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【解析】山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学文(A)



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试卷类型:A

高三数学(文科)
2013.01 本试卷共 4 页,分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。

第 I 卷(选择题 共 60 分)
注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写

在答题卡上。 2.每题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再改 涂其它答案标号。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1)全集 U=R,集合 A ? x | x ? 2 x ? 0 ,则[UA=
2

?

?

(A) ?? 2,0? (C) ?? ?,?2? ? ?0,?? ? 【答案】B

(B) ?? 2,0 ? (D) ?0,2?

【解析】 A ? x | x 2 ? 2 x ? 0 ? {x x ? 0或x ? ?2} ,所以 ? A ? {x ?2 ? x ? 0} ,选 B. U (2)已知 ? ? ? ? , ? ?, cos ? ? ?

?

?

? ?

3 ? 2 ?

? 4 , 则 tan( ? ? ) 等于 4 5
(C) ?

(A)7 【答案】B

(B)

1 7 3 2

1 7

(D) ? 7

【 解 析 】 因 为 ? ? (? , ? ), cos ? ? ?

4 3 3 , 所 以 sin ? ? 0 , 即 sin ? ? ? , ? ? . 所 以 tan 5 5 4

3 1? 1 ? tan ? 4 ? 1 ,选 B. tan( ? ? ) ? ? 4 1 ? tan ? 1+ 3 7 4

?

(3)如果等差数列 ?an ?中, a5 ? a6 ? a7 ? 15 ,那么 a3 ? a4 ? ... ? a9 等于 (A)21 【答案】C 【 解 析 】 在 等 差 数 列 中 , 由 a5 ? a6 ? a7 ? 15 得 3a6 ? 15,a6 ? 5 。 所 以 (B)30 (C)35 (D)40

a3 ? a4 ? ... ? a9 =7a6 ? 7 ? 5 ? 35 ,选 C.
(4)要得到函数 y ? sin(3 x ? 2) 的图象,只要将函数 y ? sin 3 x 的图象 (A)向左平移 2 个单位 (B)向右平移 2 个单位
1

(C)向左平移 【答案】D

2 个单位 3

(D)向右平移

2 个单位 3 2 个单位, 3

【解析】因为 y ? sin(3 x ? 2) ? sin 3( x ? ) ,所以只需将函数 y ? sin 3 x 的图象向右平移 即可得到 y ? sin(3 x ? 2) 的图象,选 D. (5) m ? ?1 ”是“直线 mx ? (2m ? 1) y ? 2 ? 0 与直线 3 x ? my ? 3 ? 0 垂直”的 “ (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 【答案】A (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

2 3

【解析】若两直线垂直,则当 m ? 0 时,两直线为 y ? 2 与 x ? ?1 ,此时两直线垂直。当 2m ? 1 ? 0 ,

1 1 1 时,两直线为 x ? ?4 与 3 x ? y ? 3 ? 0 ,此时两直线相交不垂直。当 m ? 0 且 m ? 时,两直 2 2 2 ?m 2 3 3 ?m 3 线的斜截式方程为 y ? 与 y ? ? x ? 。两直线的斜率为 与 ? ,所以由 x? 2m ? 1 2m ? 1 m m 2m ? 1 m ?m 3 ? (? ) ? ?1 得 m ? ?1 ,所以 m ? ?1 是两直线垂直的充分不必要条件,选 A. 2m ? 1 m
即m ? (6)下列有关命题的说法正确的是 (A)命题“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ” (B)命题“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”
2 2

(C)命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为假命题 (D)若“p 或 q”为真命题,则 p,q 至少有一个为真命题 【答案】D 【解析】 x 2 ? 1 , x ? 1 ” “若 则 的否命题为 “若 x 2 ? 1 , x ? 1 ” 所以 A 错误。 ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ” 则 , “
2

的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”所以 B 错误。若 x ? y ,则 sin x ? sin y ,原命题正确,所以若 x ? y ,
2

则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题,所以 C 错误。D 正确,选 D. (7)设 m,n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是 (A) m // ? , n // ? 且 ? // ? , 则 m // n (B) m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n (C) m ? ? , n ? ? , m ? n, 则 ? ? ? (D) m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? , 则 ? // ? 【答案】B 【解析】A 中直线 m, n 也有可能异面,所以不正确。B 正确。C 中 ? , ? 不一定垂直,错误。D 当 m, n
2

相交时,结论成立,当 m, n 不相交时,结论错误。所以选 B. (8)函数 y ? x sin x 在 ?? ? , ? ? 上的图象是

【答案】A 【解析】函数 y ? x sin x 为偶函数,所以图象关于 y 对称,所以排除 D.当 x ? B.当 x ?

?
2

时, y ?

?
2

? 0 ,排除

? 3? 2 ? ? 2 ? 3? 时, y ? sin ? ? ? ? ? ,排除 C,选 A. 4 4 2 4 2 4 2 4
x2 y2 且右焦点与抛物线 y 2 ? 4 3 x ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线的斜率为 2 , 2 a b

(9) 已知双曲线

的焦点重合,则该双曲线的离心率等于 (A) 2 【答案】B 【解析】 抛物线的焦点为 ( 3, 0) , c ? 即 (B) 3 (C)2 (D)2 3

3。 双曲线的渐近线方程为 y ?

b b 由 ? 2 , b ? 2a , 即 x, a a

所以 b 2 ? 2a 2 ? c 2 ? a 2 ,所以 c 2 ? 3a 2 ,即 e 2 ? 3, e ? 3 ,即离心率为 3 ,选 B. (10) 一个几何体的三视图如图所示, 其中主视图和左视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形,

若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是 (A) 12? (B) 24? (C) 32? (D) 48? 【答案】D 【解析】该几何体的直观图如图 1 所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,高为 CC1=4,该几何体的所有顶点在同一球面上,则球的直径为

AC1 ? 4 3 ? 2 R ,所以球的半

径为 R ? 2 3 ,,所以球的表面积是 4? R ? 4? ? (2 3) ? 48? ,选 D.
2 2

(11)已知集合 A ? x | 2 x 2 ? x ? 3 ? 0 , B ? ? x | y ? 1g
3

?

?

? ?

1? x ? ? ,在区间 ?? 3,3? 上任取一实数 x ,则 x ? 3?

“ x ? A ? B ”的概率为 (A)

1 4

(B)

1 8

(C)

1 3

(D)

1 12

【答案】C 【解析】 A ? x | 2 x 2 ? x ? 3 ? 0 ? {x ?1 ? x ? } ,

?

?

3 2

1? x ? 1? x ? B ? ? x | y ? 1g ? 0} ? {x (1 ? x)( x ? 3) ? 0} ? {x ?3 ? x ? 1} ? ? {x x ? 3? x?3 ?







A ? B ? {x ?1 ? x ? 1} , 因 为 x ? A ? B , 所 以 ?1 ? x ? 1 。 根 据 几 何 概 型 可 知 x ? A ? B 的 概 率 为
1 ? (?1) 2 1 ? ? ,选 C. 3 ? (?3) 6 3
(12)已知函数 f ( x) ? ? (A)1 【答案】D 【解析】 y ? f ? x ? ? 1 ? 0 , f ( x) ? 1 。 x ? 0 , f ( x) ? ln x ? 1 , 由 得 若 则 所以 ln x ? 1 或 ln x ? ?1 , 解得 x ? e 或 x ? (B)2

?kx ? 2, x ? 0 ,若 k ? 0 ,则函数 y ?| f ( x) | ?1 的零点个数是 ?1nx, x ? 0
(C)3 (D)4

1 1 。若 x ? 0 ,则 f ( x) ? kx ? 2 ? 1 ,所以 kx ? 2 ? 1 或 kx ? 2 ? ?1 ,解得 x ? ? ? 0 或 e k

x??

3 ? 0 成立,所以函数 y ?| f ( x) | ?1 的零点个数是 4 个,选 D. k

第 II 卷(非选择题

共 90 分)

注意事项: 1.将第 II 卷答案用 0.5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 (13)已知向量 a ? (1,1), b ? (2,0) ,则向量 a, b 的夹角为 【答案】 。

?
4

? ? ? ? ? ? a? b 2 2 【解析】因为 a ? (1,1), b ? (2,0) ,所以 a ? 2, b ? 2 ,所以 cos ? a, b ?? ? ? ? ,所以 ? 2 a b 2 2
? ? ? ? a, b ?? 。 4
(14)已知三角形的一边长为 4,所对角为 60°,则另两边长之积的最大值等于 【答案】16 。

4

【解析】设另两边为 a, b ,则由余弦定理可知 42 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos 60? ,即 16 ? a 2 ? b 2 ? ab ,又

16 ? a 2 ? b 2 ? ab ? 2ab ? ab ? ab ,所以 ab ? 16 ,当且仅当 a ? b ? 4 时取等号,所以最大值为 16。
?x ? y ? 1 ? 0 (15)已知 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 2 x ? y 的最大值为 ? ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?



【答案】2

【解析】设 z ? 2 x ? y ,则 y ? 2 x ? z 。作出可行域如图

作直线

y ? 2 x ,平移直线 y ? 2 x ? z ,由图象可知当直线 y ? 2 x ? z 经过点 D 时,直线 y ? 2 x ? z 的截距最下,
此时 z 最大,把 D (1, 0) 代入直线 z ? 2 x ? y 得 z ? 2 ,所以 2 x ? y 的最大值为 2. (16)若函数 f (x) 满足 ?m ? R, m ? 0 ,对定义域内的任意 x, f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 恒成立,则称

f (x) 为 m 函数,现给出下列函数:

1 ; ② y ? 2x ; x 其中为 m 函数的序号是
①y? 【答案】②③ 【解析】 ①若 y ?

③ y ? sin x ;

④ y ? 1nx

。 (把你认为所有正确的序号都填上)

1 1 m 1 1 1 1 1 , 则由 f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 得 即 ? ? ? , ? ? , x x?m x m x ? m x x ( x ? m) m
2

所 以 m ? x( x ? m) ? x ? mx , 显 然 不 恒 成 立 。 ② 若 y ? 2 x , 由 f ( x ? m) ? f ( x) ? f ( m) 得 由
2

2( x ? m) ? 2 x ? 2m 恒 成 立 , 所 以 ② 为 m 函 数 。 ③ 若 y ? sin x , 由 f ( x ? m) ? f ( x) ? f ( m) 得
sin( x ? m) ? sin x ? sin m ,当 m ? 2? 时,有 sin( x ? 2? ) ? sin x , sin m ? sin 2? ? 0 ,此时成立,所以
③ 为 m 函 数 。 ④ 若 y ? 1nx , 由 f ( x ? m) ? f ( x) ? f ( m) 得 由 ln( x ? m) ? ln x ? ln m ? ln mx , 即

x ? m ? mx ,即 (1 ? m) x ? m ? 0 ,要使 (1 ? m) x ? m ? 0 恒成立,则有 1 ? m ? 0 ,即 m ? 1 。但此时
5

(1 ? m) x ? m ? 0 ? 1 ? 1 ? 0 ,所以不存在 m ,所以④不是 m 函数。所以为 m 函数的序号为②③。
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos(?x ?

?

) ? cos(?x ? ) ? sin ?x(? ? 0, x ? R) 的最小正周期为 2? 。 6 6

?

(I)求函数 f (x) 的对称轴方程; (II)若 f (? ) ?

6 ? ,求 cos( ? 2? ) 的值。 3 3

18.(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ?为等差数列,且 a3 ? 5, a5 ? 9 ;数列 ?bn ?的前 n 项和为 S n ,且 S n ? bn ? 2 。 (I)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式; (II) cn ? 若

an 求 ?n ? N ? ? ,Tn 为数列 ?cn ?的前 n 项和, Tn 。 bn
DA=1 , AE、BD、

19.(本小题满分 12 分) 如图,五面体中,四边形 ABCD 是矩形,DA ? 面 ABEF,且

1 AB//EF, AB ? EF ? 2 2 , AF ? BE ? 2 ,P、Q、M 分别为 2

EF 的中点。 (I)求证:PQ//平面 BCE; (II)求证:AM ? 平面 ADF; 20.(本小题满分 12 分) M 公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了 14 名男生和 6 名女生,这 20 名毕业生的测试成 绩如茎叶图所示(单位:分) ,公司规定:成绩在 180 分以上者到“甲部门”工作;180 分以下者到“乙部 门”工作。 (I)求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值; (II)如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少?

21.(本小题满分 12 分)

x2 y2 2 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0 ? 的左焦点 F 为圆 x ? y ? 2 x ? 0 的圆心,且椭圆上的点到点 F 的 a b
距离最小值为 2 ? 1 。 (I)求椭圆方程;
6

(II)已知经过点 F 的动直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B,点 M( ?

5 ,证明: MA? MB 为定值。 ,0 ) 4

22.(本小题满分 14 分) 函数 f ( x) ? x1nx ? ax 2 ? x?a ? R ? 。 (I)若函数 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (II)若函数 f (x) 的图象在直线 y ? ? x 图象的下方,求 a 的取值范围; (III)求证: 1n(2 ? 3 ? ... ? 2013)
1 1007

? 2013 。

7

8

9

10

11



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