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2017版高考数学(文)人教A版(全国)一轮复习 课件 第二章 函数概念与基本初等函数 第7讲



第7讲

函数的图象

最新考纲

1. 理解点的坐标与函数图象的关系; 2. 会利

用平移、对称、伸缩变换,由一个函数图象得到另一个 函数的图象; 3.会运用函数图象理解和研究函数的性质,

解决方程解的个数与不等式的解的问题.

知识梳理 1.利用描点

法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线. 首先:(1)确定函数的定义域, (2) 化简函数解析式, (3)讨论 函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).

其次:列表 ( 尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、
与坐标轴的交点等),描点,连线.

2.函数图象间的变换
(1)平移变换

y=f(x)-k

对于平移,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀: 左加右减,上加下减.

(2)对称变换

y=-f(-x)

(3)伸缩变换

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1) 当 x∈(0 ,+∞) 时,函数 y = |f(x)| 与 y = f(|x|) 的图象相
同.( × ) (2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称.( × ) (3)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关 于直线x=1对称.( √ )

(4)若函数y=f(x)满足f(x-1)=f(x+1),则函数f(x)的图象关
于直线x=1对称.( × ) (5) 将函数 y = f( - x) 的图象向右平移 1 个单位得到函数 y = f(-x-1)的图象.( × )

2.(2015· 广州一调 ) 把函数 y = (x - 2)2 + 2 的图象向左平移 1 个
单位,再向上平移1个单位,所得图象对应的函数解析式 是( ) B.y=(x-3)2+1 D.y=(x-1)2+1

A.y=(x-3)2+3 C.y=(x-1)2+3 解析

把函数y=f(x)的图象向左平移1个单位,即把其

中x换成x+1,于是得y =[(x+1)- 2]2+2=(x -1)2+2, 再向上平移 1 个单位,即得到 y = (x - 1)2 + 2 + 1 = (x - 1)2+3. 答案 C

3.( 人教 A 必修 1P112A2) 点 P 从点 O出发,按逆时针方向沿周
长为l的图形运动一周,O,P两点连线的距离y与点P走过 的路程x的函数关系如图,那么点P所走的图形是( )

答案 C

4.(2016· 安庆调研)已知图(1)中的图象对应的函数为y=f(x),

则图(2)中的图象对应的函数为(

)

A.y=f(|x|) C.y=f(-|x|) 解析

B.y=|f(x)| D.y=-f(|x|)

由图(1)和图(2)的关系可知,图(2)是由图(1)在y

轴左侧的部分及其关于y轴对称图形构成的,故选C. 答案 C

5.(2015· 长沙模拟)已知函数

? ?log2x(x>0), f(x)= ? x 且 ? (x≤0), ?2

关于 x 的方程 f(x)-a=0 有两个实根,则实数 a 的取 值范围是________.
解析 当 x≤0 时,0<2x≤1,所以由图象

可知要使方程 f(x)-a=0 有两个实根,即 函数 y=f(x)与 y=a 的图象有两个交点,所 以由图象可知 0<a≤1.

答案 (0,1]

考点一 函数图象的作法
【例1】 分别画出下列函数的图象: (1)y=|lg(x-1)|;(2)y=2x+1-1;(3)y=x2-|x|-2.
解 (1)首先作出 y=lg x 的图象 C1,然后将 C1 向右平移 1

个单位,得到 y=lg(x-1)的图象 C2,再把 C2 在 x 轴下方的 图象作关于 x 轴对称的图象,即为所求图象 C3:y=|lg(x- 1)|.如图 1 所示(实线部分). (2)y=2x 1-1 的图象可由 y=2x 的图象向左平移 1 个单位,


得 y=2x+1 的图象,再向下平移一个单位得到,如图 2 所示.

2 ? x -x-2(x≥0), ? 2 (3)y=x -|x|-2=? 2 其图象 ? ?x +x-2(x<0),

如图所 3 所示.

规律方法 画函数图象的一般方法:

(1)直接法,当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本
函数或解析几何中熟悉的曲线时,可根据这些函数或曲线 的特征直接作出. (2) 图象变换法,若函数图象可由某个基本函数的图象经过 平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意

变换顺序,对不能直接找到熟悉函数的要先变形,并应注
意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. (3)描点法,当上面两种方法都失效时,则可采用描点法 .为 了通过描少量点,就能得到比较准确的图象,常常需要结 合函数的单调性、奇偶性等性质讨论.

【训练 1】 分别画出下列函数的图象: 2x+1 (1)y=|x -4x+3|;(2)y= ;(3)y=10|lg x|. x +1
2



(1)先画函数y=x2-4x+3的图象,再将其x轴下方

的图象翻折到x轴上方,如图1.

2x+1 2(x+1)-1 1 (2)y= = =2- . x+1 x+1 x+1 1 可由函数 y=-x 向左平移 1 个单位, 再向上平 移 2 个单位得到,如图 2. x,x≥1, ? ? (3)y=10|lg x|=?1 如图 3. ,0<x<1, ? ?x

考点二 函数图象的辨识 【例 2】 (1)(2015· 浙江卷)函数 且 x≠0)的图象可能为(
? 1? f(x)=?x-x ?cos ? ?

x(-π≤x≤π

)

(2) 小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留
了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶,与以上事件吻 合得最好的图象是( )

解析

(1)因为

? ? 1? 1? f(-x)=?-x+ x ?cos(-x)=-?x-x ?cos ? ? ? ?

x=

-f(x),-π≤x≤π 且 x≠0,所以函数 f(x)为奇函数,排除 A,B.当 x=π
? 1? 时,f(x)=?π-π?cos ? ?

π<0,排除 C,故选 D.

(2)小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越 来越近,排除 A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距 离不变,排除 D.后来为了赶时间加快速度行驶,排除 B. 故选 C.

答案 (1)D (2)C

规律方法

辨识函数图象常用方法:(1)定性分析法,

通过对问题进行定性分析,结合函数的单调性、对称
性等解决问题;(2)定量计算法,通过定量(如特殊点、 特殊值)的计算,来分析解决问题;(3)函数模型法,由 所提供的图象特征,结合实际问题的含义以及相关函 数模型分析解决问题.

【训练2】 (1)函数f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]的图象大

致为(

)

(2)(2016· 杭州模拟)已知函数 f(x)的图象如 图所示,则 f(x)的解析式可能是( A.f(x)=x2-2ln |x| C.f(x)=|x|-2ln |x| B.f(x)=x2-ln |x| D.f(x)=|x|-ln |x| )

解析

(1)因为 f(-x)=[1-cos(-x)]sin(-x)=-(1-

cos x)· sin x=-f(x),且-π≤x≤π,所以函数 f(x)为奇 函数,图象关于原点对称,排除 B;当 x∈(0,π)时, 1-cos x>0,sin x>0,所以 f(x)>0,排除 A;又函 数 f(x)的导函数 f′(x)=sin2x-cos2x+cos x,所以 f′(0) =0,排除 D,故选 C.

(2)由函数图象可得, 函数 f(x)为偶函数, 且 x>0 时, 函数 f(x)的单调性为先减后增,最小值为正,极小值 点小于 1,分别对选项中各个函数求导,并求其导函 2 数等于 0 的正根,可分别得 1, 2 ,2,1,由此可得 仅函数 f(x)=x2-ln |x|符合条件.

答案 (1)C (2)B

考点三 函数图象的应用 [微题型1] 求解不可解方程根的个数问题 【例 3 - 1 】 已知函数 y = f(x) 的周期为 2 ,当 x∈

[ - 1 , 1] 时, f(x) = x2 ,那么函数 y =f(x) 的图象与
函数y=|lg x|的图象的交点共有( A.10个 B.9个 C.8个 ) D.7个

解析

根据 f(x) 的性质及 f(x) 在 [ - 1 , 1] 上的

解析式可作图如下:可验证当x=10时,y=
|lg 10|=1;当x>10时,|lg x|>1. 因此结合图象及数据特点知y=f(x)与y=|lg x| 的图象交点共有10个.

答案 A

规律方法

当某些方程求解很复杂时,

可以考虑利用函数的图象判断解的个数,
即将方程解的个数问题转化为两个函数 图象的交点问题,对应图象有几个交点, 则方程有几个解.

[微题型 2]

求解参数的取值范围问题

【例 3-2】 已知 a>0,且 a≠1,f(x)=x2-ax,当 x∈(-1, 1 1)时,均有 f(x)<2,则实数 a 的取值范围是________. 解析 由题知,当 x∈(-1,1) 时,f(x)=x2-ax 1 1 2 < ,即 x - <ax.在同一坐标系中分别作出二次 2 2 1 2 函数 y=x -2,指数函数 y=ax 的图象,如图, 当 x∈(-1,1)时,要使指数函数的图象均在二次 1 函数图象的上方,需 ≤a≤2 且 a≠1.故实数 a 的 2 ?1 ? 取值范围是?2,1?∪(1,2]. ? ? ?1 ? 答案 ?2,1?∪(1,2] ? ?

规律方法

对于含有参数的函数求参数

范围时,一般是将含参数部分分离出来,

转化为一个已知函数和一个含有参数的
函数的问题,再借助图象处理.

[微题型3] 求不等式的解集 【例3-3】 已知函数y=f(x)的图象是圆x2+ y2 = 2 上的两段弧,如图所示,则不等式 f(x) >f(-x)-2x的解集是________.
解析 由图象可知,函数 f(x)为奇函数,故原

不等式可等价转化为 f(x)>-x,在同一直角坐 标系中分别画出 y=f(x)与 y=-x 的图象, 由图 象可知不等式的解集为(-1,0)∪(1, 2].

答案 (-1,0)∪(1, 2]

规律方法

对于形如 f(x) > g(x) 或可化为 f(x)

>g(x)的不等式,可以分别作出函数f(x),g(x)
的图象,找到f(x)的图象位于g(x)的图象上方 部分所对应的x 的取值范围,即为不等式 f(x) >g(x)的解集.

【训练 3】 (1)函数 f(x)=2ln x 的图象与函数 g(x)=x2 -4x+5 的图象的交点个数为( A.3 B.2 C.1 D.0 )

|x2-1| (2)已知函数 y= 的图象与函数 y=kx-2 的图 x-1 象恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是________.

解析

(1)在同一直角坐标系下画出函数 f(x)=

2ln x 与函数 g(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1 的图 象,如图所示.∵f(2)=2ln 2>g(2)=1, ∴f(x)与 g(x)的图象的交点个数为 2,故选 B.
(2)根据绝对值的意义, (x>1或x<-1), ?x+1 |x2-1| ? y= =? x-1 ? ?-x-1 (-1≤x<1). 在直角坐标系中作出该函数的图象,如图中实 线所示.根据图象可知,当 0<k<1 或 1<k<4 时有两个交点.

答案 (1)B (2)(0,1)∪(1,4)

[思想方法] 1.识图

对于给定函数的图象,要从图象的左右、上下分布范围、变
化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、 奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数的关系. 2.用图 要用函数的思想指导解题,即方程的问题函数解(方程的根即 相应函数图象与 x 轴交点的横坐标,或是方程变形后,等式 两端相对应的两函数图象交点的横坐标 ) ,不等式的问题函 数解 ( 不等式的解集即一个函数图象在另一个函数图象的上

方或下方时的相应x的范围).

[易错防范] 1.函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言, 如从 f(-2x) 1 的图象到 f(-2x+1)的图象是向右平移2个单位, 其中是 1 把 x 变成 x- . 2 2.当图形不能准确地说明问题时,可借助“数”的精确, 注重数形结合思想的运用. 3. 要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图 象对称的区别.



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