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河北省唐山一中2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题



唐山一中 2014—2015 学年度第二学期期末考试

高二年级

数学试卷

说明: 1.考试时间 120 分钟, 满分 150 分。 2.将卷Ⅰ答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案答 在答题纸上。3.Ⅱ卷答题纸卷头和答题卡均填涂本次考试的考号,不要误填学号,答题卡占 后5位说明:

卷Ⅰ

r />一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知复数 z ? ?1 ? 2i ,则 A.第一象限

1 在复平面上表示的点位于 z
C.第三象限 D.第四象限





B.第二象限

2.已知 M ? ?? x, y ?

? ?

y ?3 ? ? 3? , N ? ?? x, y ? ax ? 2 y ? a ? 0? 且 M ? N ? ? ,则 a ? x?2 ?
( ) C.2 或-6 D.2

A.-6 或-2

B.-6

3.已知具有线性相关的两个变量 x,y 之间的一组数据如下:

x y

0 2.2

1 4.3

2 t

3 4.8

4 6.7 ( D.5.5 )

? ? 0.95x ? 2.6 ,则 t= 且回归方程是 y
A.2.5 B.3.5 C.4.5

4. 设a 、 b 是两个单位向量,其夹角为 ? ,则“ ? ? ? A.充分不必要条件 C.充要条件 5. 设集合 A ? {x |

? 6

? ”是“| a ? b |? 1 ”的 3

(

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 ? 2 x ? 16} , B ? {x | y ? ln(x 2 ? 3x)}, 从集合 A 中任取一个元素 , 则这 4 个元素也是集合 B 中元素的概率是 ( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 3

6.下列四个结论: ①若 x ? 0 ,则 x ? sin x 恒成立; ②命题“若 x ? sin x ? 0, 则x ? 0 ”的逆命题为“若 x ? 0, 则x ? sin x ? 0 ”; ③“命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的充分不必要条件; ④命题“ ?x ? R, x ? ln x ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, x0 ? ln x0 ? 0 ”. 其中正确结论的个数是 ( )

A.1 个 个

B.2 个 D.4 个

C.3

7.已知函数 f ?x ? ? sin?x ? ? ? ,且

?

2? 3 0

f ? x ?dx ? 0 ,则函数 f ?x ? 的图象的一条对称轴是
( )

A. x ?

5? 6

B. x ?

7? 12

C. x ?

?
3

D. x ?

?
6

8.设随机变量 X 服从正态分布 N (3, 4) ,则 P(X ? 1 ? 3a) ? P( X ? a 2? 7) 成立的一个必要 不充分条件是 A. a ? 1 或 2 B. a ? ?1 或 2 C. a ? 2 D. a ? ( )

3? 5 2

9.用数学归纳法证明“ (n+1) (n+2) ·?· (n+n)=2n·1·3·?· (2n-1) ” ,从“k 到 k+1” 左端需增乘的代数式为 ( ) A.2k+1 B.2(2k+1) C.

2k ? 1 k ?1

D.

2k ? 3 k ?1
( )

10.设 a ? b ? 0 ,则 a ? A. 2

1 1 ? 的最小值为 b a?b
C.4 D. 3 ? 2 2

B.3

11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 10 个数字中任取 3 个不同的数字构成空间直角坐 标系中的点的坐标 ? x, y, z ? ,若 x ? y ? z 是 3 的倍数,则满足条件的点的个数为 ( A.252 B.216 C.72 D.42 )

?1 ? x ? 1 ,x ? ( ?? , 2) ? 12 . 设 函 数 f ( x) ? ? 1 , 则 函 数 F ( x) ? xf ( x) ? 1 的 零 点 的 个 数 为 ? f ( x ? 2), x ?[2, ??) ?2
( A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 )

卷Ⅱ
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. f ( x) ? (3 ? x) ? x(3 ? x) 的展开式中,含 x 项的系数为_________.(用数字作答)
6 5
3

14. 已 知 函 数 f ( x) 是 R 上 的 奇 函 数 , 且 f ( x ? 2) 为 偶 函 数 . 若 f (1) ? 1 , 则

f (8) ? f (9) ? __________



15.函数 f ? x ?=lnx+ax 的图象存在与直线 2 x-y=0 平行的切线,则实数 a 的取值范围是 ______. 16 观察下列等式:

1?

1 1 ? 2 2 1 1 1 1 1 1? ? ? ? ? 2 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 5 6 4 5 6

。 。 。 据此规律,第 n 个等式可为____________________________________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 17. (本小题共 10 分)已知函数 f ( x) ? x ? 1 (1)解关于 x 的不等式 f ( x) ? x 2 ? 1 ? 0 ; (2)若

g ( x) ? ? x ? 3 ? m, f ( x) ? g ( x)

的解集非空,求实数 m 的取值范围.

18. (本小题共 12 分) 在极坐标系中, 曲线 C:? ? 2a cos ? (a ? 0), l : ? cos( ? ? 曲线 C 与 l 有且仅有一个公共点. (1)求 a 的值; (2) O 为极点,A,B 为 C 上的两点,且 ?AOB ?

?
3

)?

3 , 2

?
3

,求 OA ? OB 的最大值.

19.(本题满分 12 分) 某中学一名数学老师对全班 50 名学生某次考试成绩分男女生进行了统计(满分 150 分) , 其中 120 分(含 120 分)以上为优秀,绘制了如下的两个频率分布直方图:

(I)根据以上两个直方图完成下面的 2 ? 2 列联表:

(II)根据 ?1? 中表格的数据计算,你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系?

(Ⅲ)若从成绩在 ?130,140? 的学生中任取 2 人,求取到的 2 人中至少有 1 名女生的概率.

20. (本小题满分 12 分) 如图, AB 是半圆 O 的直径, C 是半圆 O 上除 A 、 B 外的一个动点, DC 垂直于半圆

O 所在的平面, DC ∥ EB , DC ? EB , AB ? 4 , tan ?EAB ?
⑴证明:平面 ADE ? 平面 ACD ;

1 . 4

⑵当三棱锥 C ? ADE 体积最大时,求二面角 D ? AE ? B 的余弦值.

21.已知中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆过点 P(2,

3) ,且它的离心率 e ?

1 . 2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
2 2 (Ⅱ)与圆 ( x ? 1) ? y ? 1 相切的直线 l:y ? kx ? t 交椭圆于 M,N 两点,若椭圆上一

点 C 满足 OM ? ON ? ?OC ,求实数 ? 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x , (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 k 为正常数,设 g ( x) ? f ( x) ? f (k ? x) ,求函数 g ( x) 的最小值; (Ⅲ)若 a ? 0, b ? 0 ,证明: f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b) .

唐山一中 2014-2015 学年度第二学期期末考试答案 数 学 试 卷(理)
一.选择题 1-12 BACAC 二.填空题 13. –810 14. 1 BABBC AC

2) 15.(-?,
16. 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n

三.解答题 17. 解:(Ⅰ)由题意原不等式可化为: x - 1 ? 1 - x 即: x - 1 ? 1 - x 或x - 1 ? x - 1
2 2
2 由 x - 1 ? 1 - x 得 x ? 1或x ? -2 2 由 x - 1 ? x - 1 得 x ? 1或x ? 0

2

?????2 分

综上原不等式的解为 (Ⅱ)原不等式等价于 令 由

?x x ? 1或x ? 0??????5 分
h( x) ? x - 1 ? x ? 3 min ? m
,所以 h( x) min ? 4 ,

x-1 ? x ? 3 ? m的解集非空.
,即 ,????8 分

h( x ) ? x - 1 ? x ? 3

x -1 ? x ? 3 ? x -1- x - 3 ? 4

所以 m ? 4 .??????10 分 18. (Ⅰ)曲线 C 是以(a,0)为圆心,以 a 为半径的圆; l 的直角坐标方程为 x+ 3y-3=0. |a-3| 由直线 l 与圆 C 相切可得 =a,解得 a=1. 2 (Ⅱ)不妨设 A 的极角为 θ ,B 的极角为 θ + 则|OA|+|OB|=2cosθ +2cos(θ + =3cosθ - 3sinθ =2 3cos(θ + π ) 3 π ), 6 ???10 分 π , 3

???4 分

当 θ =- 19.解: (1)

π 时,|OA|+|OB|取得最大值 2 3. 6 优秀 13 7 20 不优秀 10 20 30 总计 23 27 50

?12 分

成绩性别 男生 女生 总计

?????4 分 (2)由(1)中表格的数据知, K =
2 2

50 ? ?13 ? 20 ? 7 ?10 ? ≈4.844. ? ? ? ? ? 6 分 20 ? 30 ? 27 ? 23
2

∵K ≈4.844>3.841,∴有 95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系.? ? ? ? ? 8分 (3)成绩在 ?130,140? 的学生中男生 50 ? 0.008 ? 10 ? 4 人, 女生有 50 ? 0.004 ? 10 ? 2 人,? ? ? ? ? 9 分
2 从 6 名学生中任取 2 人,共有 C6 =15 种选法,
2 若选取的都是男生,共有 C4 = 6 种选法;? ? ? ? ? 10 分

2 C4 3 故所求事件的概率 p = 1 - 2 = .? ? ? ? ? 12 分 C6 5

20. 解: (Ⅰ)证明:因为 AB 是直径,所以 BC ? AC 因为 CD ? 平面 ABC ,所以 CD ? BC , 因为 CD ? AC ? C ,所以 BC ? 平面 ACD 因为 CD // BE , CD ? BE ,所以 BCDE 是平行四边形, BC // DE ,所以 DE ? 平面 ACD 因为 DE ? 平面 ADE ,所以平面 ADE ? 平面 ACD ???????5 分 (Ⅱ)依题意, EB ? AB ? tan ?EAB ? 4 ? 由(Ⅰ)知 VC ? ADE ? V E ? ACD ?

1 ?1 , 4

1 1 1 ? S ?ACD ? DE ? ? ? AC ? CD ? DE 3 3 2 1 1 1 4 ? ? AC ? BC ? ? ( AC 2 ? BC 2 ) ? ? AB 2 ? , 6 12 12 3

当且仅当 AC ? BC ? 2 2 时等号成立 ????8 分 如图所示,建立空间直角坐标系,则 D(0, 0,1) , E(0, 2 2,1) ,

A(2 2,0,0) B(0, 2 2,0) , ??? ? ??? ? 则 AB ? (?2 2, 2 2,0) , BE ? (0,0,1) , ??? ? ??? ? DE ? (0, 2 2,0) , DA ? (2 2,0, ?1,) ?? ???? ? ? n ? 1 ? DE ? 0 设面 DAE 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) , ? ? ??? , ? n ? DA ? 0 ? ? 1 ? ? ?2 2 y ? 0 即? ? n1 ? (1,0, 2 2) , ? ?2 2 x ? z ? 0 ? ??? ? ?? ? ? ?n 2 ? BE ? 0 设面 ABE 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) , ? ? ??? , ? n ? AB ? 0 2 ? ? ? ?z ? 0 即 ? ? ? ??2 2 x ? 2 2 y ? 0 ? ? ? ? n1 ?n 2 1 2 ? cos n1 , n 2 ? ? ? ? ? 6 2? 9 n1 n2 ? ? 可以判断 n1 , n2 与二面角 D ? AE ? B 的平面角互补
? 二面角 D ? AE ? B 的余弦值为 ?

? n2 ? (1,1,0)



2 .???????12 分 6

x2 y2 21.解:(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b

3 ?4 ? a 2 ? b2 ? 1 ? ?c 1 由已知得: ? ? ?a 2 ?c 2 ? a 2 ? b2 ? ?

2 ? ?a ? 8 解得 ? 2 ? ?b ? 6

x2 y2 ? ?1 所以椭圆的标准方程为: 8 6
(Ⅱ) 因为直线 l : y ? kx ? t 与圆 ( x ? 1) ? y ? 1 相切
2 2

1? t2 所以, ? 1 ? 2k ? ( t ? 0) t 1? k2
把 y ? kx ? t 代入

t?k

x2 y2 ? ? 1 并整理得: (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8ktx ? (4t 2 ? 24) ? 0 ┈7 分 8 6

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则有

8kt 3 ? 4k 2 6t y1 ? y 2 ? kx 1 ? t ? kx 2 ? t ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2t ? 3 ? 4k 2 x1 ? x 2 ? ?

因为, ? OC ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , 所以, C ? ?

?

? 6t ? 8kt ? , 2 2 ? ? (3 ? 4k ) ? (3 ? 4k ) ? ?

又因为点 C 在椭圆上, 所以,

8k 2 t 2 6t 2 ? ?1 (3 ? 4k 2 )2 ? 2 (3 ? 4k 2 )2 ? 2

2t 2 2 ?? ? ? 2 1 1 3 ? 4k ( 2 )2 ? ( 2 ) ? 1 t t
2

因为 t 2 ? 0 所以

所以 (

1 2 1 ) ? ( 2 ) ?1 ? 1 2 t t

0 ? ? 2 ? 2 ,所以 ? 的取值范围为 (? 2 , 0) ? (0,

2)

22 解:(Ⅰ)∵ f ? ? x ? ? lnx ? 1 ,解 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ?

1 1 ;解 f ? ? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? . e e ?1 ? ? 1? ∴ f ? x ? 的单调递增区间是 ? , ?? ? ,单调递减区间是 ? 0, ? . ……3′ ? e? ?e ? (Ⅱ)∵ g ? x ? ? f ? x ? ? f ? k ? x ? ? xlnx ? ? k ? x ? ln ? k ? x ? ,定义域是 ? 0, k ? .
∴ g ? ? x ? ? lnx ? 1 ? ? ?ln ? k ? x ? ? 1? ? ? ln 由 g ? ? x ? ? 0 ,得

x ……5′ k?x

k k ? x ? k ,由 g ? ? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? 2 2 ? k? ?k ? ∴ 函数 g ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减;在 ? , k ? 上单调递增……7′ ? 2? ?2 ? k ?k? 故函数 g ? x ? 的最小值是: g ? ? ? k ? ln . ……8′ 2 ?2? 2a (Ⅲ)∵ a ? 0 , b ? 0 ,∴ 在(Ⅱ)中取 x ? ,k ? 2 a?b 2a ? ? 2a ? ? ? 2a ? ? 2b ? 可得 f ? ? ? f ?2? ? ≥ 2ln1 ,即 f ? ?? f ? ? ≥ 0 .……10′ a?b? ?a?b? ? ?a?b? ?a?b? 2a 2a 2b 2b ∴ ln ? ln ≥ 0 ,∴ alna ? blnb ? ? a ? b ? ln2 ? ? a ? b ? ln ? a ? b ? ≥ 0 . a?b a?b a?b a?b 即 f ? a ? ? ? a ? b ? ln2 ≥ f ? a ? b ? ? f ?b ? .……12′



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