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2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(福建卷)精校版 无答案


年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 数 学(理工农医类) 理工农医类)
选择题, 第 I 卷(选择题,共 50 分) 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给 出的四个选项中,只 一,选择题 有一项是符合题目要求的. 1.计算 sin 43 cos 13 -cos 43 sin 13 的结果等于
0 0 0 0

A.

1 2

B.

3 3

C.

2 2

D.

3 2

2.以抛物线 y 2 = 4 χ 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为 A. χ 2 + y 2 + 2 χ = 0
2 2 C. χ + y χ = 0

B. χ 2 + y 2 + χ = 0 D. χ 2 + y 2 2 χ = 0

3.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 sn .若 a1 = 11 , a4 + a6 = 6 ,则当 sn 取最小 值时,n 等于 A.6 B.7 C.8
χ 2 + 2 χ 3, χ ≤ 0

D.9

4.函数 f ( χ ) = {2+1nχ , χ > 0 ,的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 5.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 i 值等于 A.2 B.3 C.4 D.5

6.如图, 是长方体 ABCD- A1 B1C1 D1 被平面 EFCH 截去几何体 EFCH B1C1 后得到的几何体, 若 其中 E 为线段 A1 B1 上异于 B1 的点,F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且 EH// A1 D1 ,则下列结 论中不正确的是 ... A.EH//FG B.四边开 EFGH 是矩形 D. 是棱台 C. 是棱柱

χ2
7.若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线 a P 为双曲线
2

y 2 = 1( a > 0 )

的中心和左焦点,点

右支上的任产电一点,则 OP FP 的取值范围为 A. 3 2 3, +∞

uuu uuu r r





B. 3 + 2 3, +∞





C.

7 , +∞ 4

D. , +∞

7 4



χ ≥ 1, 8.设不等式组 χ 2γ + 3 ≥ 0 ,所表示的平面区域是 1 ,平面区域 2 与 1 关于直线 γ ≥ χ
3χ + 4γ 9 = 0 对称,对于 1 中的任意 A 与 2 中的任意 点 B, | AB | 的最小值等于
A.

28 5

B.4

C.

12 5

D.2

9.对于复数 a,b,c,d,若集合 S = {a, b, c, d } 具有性质"对任意 χ , γ ∈ S ,必有 χγ ∈ S " , ..

a = 1, 则当 b 2 = 1 时, b + c + d 等于 2 c = b
A.1 B.-1 C.0 D.i 10.对于具有相同定义域 D 的函数 f ( χ ) 和 g ( χ ) ,若存在函数 h( χ ) = k χ + b ( k , b 为常 数) 对任给的正数 m,存在相应的 ,

χ0 ∈ D , 使 得 当 χ ∈ D 且 χ > χ0 时 , 总 有

0 < f ( χ ) h( χ ) < m 则称直线 l:y=k χ +b 为曲线 y = f ( χ ) 与 y = g ( χ ) 的"分渐近 0 < h( χ ) g ( χ ) < m
线" .给出定义域均为 D = {χ | χ > 1} 的四组函数如下: ① f (χ ) =

χ 2 , g (χ ) = χ ;
χ 2 +1 χ Inχ + 1 , g (χ ) = ; χ Inχ

② f ( χ ) = 10 χ + 2, g ( χ ) =

2χ 3

χ

;

③ f (χ ) =

④ f (χ ) =

2χ 2 , g ( χ ) = 2( χ 1 e χ ). χ +1

其中,曲线 γ = f ( χ ) 与 γ = g ( χ ) 存在"分渐近线"的是 A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 填空题: 小题, 把答案填在答题卡的相应位置. 二,填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.在等比数列{ an }中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21, 则该数列的通项公式 an = .

12.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表 . . 面积等于 .. 13.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手

若能连续回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率 .. 都是 0.8, 且每个问题的回答结果相互独立, 则该 选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的 概率等于 . 14.已知函数 f(x)=3sin ω x全相同.若 x ∈ [0,



π

(ω > 0 ) 和 g(x)=2cos( 2x + )+1 的图象的对称轴完 6
.

π
2

],则 f(x)的取值范围是

(1)对任意 x ∈ (0,+ ∞ ) ,恒有 f 15. 已知定义域为(0,+ ∞ )的函数 f(x)满足 : (2x)=2f(x)成立; (2)当 x ∈(1,2]时,f(x)=2-x .给出如下结论: ①对任意 m ∈ Z,有 f( 2m )= 0; ②函数 f(x)的值域为[0, + ∞ ]; ③ 存在 n ∈ Z,

使得 f( 2n + 1 )=9;④"函数 f(x)在区间(a,b)上单调递减"的充要条件是"存在 k ∈ Z,使得(a,b) 2k,2k +1 " , . 其中所有正确结论的序号是 . 三,解答题 :本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明;证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分 ) 设 S 是不等式 x x 6 ≤ 0 的解集,m,n ∈ S.
2

(

)

(I)记"使得 m + n = 0 成立的有序数组( m , n)"为事件 A,试列举 A 包含的基本 事件; (II)设 ξ = m ,求 ξ 的分布列及其数学期望 Eξ .
2

17. ( 本小题满分 13 分 ) 已知在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2 , 3) ,且点 F(2 ,0)为其右焦点. (I)求椭圆 C 的方程; (II)是否存在平行于 OA 的直 线 L,使得直线 L 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 L 的 距离等于 4?若存在,求出直线 L 的方程;若不存在,说明理由. 18.(本小题满分 13 分 ) 如图,圆柱 OO1 内有一个三棱柱 ABC-A1B1C1,三棱柱的底面为圆柱底面的 内接三角形,且 AB 是圆 O 的直径. (I)证明:平面 A1ACC1 ⊥ 平面 B1BCC1; (II)设 AB=AA1,在圆柱 OO1 内随机选取一点,记该点取自三棱柱 ABC-A1B1C1 内的概率为 p. (i)当点 C 在圆周上运动时,求 p 的最大值; (ii)圭亚那平面 A1ACC1 与平面 B1OC 所成的角为 θ ( 0 < θ ≤ 90 ) .
0 0

当 p 取最大值时,求 cos θ 的值. 19.(本小题满分 13 分) 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于

港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处, 并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东 方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 υ 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与 轮船相遇. (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (Ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到 3 0 海里/小时,试设 计航行方案(即确定航行方向 和航行速度的大小) ,使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由. 20.(本小题满分 14 分) 3 (1)已知函数 f(x)=x =x,其图像记为曲线 C. (i)求函数 f(x)的单调区间; (ii)证明:若对于任意非零实数 x1,曲线 C 与其在点 P1(x1,f(x1)处的切线交于另一点 ,线段 P1P2,P2P3 与曲线 P2(x2,f(x2).曲线 C 与其在点 P2 处的切线交于另一点 P3 (x3 f(x3)) C 所围成封闭图形的面积分别记为 S1,S2,则
3 2

s1 为定值: s2

(Ⅱ)对于一般的三次函数 g(x)=ax +bx +cx+d(a ≠ 0),请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命 题,并予以证明. 21.本题设有(1),(2),(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如 果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1)(本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 M =

1 a c 2 2 0 ,N = ,且 MN = . b 1 0 d 2 0

(Ⅰ)求实数 a, b, c, d 的值; (Ⅱ)求直线 y = 3 x 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的 像的方程. (2)(本小题满分 7 分)选修 4-4 分:坐标系与参数方程

2 t, x = 3 2 在直角坐标系 xoy 中, 直线 l 的参数方程为 ( t 为参数). 在极坐标系(与 y = 5 + 2 t 2 直角坐标系 xoy 取相同的长度单位, 且以原点 o 为极点, x 轴正半轴为极轴)中, c 以 圆
的方程为 p = 2 5 sin θ . (Ⅰ)求圆 c 的直角坐标 方程; (Ⅱ)设圆 c 与直线 l 交于点 A, B .若点 P 的坐标为(3, 5 ),求 PA + PB . (3)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x )= x a . ,求实数 a 的值; (Ⅰ)若不等式 f ( x )≤3 的解集为{ x -1≤ x ≤5}

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 f ( x )+ f ( x + 5 )≥ m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取 值范围.


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