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椭圆3



椭圆:
(1)椭圆的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数(大于 | F1 F2 | )的点的轨迹。 第二定义:平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 e(0 ? e ? 1) 的点的轨 迹。 其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距;定直线叫做准线。 常数叫做离心率。 注意: 2a ?| F1 F2 | 表示椭圆; 2a ?| F1 F2 | 表示线段 F1 F2 ; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹; (2)椭圆的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 标准方程 中心在原点,焦点在 y 轴上

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

参数方程

? x ? a cos? (? 为参数) ? ? y ? b sin ?

? x ? b cos? (? 为参数) ? ? y ? a sin ?
B2 y F2 O F1 B1 A2 x

P 图 形 A1 F1

y

B2 O F2 B1 A2

x

P A1





A1 ( ? a,0), A2 ( a,0) B1 (0,?b), B2 (0, b)

A1 ( ?b,0), A2 (b,0) B1 (0,? a ), B2 (0, a )

对称轴 焦 焦 点 距

x 轴, y 轴;短轴为 2b ,长轴为 2a
F1 (?c,0), F2 (c,0) | F1F2 |? 2c(c ? 0)
e?

F1 (0,?c), F2 (0, c)
c2 ? a2 ? b2

离心率

c (0 ? e ? 1) (离心率越大,椭圆越扁) a



线

x??

a2 c
2b 2 ? 2ep ( p 为焦准距) a

y??

a2 c





焦半径

| PF1 |? a ? ex 0 | PF2 |? a ? ex 0

| PF1 |? a ? ey 0 | PF2 |? a ? ey 0

B

B

C

D

C

B

C

D

C

A

课堂练习
一、选择题: 1.下列方程表示椭圆的是() A.

x2 y 2 ? ?1 9 9

B. ? x2 ? 2 y 2 ? ?8

C.

x2 y 2 ? ?1 25 9

D. ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1

2.动点 P 到两个定点 F 1 (- 4,0). F2 (4,0)的距离之和为 8,则 P 点的轨迹为() A.椭圆 B.线段 F1F2
2

C.直线 F1F2

D.不能确定

3.已知椭圆的标准方程 x ? A. (? 10,0)

y2 ? 1,则椭圆的焦点坐标为() 10
C. (0, ?3) D. (?3, 0)

B. (0, ? 10)

4.椭圆

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 和 ? ? 1( a 2 ? b2 ? k 2 ) 的关系是 a 2 b2 a 2 ? k 2 b2 ? k 2
B.有相同的离心率 C.有相同的准线 D.有相同的焦点

A.有相同的长.短轴 5.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆的一焦点的距离为 3,则 P 到另一焦点的距离是() 5 9
A. 2 5 ? 3 B.2 C.3 D.6

6.如果

x2 y2 ? ? 1表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a 的取值范围为() a2 a ? 2
B. ? ?2, ?1? ? ? 2, ???
2 2

A. (?2, ??)

C. (??, ?1) ? (2, ??)

D.任意实数 R

7.“m>n>0”是“方程 mx ? ny ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆的” () A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

8.椭圆的短轴长是 4,长轴长是短轴长的 A. 5 B. 4 C. 6 D. 2 5

3 倍,则椭圆的焦距是() 2

9.关于曲线的对称性的论述正确的是() A.方程 x ? xy ? y ? 0 的曲线关于 X 轴对称
2 2

B.方程 x ? y ? 0 的曲线关于 Y 轴对称
3 3

C.方程 x2 ? xy ? y 2 ? 10 的曲线关于原点对称 D.方程 x3 ? y3 ? 8 的曲线关于原点对称

10.方程

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1 (a>b>0)表示的椭圆( ). ( a > b > 0,k > 0 且 k ≠ 1) 与方程 ka 2 kb 2 a 2 b2
C.有等长的短轴.长轴 D.有相同的顶点

A.有相同的离心率;B.有共同的焦点

12

3 , 10,8, ( ?0

) ,

3 25 , x?? 5 3

13

3 5

12.(6 分)椭圆 16 x2 ? 25 y 2 ? 400 的长轴长为____,短轴长为____,焦点坐标为 __ 离心率为 ;椭圆的左准线方程为______________________ 13.(4 分)若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离 心率是__________ 15.(30 分)求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(0,-3) , (0,3) ,椭圆的短轴长为 8; 解:由题意,椭圆的焦点在 y 轴上,设椭圆的标准方程为

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
2 2 2

8 , b4? , 由焦点坐标可得 c ? 3 , 短轴长为 8, 即 2b ? 所以 a ? b ? c ? 25

y x ? 椭圆的标准方程为》 ? ?1 》 》 》 》 》 》 》 》 》 25 16
2 2

(2)两个焦点的坐标分别为(- 5 ,0) , ( 5 ,0) ,并且椭圆经过点 (2 2, )

2 3

解:由题意,椭圆的焦点在 x 轴上,设椭圆的标准方程为 由 焦 点 坐 标

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
可 得

2 2 c ? 5 , 2a ? (2 2 ? 5)2 ? ( )2 ? (2 2 ? 5)2 ? ( )2 ? 6 3 3
x2 y 2 ? ?1 所以 b = a ? c =9-5=4,所以椭圆的标准方程为》 》 》 》 》 》 》 》 9 4
2
2 2

(3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点

P 1 ( 6,1)、P 2 (- 3,- 2)



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