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2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练:第五章 平面向量 5-3 Word版


5-3

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.若向量 a,b 满足|a|=|b|=|a+b|=1,则 a· b 的值为( 1 A.- 2 C.-1 1 B. 2 D.1 )

【解析】 依题意得(a+b)2=a2+b2+2a· b=2+2a· b=1, 1 所以 a· b=- ,选 A. 2 【答案】 A 2.(2015· 福建)设 a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若 b⊥c,则实数 k 的值等于( 3 A.- 2 5 C. 3 5 B.- 3 3 D. 2 )

【解析】 先求出向量 c 的坐标,再由向量的数量积求解. c=a+kb=(1+k,2+k),又 b⊥c, 3 所以 1×(1+k)+1×(2+k)=0,解得 k=- . 2 【答案】 A → → 3.向量AB与向量 a=(-3,4)的夹角为π ,|AB|=10,若点 A 的坐标是(1,2),则点 B 的坐标为( A.(-7,8) C.(-5,10) B.(9,-4) D.(7,-6) )

→ 【解析】 ∵AB与 a=(-3,4)反向, → ∴可设AB=(3λ,-4λ),λ>0. → → 又|AB|=10,∴λ=2,∴AB=(6,-8), 又 A(1,2),∴B 点坐标为(7,-6). 【答案】 D → → → → → 4.(2015· 四川)设四边形 ABCD 为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4.若点 M,N 满足BM=3MC,DN= → → → 2NC,则AM·NM=( A.20 C.9 ) B.15 D.6

→ → → → → → 【解析】 首先用向量AB,AD分别表示向量AM,NM,然后求数量积AM·NM.如图所示,由题设知:

→ → → → 3 → → 1→ 1 → AM=AB+BM=AB+ AD,NM= AB- AD, 4 3 4 → 3 → ? ?1 → 1 → ? → → ∴AM·NM=? ?AB+4AD?·?3AB-4AD? 1→ 3 → 1→ → 1→ → = |AB|2- |AD|2+ AB·AD- AB·AD 3 16 4 4 1 3 = ×36- ×16=9. 3 16 【答案】 C → → 5.(2015· 安徽)△ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a,b 满足AB=2a,AC=2a+b,则下列结 论中正确的是________.(写出所有正确结论的编号) ①a 为单位向量; ②b 为单位向量; → ③a⊥b; ④b∥BC; → ⑤(4a+b)⊥BC. 【解析】 根据向量的有关概念、线性运算及数量积求解. → ∵AB2=4|a|2=4,∴|a|=1,故①正确; → → → ∵BC=AC-AB=(2a+b)-2a=b, 又△ABC 为等边三角形, → ∴|BC|=|b|=2,故②错误; → → ∵b=AC-AB, 1→ 1 → → 1 ∴a· b= AB·(AC-AB)= ×2×2×cos 60°- ×2×2=-1≠0,故③错误; 2 2 2 → ∵BC=b,故④正确; → → → → → → ∵(AB+AC)· (AC-AB)=AC2-AB2=4-4=0, → ∴(4a+b)⊥BC,故⑤正确. 【答案】 ①④⑤ 6.(2014· 北京)已知向量 a,b 满足|a|=1,b=(2,1),且 λa+b=0(λ∈R),则|λ|=________. 【解析】 ∵λa+b=0,∴λa=-b, ∴|λa|=|-b|=|b|= 22+12= 5,∴|λ|·|a|= 5.

又|a|=1,∴|λ|= 5. 【答案】 5

→ → 7.(2015· 山东)过点 P(1, 3)作圆 x2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则PA·PB=________. → → 【解析】 先根据图形求出向量PA和PB的夹角及模,再利用数量积公式求解. 如图所示,可知 OA⊥AP,OB⊥BP,

OP= 1+3=2,又 OA=OB=1, 可以求得 AP=BP= 3,∠APB=60°, 3 → → 故PA·PB= 3× 3×cos 60°= . 2 【答案】 3 2

8.已知 a=(2,-1),b=(λ,3),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是____________. 【解析】 由 a· b<0,即 2λ-3<0, 3 解得 λ< ,由 a∥b 得:6=-λ,即 λ=-6. 2 3 因此 λ 的取值范围是 λ< ,且 λ≠-6. 2 3? 【答案】 (-∞,-6)∪? ?-6,2? 9.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61. (1)求 a 与 b 的夹角 θ; (2)求|a+b|和|a-b|. 【解析】 (1)(2a-3b)· (2a+b)=61,解得 a· b=-6. 2π a· b -6 1 ∴cos θ= = =- ,又 0≤θ≤π,∴θ= . |a||b| 4×3 2 3 (2)|a+b|2=a2+2a· b+b2=13,∴|a+b|= 13. |a-b|2=a2-2a· b+b2=37. ∴|a-b|= 37. 10.已知△ABC 的内角为 A,B,C,其对边分别为 a,b,c,B 为锐角,向量 m=(2sin B,- 3),n
2 B ? =? ?cos 2B,2cos 2 -1?,且 m∥n.

(1)求角 B 的大小;

(2)如果 b=2,求 S△ABC 的最大值.
2 B ? 【解析】 (1)m∥n?2sin B·? ?2cos 2 -1?+ 3cos 2B=0

π ?sin 2B+ 3cos 2B=0?2sin?2B+ ?=0(B 为锐角) 3? ? 2π π ?2B= ?B= . 3 3 a2+c2-b2 (2)cos B= ?ac=a2+c2-4≥2ac-4?ac≤4. 2ac 1 1 3 S△ABC= a·c·sin B≤ ×4× = 3. 2 2 2 故 S△ABC 的最大值为 3. B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) 11.(2015· 陕西)对任意向量 a,b,下列关系式中不恒成立的是( A.|a· b|≤|a||b| C.(a+b)2=|a+b|2 B.|a-b|≤||a|-|b|| D.(a+b)· (a-b)=a2-b2 )

【解析】 根据平面向量的加减、模、数量积的定义和性质逐一判断各关系式. 根据 a· b=|a||b|cos θ, 又 cos θ≤1,知|a· b|≤|a||b|,A 恒成立. 当向量 a 和 b 方向不相同时, |a-b|>||a|-|b||,B 不恒成立. 根据|a+b|2=a2+2a· b+b2=(a+b)2,C 恒成立. 根据向量的运算性质得(a+b)· (a-b)=a2-b2,D 恒成立. 【答案】 B 12 . (2015· 吉林长春质量检测二 ) 已知平面向量 a , b 满足 |a|= 3 , |b|= 2 , a· b =- 3 ,则 |a + 2b|= ( ) A.1 C.4+ 3 B. 7 D.2 7

【解析】 ∵|a|= 3,|b|=2,a· b=-3, ∴|a+2b|= a2+4a· b+4b2= 7.故选 B. 【答案】 B 13.(2015· 山西四校联考)已知向量 a,b 满足(2a-b)· (a+b)=6,且|a|=2,|b|=1,则 a 与 b 的夹角为 ________. 【解析】 ∵(2a-b)· (a+b)=6,∴2a2+a· b-b2=6, 又|a|=2,|b|=1,∴a· b=-1, ∴cos〈a,b〉= a· b 1 =- , |a|· |b| 2

2π 又〈a,b〉∈0,π],∴a 与 b 的夹角为 . 3 2 【答案】 π 3 3x 3x? x x? ? π π? ? 14.(2015· 山西运城 5 月)已知向量 a=? ?cos 2 ,sin 2 ?,b=?cos 2,-sin 2?,且 x∈?- 3 , 4 ?. (1)求 a· b 及|a+b|; (2)若 f(x)=a· b-|a+b|,求 f(x)的最大值和最小值. 【解析】 (1)a· b=cos 3x x 3x x cos -sin ·sin =cos 2x. 2 2 2 2

3x x 3x x? ∵a+b=? ?cos 2 +cos 2,sin 2 -sin 2?, ∴|a+b|= 2 2 ?cos 3x+cos x? +?sin 3x-sin x? 2 2? 2 2? ? ?

= 2+2cos 2x=2|cos x|. π π ∵x∈?- , ?,∴cos x>0,∴|a+b|=2cos x. ? 3 4? (2)f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2 x-2cos x-1 1 2 3 cos x- ? - . =2? 2? 2 ? π π 1 ∵x∈?- , ?,∴ ≤cos x≤1, 2 ? 3 4? 1 3 ∴当 cos x= 时,f(x)取得最小值- ; 2 2 当 cos x=1 时,f(x)取得最大值-1. 15.(2016· 青海同仁模拟)已知向量 p=(2sin x, 3cos x),q=(-sin x,2sin x),函数 f(x)=p· q. (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 f(C)=1,c=1,ab=2 3,且 a>b,求 a,b 的值. 【解析】 (1)f(x)=-2sin2 x+2 3sin xcos x =-1+cos 2x+2 3sin xcos x π = 3sin 2x+cos 2x-1=2sin?2x+ ?-1. 6? ? π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 6 2 π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 3 6 π π ∴f(x)的单调递增区间是?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z). 3 6? ?

π π (2)∵f(C)=2sin?2C+ ?-1=1,∴sin?2C+ ?=1, 6 6? ? ? ? π π π ∵C 是三角形的内角,∴2C+ = ,即 C= . 6 2 6 a2+b2-c2 3 ∴cos C= = ,即 a2+b2=7. 2ab 2 12 将 ab=2 3代入可得 a2+ 2 =7,解得 a2=3 或 4. a ∴a= 3或 2,∴b=2 或 3.∵a>b,∴a=2,b= 3.


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