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# Gauss全主元消去法

Gaussian elimination with complete pivoting
To keep the Gaussian elimination method smooth operation,We must ensure that the pivot element a
( k ?1) kk

?0

and a

( k ?1) kk

can not too small in each

operation.So the selection of appropriate pivot elements in every step of elimination.,the maximum absolute value or the major elements as the pivot element， this improved Gaussian elimination method named Gauss pivot element elimination. There have 3 methods to select pivot element,Gaussian elimination with partial pivoting 、 scaled partial pivoting、complete pivoting.Through access to some data,I the Gaussian elimination with complete pivoting briefly. Complete entries a
( k ?1) ij

introduce

pivoting
(i ? k , j ? k )

at

the

k

th

step

searches

all

the

,to find the entry to the largest magnitude.Both row

and column interchanges are performed to bring this entry to the pivot position. The specific steps：
? (0) ? (0) ? ? ? ( 0) ? ( 0) , a1n xn a1,n?1 ?a11 x1 a12 x2 (0) (0) ( 0) ( 0) ? ?a21 x1 ? a22 x2 ? ? ? a2 n xn ? a2,n ?1 , ? ?? ? (0) (0) ( 0) ( 0) ? ?an1 x1 ? an 2 x2 ? ? ? ann xn ? an ,n ?1

The

k th

elimination,find all a
( k ?1)

( k ?1) ij

（i=k， k+1,,n; j=k,k+1 ? n),the

a ??

( k ?1)

is

the pivot element. a??

? maxaij

( k ?1)

Both row and column interchanges are performed to bring this entry to the pivot position.Move

a ??

( k ?1)

to

(k,k).Until

the

n-1 step, the

original equation into the same equations on triangular solution:
? ( 0) ? (0) ? ( 0) ? ? ? (0) ? ( 0) , a1n xn a1,n?1 ?a11 x1 a12 x2 a13 x3 ( 1 ) ( 1 ) (1) (1) ? ? a23 x3 ? ? ? a2 n xn ? a2,n ?1 , a x 22 2 ? ( 2) ( 2) ( 2) ? ? a33 x3 ? ? ? a3n xn ? a3,n?1 , ? ? ? ( n ?1) ( n ?1) ? ? an ,n ?1 , a x nn n ? ?

Backward substitution： Backward substitution is the solution of triangular systems .If a then
1 ( n ?1) ? ? xn ? ( n ?1) a n ,n ?1 , an,n ? ? n ? ( i ?1) ? ? 1 ? (i ?1) ? , i ? n ? i, n ? 2,? ,1. ? ? x a a x ( i ? 1 ) i , n ?1 ij j? ? i j ? i ? 1 ? aii ? ?
( n ?1) nn

?0

Algorithm：
function x=Gauss(A,b) B=[A,b]; n=length(A); x=zeros(n,2); for i=1:n x(i,1)=i; %x 第一列数字 i 代表 x（i） end for i=1:n-1 [m,p]=max(abs(B(i:n,i:n)));%求绝对值最大系数所在行号和列号 [l,q]=max(m); if m==0; disp('A 奇异') return

end if p(q)+i-1>i %行变换 pm=p(q)+i-1; C(i:n+1)=B(i,i:n+1); B(i,i:n+1)=B(pm,i:n+1); B(pm,i:n+1)=C(i:n+1); end if q+i-1>i %列变换 q=q+i-1; D(1:n)=B(1:n,q); B(1:n,q)=B(1:n,i); B(1:n,i)=D(1:n); E(1:2)=x(q,:);%调换解的顺序 x(q,:)=x(i,:); x(i,:)=E(1:2); end for k=i+1:n %消元 am=B(k,i)/B(i,i); B(k,i:n+1)=B(k,i:n+1)-am*B(i,i:n+1); end end x(n,2)=B(n,n+1)/B(n,n); for i=n-1:-1:1 %回代 xx(i+1:n)=x(i+1:n,2); x(i,2)=(B(i,n+1)-B(i,i+1:n)*xx(i+1:n)')/B(i,i); end for i=1:n-1 % 调换解的顺序 [u,r]=min(x(i:n,1)); if r+i-1>i r=r+i-1; xf(1:2)=x(i,1:2); x(i,1:2)=x(r,1:2); x(r,1:2)=xf(1:2); end end end For example P89，Exercises2

>> A=[1.19 2.11 -100 1;14.2 -0.122 12.2 -1;0 100 -99.9 1;15.3 0.110 -13.1 -1];b=[1.12;3.44;2.15;4.16]; x=Gauss(A,b)

x= 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 0.1768 0.0127 -0.0207 -1.1826

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