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构造数列常见类型



常见构造数列类型
一、形如 a1 ? A, an ? 数列来求解。 例:已知数列 {an } 中, a1 ? 2, an ?1 ?

an ?1 ( p为常数且p ? 0) 的数列,通过取倒数的方法转化为等差 1 ? pan ?1

an (k ? 0) ,求 an 1 ? kan

解:∵ an ?1 ?

r />
an 1 ? kan



1 1 ? ?k an ?1 an

∴{

1 1 1 } 为公差为 k 的等差数列, ? ? (n ? 1)k an an a1

∴ an ?

1 1 ? (n ? 1)k 2

二、形如 a1 ? A, an>0 ,满足 an ?1 ? an m 的数列,可以通过取对数转化为等比数列来求解 例:已知数列 {an } , an>0,a1 ? a, an ?1 ? an ,求 an
2

解:∵ an>0,a1 ? a, an ?1 ? an ∴ lg an ?1 ? 2 lg an

2

等式两边取常用对数

∴数列 {lg an } 是以 lg a 为首项,2 为公比的等比数列, lg an ? 2 ∴ an ? a
2 n?1

n ?1

lg a

三、形如(1) a1 ? A, an ?1 ? qan ? r (q、r为常数,q ? 0或1,r ? 0) 的数列 (2) a1 ? A, an ?1 ? Ban ? Cn ? D (n ? N ) 的数列 (3) a1 ? A, an ?1 ? Ban ? CD ? E (n ? N ) 的数列
n ? ?

(4) a1 ? A, an ?1 ? Ban ? Cn ? DE ? F (n ? N ) 的数列
n

?

(5) a1 ? A, a2 ? B, an ? 2 ? Can ?1 ? Dan (n ? N ) 的数列 都可以通过待定系数法,转化为等比数列的形式来求解 例 1:已知数列 {an } 中,满足 a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 1 ,求通项公式 an 解:∵ an ?1 ? 2an ? 1 ,令 an ?1 ? x ? 2(an ? x)

?

∴an?1?2,与原式比较可得 x ? 1 ?x ∴数列 {an ? 1} 是 2 为首项,2 为公比的等比数列, an ? 1 ? (a1 ? 1)q ∴ an ? 2 ? 1
n n ?1

? 2n

例 2:已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? 3an ? n (n ? N ) ,求 an
2

?

解:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3a1 ? 1 ,得 a1 ? ?
2

1 2
2

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 3an ? n ? 3an ?1 ? (n ? 1) ? 3an ? 3an ?1 ? 2n ? 1

3 1 an ?1 ? n ? 2 2 3 令 an ? xn ? y ? [an ?1 ? x(n ? 1) ? y ] 2 3 1 3 1 ∴ an ? an ?1 ? xn ? x ? y 2 2 2 2
∴ an ?

?1 ? x ? ?1 ?2 ∴? ?? 3 x ? 1 y ? 1 ? 2 2 2 ?
∴数列 ?an ? 2n ? 5? 是以 ?

∴?

? x ? ?2 ? y ? ?5

15 3 为首项, 为公比的等比数列 2 2

15 3 n ?1 ?( ) 2 2 3 n ∴ an ? 2n ? 5 ? 5 ? ( ) 2 an ? 2n ? 5 ? ?
例 3:已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ,满足 S n ? 2an ? 3 (n ? N ) ,求 an
n ?

解:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 3 ,得 a1 ? ?3 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 2an ? 3 ? 2an ?1 ? 3
n n ?1

∴ an ? 2an ?1 ? 2 ? 3
n

n ?1

令 an ? x ? 3 ? y ? 2[an ?1 ? x ? 3 ∴ an ? 2an ?1 ? x ? 3 ∴ x ? 2, y ? 0
n ?1

n ?1

? y]

?y

∴数列 {an ? 2 ? 3 } 是以 3 为首项,2 为公比的等比数列
n

an ? 2 ? 3n ? (a1 ? 2 ? 3) ? 2 n ?1 ? 3 ? 2 n ?1
∴ an ? 3 ? 2
n ?1

? 2 ? 3n

例 4:已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 Sn ? 2an ? n2 ? 3n?1 (n ? N ? ) ,求 an 解:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 1 ? 3 ,得 a1 ? ?2
2 0

当 an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? n2 ? 3n?1 ? 2an?1 ? (n ?1)2 ? 3n?2 ∴ an ? 2an?1 ? 2n ? 2 ? 3n?2 ? 1 令 an ? xn ? y ? 3n ? z ? 2[an?1 ? x(n ?1) ? y ? 3n?1 ? z] ∴ an ? 2an?1 ? xn ? y ? 3n?1 ? z ? 2x

2 , z ? ?3 3 2 n ∴数列 {an ? 2n ? ? 3 ? 3} 是以-9 为首项,2 为公比的等比数列 3


x ? ?2, y ?

an ? 2n ? 2 ? 3n?1 ? 3 ? ?9 ? 2n?1
∴ an ? 2n ? 2 ? 3n?1 ? 9 ? 2n?1 ? 3 例 5:已知数列 {xn } 满足 x2 ?

x1 1 , xn ? ( xn ?1 ? xn ? 2 ), n ? 3,4,? ,若 lim xn ? 2 ,求 x1 2 2 n??

解:令 xn?2 ? ?xn?1 ? ?(xn?1 ? ?xn) ? 1,2,? , ? , ? 为待定常数 ,n ∴ xn?2 ? (? ? ? ) xn?1 ? ??xn ∵ xn ? 2 ?

1 1 xn ?1 ? xn 2 2

1 ? ?? ? ? ? 2 ? ∴? ??? ? 1 ? 2 ?

1 ?? ? ?1 ? ? ?? ? ∴? 2 1 或 ? ?? ? ? 2 ?? ? 1 ? ?

∴数列 {xn?1 ? ?xn } 是公比为 ? 的等比数列 ∴ xn ?1 ? xn ? ( x2 ? x1 )( ? ) ∵ x2 ?

1 2

n ?1

∴ xn ?1 ?

1 1 xn ? x2 ? x1 2 2

x1 2

∴ xn ? ∴

2 1 [1 ? (? ) n ]x1 3 2

lim
n ??

xn ?

2 x1 ? 2 3

∴ x1 ? 3 四、形如 a1 ? A, an?1 ? pan ? q n ( p, q为常数,且 ? 0) 的数列, 除了可以用上面提到的待 q 定系数法外,还可以转化为

an ?1 p an 1 ? ? ? 的形式,再构造等比数列来求解 q n ?1 q q n q

例:数列 {an } 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3n (n ? N ? ) ,求数列 {a n } 的通项公式 解:设 3 ?

an ?1 an an ? 2( n ? 1) ,令 bn ? n ? 1 n ?1 3 3 3 1 2 ∴ b1 ? ? 1 ? ? ,3bn ?1 ? 2bn 3 3 2 2 2 n ∴数列 {bn } 是以 ? 为首项, 为公比的等比数列, bn ? ?( ) 3 3 3
∴ an ? 3n ? 2n



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