)=0. a e 1 ∵x∈R,∴ +a=0, a 2 ∴a +1=0,显然该方程无解. ex a 从而 f(x)= + x在 R 上不可能为奇函数. a e


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