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福建省龙岩市2013届高三1月教学质量检查数学文试题 Word版含答案



龙岩市 2012~2013 学年第一学期高三教学质量检查数学(文)试题
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题) 全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.
注意事项: 1. 考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卷上. 2. 答题要求见答题卷上的“填涂样例”和“注意事项”. 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的标准差

锥体体积公式

s?

1 [( x ?x)2 ?( x2 ?x)2 ???( xn ?x)2 ] n 1

V?

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式 4 S ? 4? R 2 , V ? ? R3 3 其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一. 选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. 复数 z ? i ? (3 ? i) 在复平面内的对应点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2 2 y x 2. 双曲线 ? ? 1的一条渐近线方程是 9 4 9 3 4 2 A. y ? x B. y ? x C. y ? x D. y ? x 4 2 9 3 3. 若 a ? b ? 0 ,则下列不等式成立的是 A. a ? b
2 2

?? ? ?? ? 1 4. 已知向量 m ? (1,cos ? ), n ? (sin ? , ) ,且 m // n ,则 sin ? cos ? 等于 2
A. 5.“ a ? ?1 ”是“直线 ax ? y ? 1 ? 0 与 ax ? y ? 1 ? 0 互相垂直”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数 f ( x) ? 3x ? x ,当 x ? a 时取得极小值 b ,则 a ? b 等于
3

B. log2 a ? log 2 b

C.

a? b

D. 0.2 ? 0.2
a

b

1 2

B.

1 4

C. 1

D.

?

1 4

A. ?3 B. 0 C. 3 7. 对于不重合的直线 m, n 和不重合的平面 ? , ? ,下列命题错误的是 .. A. 若 m ? ? , n ? ? , m // n ,则 m // ? C. 若 m ? ? , n ? ? , ? // ? ,则 m // n

D. ?3

B. 若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? D. 若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ?

8. 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 ?x | x ? 0? , 满 足 f ( x) ? f (? x) ? 0, 当 x ? 0 时 ,

f ( x) ? ln x ? x ? 1 ,则函数 y ? f ( x) 的大致图象是

A. 9. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? 的值是 A.

?

B.

C.

D.

3

若存在 a ? (0, ? ) , 使得 f ( x ? 2a) ? f ( x) 恒成立, a 则 ),

? ? ? C. D. 4 2 3 ?ABC 的顶点 A(0,1), B(0,3) ,顶点 C 在第一象限,若点 P( x, y) 是 ?ABC 内部 10. 已知正 y 或其边界上一点,则 的最小值为 x?1 A. ?1 B. 3 ? 1 C. 2 D. ? 3 ?1 ??? ??? ? ? 11. 已知 P( x, y) 是圆 x2 ? ( y ? 3)2 ? 1上的动点,定点 A(2, 0), B(?2, 0) ,则 PA ? PB 的
B. 最大值为 A. 12
k

? 6

B. 0
k ?1 1

C. ?12
0

D. 4

12. 若 2014 ? ak ? 5 ? ak ?1 ? 5

? ?? a1 ? 5 ? a0 ? 5 , 其 中 ak , ak ?1 , ? , a0 ? N , 0 ? ak ? 5 , 0 ? ak ?1 , ak ?2 , ? , a1 , a0 ? 5 . 现从 a0 , a1 ,?, ak 中随机取两个数分
x2 y 2 ? ? 1 内的概率是 16 9 17 11 C. D. 16 25

别作为点 P 的横、纵坐标,则点 P 落在椭圆 A.

11 25

B.

13 25

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二. 填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卷的相应位置上) 13. 已知集合 M ? x ?2 ? x ? 1 , R 为实数集,则 CR M ? 14. 如图,输入 x=5,运行下面的程序之后得到 y ,则 y ? _________. INPUT x

?

?

.

IF x<0 THEN y=(x+1)?(x+1) ELSE y=(x-1)?(x-1) END IF PRINT y END (第 14 题图) 圆,若该几何体的表面积为 6? ,则 R ?
2 2

正视图

侧视图

俯视图

(第 15 题图)

15. 如图是一个几何体的三视图, 正视图、 侧视图是半径为 R 的半圆, 俯视图是半径为 R 的 . 16. 若不等式 sin x ? a cos x ? a ? 1 ? cos x 对一切 x ? R 成立,则 实数 a 的取值 范围 为 .

三. 解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)

在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别是 A, B, C 的 对边 , sin A ?

4 ? , A ? ( , ? ) , a ? 41 , 2 5

S?ABC ? 4 .
(Ⅰ)求 cos( A ?

?

4 (Ⅱ)求 b ? c 的值.

) 的值;

18.(本小题满分 12 分) 某校从参加市联考的甲、乙两班数学成绩 110 分以上的同学中 各随机抽取 8 人,将这 16 人的数学成绩编成如下茎叶图. (Ⅰ)茎叶图中有一个数据污损不清(用△表示) ,若甲班抽出 来的同学平均成绩为 122 分,试推算这个污损的数据是多少? (Ⅱ)现要从成绩在 130 分以上的 5 位同学中选 2 位作数学学 习方法介绍,请将所有可能的结果列举出来,并求选出的两位同学不在同 一个班的概率. 19.(本小题满分 12 分)

甲 8 2 2 7 △ 0 11 12 8



0 4 6 8 2 5 1

3 1 13 14

(第 18 题图)

已知数列 ?an ? 中,点 (an , an ?1 ) (n ? N *) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,且 a2 ? 2 . (Ⅰ)求证:数列 ?an ? 是等差数列,并求 an ; (Ⅱ)设 bn ? 2 n ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,?n ? N * ,Sn ? ? ? 2n 成立,求实数 ?
a

的取值范围. 20.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , AD // BC , AB ? AC ? 2 2 , BC ? 2 AD ? 4 . (Ⅰ)求证: AB ? 平面 PAC ; (Ⅱ)求棱锥 D ? PAC 的高.

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ?

(第 20 题图)

1 ,它的一个顶点恰好是抛物线 2

x2 ? ?12 y 的焦点.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C 与曲线 y ? k ? x(k ? 0) 的交点为 B 、 C ,求 ?OBC 面积的最大值.

22.(本小题满分 14 分)

1 3 x ? x 2 ? cx ? d (c, d ? R) , 其图象为曲线 C ,点 A 为曲线 C 上的动 3 点,在点 A 处作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C 交于另一点 B ,在点 B 处作曲线 C 的切线 l 2 .
已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)当 c ? ?3 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当点 A(?1, 4) 时, l1 的方程为 y ? 2 x ? m ,求实数 c 和 d 的值; (Ⅲ)设切线 l1 、 l2 的斜率分别为 k1 、 k2 ,试问:是否存在常数 ? ,使得 k2 ? ? k1 ?若 存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

龙岩市 2012~2013 学年第一学期高三教学质量检查

数学(文)试题参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. {x | x ? ?2 或 x ? 1} ; 14. 16 ; 15. 2 ; 16. a ? ?1 或 a ? 2 三、解答题 17.(命题意图:本题考查同角三角函数的关系、三角形面积公式、余弦定理、两角差的余 弦公式等解三角形的基础知识,考查了配方法、运算求解能力、化归与转化思想) 解: (Ⅰ) ? sin A ? 分 1 B 2 D 3 C 4 A 5 B 6 D 7 C 8 A 9 D 10 B 11 A 12 A

4 3 4 ? , A ? , ? , ?cos A ? ? 1 ? sin 2 A ? ? 1 ? ( )2 ? ? 5 2 5 5

? ?

??2

? 2 2 3 4 2 ?cos( A ? ) ? (cos A ? sin A) ? (? ? ) ?
即 cos A ?

?

4

?
4

? 的值是 102

2

2

5

5

10

????????6

分 (Ⅱ)由已知得 分

1 8 8 bc sin A ? 4 ? bc ? ? 4 ? 10 2 sin A
5

?????????8

? a ? 41, bc ? 10,cos A ? ?

3 5
????9

3 2 2 2 2 2 由余弦定理 a ? b ? c ? 2 bccos A得 41 ? b ? c ? 2 ?10 ? (? ) 5


? b2 ? c 2 ? 29


????????????10

?(b ? c)2 ? b2 ? c2 ? 2bc ? 29 ? 20 ? 49 ? b ? c ? 7 ,即 b ? c 的值是 7. ?12
分 18.(命题意图:本题考查茎叶图,平均数等统计图表、特征数的求解以及古典概型的概率 计算,考查了学生数据处理能力) 解: (Ⅰ)设污损的数据为 x ,则甲班抽出来的同学的平均成绩为 1 [(110 ? 3 ? 120 ? 3 ? 130 ? 2) ? 2 ? 2 ? 8 ? 0 ? x ? 7 ? 1 ? 3] ? 122 解得 x ? 3 8 所以这个污损的数据是 3 ????????????????6 分 (Ⅱ)依据题意,甲班 130 分以上的有 2 人,编号为 A , B ,乙班 130 分以上的有 3 人,编 号为 c 、 d 、 e ,从 5 位同学中任选 2 人,所有的情况列举如下: AB , Ac , Ad , Ae , Bc , Bd , Be , cd , ce , de 共 10 种结果 ???????????????????? 9分 其中两位同学不在同一班的有 Ac , Ad , Ae , Bc , Bd , Be 共 6 种 6 3 所以所求概率为 ?????????????????12 ? 10 5 分 19.(命题意图:本题考查数列与函数、方程、不等式交汇,考查等差、等比数列的定义和 通项公式,等比数列的前 n 项和等知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想) (Ⅰ)证明:由已知得 an ? an?1 ? 1 ? 0 ,即 an?1 ? an ? 1 (n ? N *) ∴数列 ?an ? 是等差数列,公差为 1 . 分 又 a2 ? 2 ,∴ a1 ? 1 ,∴ an ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n 分 (Ⅱ)法一:? bn ? 2n ,∴数列 {bn } 是等比数列,且首项为 2,公比为 2 ∴ Sn ? 分 ???????????6 ???????????????3

2(1 ? 2n ) ? 2n?1 ? 2 1? 2

???????????9

1 n?1 n ?1 n 由 Sn ? ? ? 2n 得 2 ? 2 ? ? ? 2 ,所以 ? ? 2 ? ( ) (n ? N *) 2 1 0 ∴ ? ? 2 ? ( ) ?1 ???????????12 2
分 法二: n ? 1 时, S1 ? 2 ? ? ? 2 ,所以 ? ? 1 ???????????9

分 又若 ? ? 1 ,则 n ? 2 时, Sn ? Sn?1 ? 2n ? 2n ? ? ? 2n 综上,得 ? ? 1 . ???????????12 分 20.(命题意图:本题考查线线、线面、面面关系,主要考查线面垂直的判定、面面垂直的 性质及几何体高与体积的计算,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及综合分 析问题和解决问题的能力.) (Ⅰ)证明:? PA ? 平面 ABCD

? PA ? AB


??????????????1

2 2 2 在 ?ABC 中,? AB ? AC ? 2 2 , BC ? 4 ? AB ? AC ? 16 ? BC

? AB ? AC
分 又 PA ? AC ? A 分

??????????????4

??????????????5

? AB ? 平面 PAC
分 (Ⅱ)法一:? PA ? 平面 ABCD ,

??????????????6

? 平面 PAC ? 平面 ABCD


??????????????6

? 在 ?ACD 中,过 D 作 DE ? AC 于 E ,则 DE ? 平面 PAC
? DE 为三棱锥 D ? PAC 的高
分 又 在 ?ABC 中,过 A 作 AF ? BC 于 F ,则 AF ? 2 ??????????????9

? 在 ?ACD 中, AD ? AF ? AC ? DE ??11 分
即 2 ? 2=2 2DE , ? DE ? 2

? 三棱锥 D ? PAC 的高为 2 ???????12 分

法二:在 ?ACD 中,过 D 作 DE ? AC 于 E , 在 ?ABC 中, 过 A 作 AF ? BC 于 F ,则 AF ? 2

?在?ACD中,AD ? AF ? AC ? DE
即 2 ? 2=2 2DE , ? DE ? 2 又设三棱锥 D ? PAC 的高为 h ,

?VD?PAC ? VP? ACD , PA ? 平面 ABCD
? ? S? PAC ? h ? ? S? ACD ? PA
? h ? DE ? 2
1 3 1 3


??9 分

1 1 PA ? AC ? h ? AC ? DE ? PA 2 2
???????12

? 三棱锥 D ? PAC 的高为 2

分 21.(命题意图:本题考查曲线与方程、椭圆与抛物线的方程及简单的几何性质、三角形面 积、均值不等式、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结 合思想、化归与转化思想.) 解: (Ⅰ)抛物线 x 2 ? ?12 y 的焦点为 (0, ?3) ,∴ b ? 3 分 又椭圆 C 离心率 e ? 分 所以椭圆 C 的方程为 ???????????1

c 1 1 ? ,∴ a 2 ? 32 ? c 2 ? 9 ? a 2 ,? a2 ? 12 ?????2 a 2 4

x2 y 2 ? ?1 12 9

???????????4

分 (Ⅱ)设点 B( x0 , y0 ) ( x0 ? 0, y0 ? 0) ,则 y0 ? kx0 ,连 BC 交 x 轴于点 A , 由对称性知: S ?OBC ? 2 S ?OAB ? 2 ? 分

1 x0 y0 ? kx0 2 2

?????????6

? y0 ? kx0 ? 由?x 2 y 2 0 ? 0 ?1 ? 9 ? 12


得: x0 ?
2

36 3 ? 4k 2

???????8

? S?OBC ? k ?


36 36 , ? 2 3 3 ? 4k ? 4k k

???????9

3 3 3 3 时取等号) ????10 ? ? 4k ? 2 ? 4k ? 4 3 (当且仅当 ? 4k 即 k ? k 2 k k


? S?OBC ?

36 3 ? 4k k

?3 3
??????12

? ?OBC 面积的最大值为 3 3 .


22.(命题意图:本题考查函数、导数等基础知识,利用导数求单调区间的方法,韦达定理, 探究性问题的解法,考查运算能力,综合分析和解决问题的能力,考查函数与方程思想、转 化思想.) 解: (Ⅰ)当 c ? ?3 时, f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x ? d 3

则 f '( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 3 ; 分

????1

f '( x) ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 3


??????????????????2

∴函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (??, ?1) 和 (3, ??) ;单调递减区间是 (?1,3) ?4 分

??c ? d ? 16 ? f (?1) ? 4 ? 3 , (Ⅱ)由题意得 ? ,即 ? ? f '(?1) ? 2 3? c ? 2 ? ?
分 解得 ? 分 ∴实数 c 和 d 的值分别是 ?1 和 分 (Ⅲ)设 A( x0 , f ( x0 )) ,则 f ( x0 ) ?

??????????????6

?c ? ?1 ? 13 ?d ? 3 ?

??????????????????????8

13 . 3

???????????????????9

1 3 x0 ? x0 2 ? cx0 ? d , f '( x0 ) ? x02 ? 2x0 ? c 3 ? y ? f ( x0 ) ? f '( x0 )( x ? x0 ) ① 联立方程组 ? ② ? y ? f ( x) 由②代入①整理得 x2 ? ( x0 ? 3) x ? 2x02 ? 3x0 ? 0 ????????????10

分 设 B( xB , f ( xB )) ,则由韦达定理得 x0 ? xB ? ? x0 ? 3 ,∴ xB ? ?2 x0 ? 3 ???11 分 由 题 意 得

k1 ? f '( x0 ) ? x02 ? 2x0 ? c



k2 ? f '( xB ) ? xB2 ? 2xB ? c ? 4x02 ? 8x0 ? c ? 3
假设存在常数 ? 使得 k2 ? ? k1 ,则 4x0 ? 8x0 ? c ? 3 ? ?( x0 ? 2x0 ? c) ,
2 2

即 (4 ? ? )( x02 ? 2x0 ) ? c ? 3 ? ?c ? 0 ,∴ ? 分

?4 ? ? ? 0 ?? ? 4 ,解得 ? ?c ? 3 ? ?c ? 0 ?c ? 1

???13

所以当 c ? 1 时,存在常数 ? ? 4 使得 k2 ? 4k1 ; 当 c ? 1 时,不存在 ? ,使得 k2 ? ? k1 ????????????14 分



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