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8.2


第2节
三点剖析:

椭圆的简单几何性质
撰写:刘一博 审核:冬焱



参 数 方 程

? x = a cos θ ? y = b sin θ ? (参数θ为离心角)
─a≤x≤a,─b≤y≤b 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)

? x = a cos θ ? y = b sin θ ? (参数θ为离心角)
─a≤x≤a,─b≤y≤b 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) X 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b F1(c,0), F2(─c,0)

范围 中心 顶点
新疆 王新敞
奎屯

一、教学大纲及考试大纲要求: 熟练掌握椭圆的范围,对称性,顶点等简单几何性质

对称轴
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2.掌握标准方程中 a, b, c 的几何意义,以及 a, b, c, e 的相互关系

X 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b F1(c,0), F2(─c,0) 2c (其中 c= a ? b )
2 2

焦点 3.理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法 2.理解椭圆第二定义与第一定义的等价性;
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焦距 离心率 准线

2c (其中 c= a ? b )
2 2

能推导,掌握椭圆的焦半径公式,并能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题; 2.能利用椭圆的有关知识解决实际问题,及综合问题 二、重点与难点 教学重点: 教学重点:椭圆的几何性质,椭圆的第二定义、椭圆的准线方程
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e=

c (0 < e < 1) a a2 c

e=

c (0 < e < 1) a a2 c

x= ± 焦半径 通径

x= ±

教学难点: 教学难点:如何贯彻数形结合思想,运用曲线方程研究几何性质 三、本节知识理解 1.学法点拨 椭圆 定义 图形
N1 K1 P

r = a ± ex

r = a ± ex

2b 2 a

2b 2 a

精题精讲
例 1 求椭圆 16 x + 25 y = 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出
2 2

1 到两定点 F1,F2 的距离之和为定值 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 2.与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.(0<e<1)
y

y
B2
K2
N2 F2

N2 P

A2
F2

它的图形. 解:把已知方程化成标准方程

A1

F1

O

A2

K2

x

B1

O

B2
N1

x

x2 y2 + =1 52 42
所以, a = 5, b = 4, c =

B1

A1
K1

F1

52 ? 42 = 3 , c 3 = ,两个焦点 a 5
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标 准 方 程

因此,椭圆的长轴的长和短轴的长分别为 2a = 10,2b = 8 ,离心率 e =

x2 y2 + =1 a2 b2
( a > b >0)

x2 y2 + =1 a2 b2
( a > b >0)

分别为 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,椭圆的四个顶点是 A ( ?5,0), A2 (5,0) , B (0,?4), B2 (0,4)

第 1 页 共 9 页

将已知方程变形为 y = ± 几个点的坐标 ( x, y ) :

4 4 25 ? x 2 ,根据 y = 25 ? x 2 ,在 0 ≤ x ≤ 5 的范围内算出 5 5

(1) x + 4 y = 4 例 4 写出下列椭圆的准线方程:
2 2

x2 y 2 (2) + =1 16 81

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x y
y 4

0 4

1 3.9

2 3.7

3 3.2

4 2.4

5 0

解:⑴方程 x 2 + 4 y 2 = 4 可化为

x2 + y 2 = 1 ,是焦点在 x 轴上且 a = 2, b = 1 , c = 3 的椭圆 4 4 3


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先描点画出椭圆的一部分,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆: 所以此椭圆的准线方程为 x = ±

4 3 3

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-5

O -4

5

x

x2 y 2 ⑵方程 + = 1 是焦点在 y 轴上且 a = 9, b = 4 , c = 65 的椭圆 16 81
所以此椭圆的准线方程为 y = ±

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例 2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图,并求出顶点坐标和离心率。

81 65



81 65 65

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x2 y2 (1) + =1 25 16
答:简图如下:
y 4

x2 y2 (2) + =1 25 9

例 5. 分别求出符合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆过(3,0)点,离心率 e=

6 。 3

(2)过点(3,-2)且与椭圆 4x 2 + 9y 2 = 36 有相同焦点。 (3)长轴长与短轴长之和为 10,焦距为 4 5 。

3
-5 O -3 -4 5 x

(4)中心在原点,离心率为

例 3 分别在两个坐标系中,画出以下椭圆的简图并比较它们的离心率。

5 ,准线方程为 x = 3 。 3

x2 y2 (1) + =1 9 4
答:简图如下:
y 2
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x2 y2 (2) + =1 49 36

(5)中心在原点,对称轴在坐标轴上,x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且 此焦点与长轴上较近的端点距离是 10 ? 5 。 【解】 当椭圆的焦点在 x 轴上时,
6 y

-3

O -2

3

x

-7

O -6

7

x

c 6 = ,∴c= 6 .从而 b2=a2-c2=9-6=3, a 3 x2 y2 + =1. ∴椭圆的方程为 9 3 c 6 当椭圆的焦点在 y 轴上时,∵b=3, = , a 3
∵a=3, ∴

a2 ? b2 6 = ,∴a2=27. a 3

第 2 页 共 9 页

x2 y2 + =1. 9 27 x2 y2 x2 y2 ∴所求椭圆的方程为 + =1 或 + =1. 9 27 9 3 例 6 求满足下列条件的椭圆的离心率. (1)若椭圆两准线间的距离是该椭圆焦距的 2 倍. (2)若椭圆的一个顶点与它的两个焦点构成的三角形是等边三角形.
∴椭圆的方程为 (3)设 F1 , F2 为椭圆

x2 y2 例 10 椭圆 2 + 2 = 1 ( a > b > 0) ,其上一点 P(3, y )到两焦点的距离分别是 6.5 和 3.5,求椭 a b
圆方程 解:由椭圆的焦半径公式,得
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?a + 3e = 6.5 1 5 2 75 2 2 ,解得 a = 5, e = ,从而有 c = , b = a ? c = ? 2 2 4 ?a ? 3e = 3.5
所求椭圆方程为

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x 2 y2 + = 1(a > b > 0) 的两个焦点,以 F1 为圆心过椭圆中心的圆与椭圆有一 a 2 b2

x2 4y2 + =1 25 75

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个交点 M,若直线 F2 M 与圆 F1 相切.

例 11 已知椭圆的中心在原点,长轴在 x 轴上,离心率 e =

(4)若 F1 , F2 分别为椭圆

x 2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦点,P 是以 F1F2 为直径的圆与椭圆的一 a 2 b2

3 3 ,已知点 P( 0, ) 到这个椭圆上的点 2 2

的最远距离是 7 ,求这个椭圆方程.

个交点,且 ∠PF1F2 = 5∠PF2 F1 .

例 7 已知椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 与 x 轴的正半轴交于 A,O 是原点,若椭圆上存在一点 M,使 MA a 2 b2
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x 2 y2 + = 1 的两个焦点,点 P 是椭圆上一点. 例 12 已知 F1 , F2 是椭圆 100 64
(1) 若 ∠F1PF2 =

π ,求 PF1F2 的面积; 3

⊥MO,求椭圆离心率的取值范围
2 2

(2) 若 ∠F1PF2 为钝角,求点 P 横坐标的取值范围.
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例 8 椭圆

x y + = 1 上有一点 P,它到椭圆的左准线距离为 10,求点 P 到椭圆的右焦点的距离 100 36 x2 y2 4 + = 1 的离心率为 e = ,根据椭圆的第二定义 100 36 5
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例 13 已知椭圆

解:椭圆

y
N1 K1 10 P

x 2 y2 + = 1 内一点 P(1,-1) 是椭圆的右焦点,点 M 在椭圆上, ,F (1)求点 M 坐 4 3

B2
O F2

标,使 PM + 2 MF 最小; (2)求点 M 坐标,使 PM + MF 最大. 解:A( a ,0),设 M 点的坐标为 (a cos ? , b sin ? ) ( 0 < ? <

得,点 P 到椭圆的左焦点距离为 10e = 8 20-8=12

π
2

再根据椭圆的第一定义得,点 P 到椭圆的右焦点的距离为
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A1

F1

A2

x

) ,由 MA⊥MO 得

B1

b sin ? b sin ? ? = ?1 a cos ? ? a a cos ?
化简得

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x 2 y2 例 9 设 F ( ?c, 0 ) , F2 ( c, 0 ) 分别为椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的左、右焦点, P ( x 0 , y 0 ) 是椭圆上 1 a b
一点,求证: PF = a + ex 0 , PF2 = a ? ex 0 1
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b 2 cos ? (1 ? cos ? ) cos ? 1 ? 1? = = = 1? ∈ ? 0, ? 2 2 1 + cos ? 1 + cos ? ? 2 ? a sin ?

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所以

e = 1?

b2 ? 2 ? ∈? ,1? a2 ? 2 ? ? ?

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例 14 把下列参数方程化为普通方程,普通方程化为参数方程
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(1) ?

? x = 3 cos ? (?为参数) ? y = 4 sin ?

(2)

x2 + y2 = 1. 8

【答案】 D 2.已知点(m,n)在椭圆 8x2+3y2=24 上,则 2m+4 的取值范围是( ) A.[4-2 3 ,4+2 3 ] C.[4-2 2 ,4+2 2 ] 【解析】由 8x2+3y2=24 得 B.[4- 3 ,4+ 3 ] D.[4- 2 ,4+ 2 ]

? x = 3 cos ? x2 y2 (?为参数) ? 2 + 2 = 1 解:(1) ? 3 4 ? y = 4 sin ?
? x = 2 2 cos ? x2 (2) + y2 = 1 ? ? (?为参数) 8 ? y = sin ?
例 15 已知椭圆 ? 解: x +

x2 y2 + =1.∴- 3 ≤m≤ 3 ,4-2 3 ≤2m+4≤4+2 3 . 3 8

? x = cos ? 1 (a > 0, b > 0, ?为参数) 上的点 P( x, y ),求 x + y 的取值范围. 2 ? y = 2 sin ?

1 π y = cos ? + sin ? = 2 sin(? + ) ∈ ? 2 , 2 2 4

[

]

【答案】 A 3.椭圆 25x2+9y2=225 的长轴上、短轴长、离心率依次是( ) A.5,3,0.8 B.10,6,0.8 C.5,3,0.6 D.10,6,0.6 【解析】 把椭圆的方程写成标准方程:

2 2 ,求 AB 及直 例 16 已知直线 l 与椭圆 4x + 9y = 36 相交于 A、B 两点,弦 AB 中点坐标(1,1)

x2 y2 c + =1,知 a=5, b=3,c=4.∴2a=10,2b=6, =0.8. 9 25 a

线 l 的方程。 例 17 已知椭圆

【答案】B 4.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的设心率是( ) A.

x2 + y2 = 1 2

1 5

B.

3 4

C.

3 3

D.

1 2
c 1 = . a 2

(1)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程; (2)过 A(2,1) 引椭圆的割线,求截得得弦的中点轨迹方程; (3) 求过点 P ( , ) ,且被 P 平分的弦所在的直线方程. 一个焦点为 0, 50 的椭圆被直线 y = 3x ? 2 截得的弦的中点横坐标为 例 18 已知中心在原点, 求此椭圆的方程. 焦点在坐标轴上, 直线 x + y = 1 被椭圆截得的弦 AB 的长为 2 2 , 例 19 已知椭圆的中心在原点,

【解析】∵椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,∴a=2c, 【答案】D 5.已知椭圆

1 1 2 2

(

)

x2 y2 x2 y2 x2 y2 + 2 =1 与椭圆 + =1 有相同的长轴,椭圆 2 + 2 =1 的短轴长与椭圆 25 16 a2 b a b
) B.a2=9,b2=25 D.a2=25,b2=9

1 , 2

y2 x2 + =1 的短轴长相等,则( 21 9 A.a2=25,b2=16 C.a2=25,b2=9 或 a2=9,b2=25
【解析】 ∵椭圆 ∴a2=25,b2=9. 【答案】 D

2 且 AB 的中点 C 与椭圆中心的连线的斜率为 ,求这个椭圆的方程. 2 x 2 y2 + = 1 上有两个不同点关于直线 y = 4x + m 对称,求 m 的取值范围. 例 20 已知椭圆 4 3

x2 y2 y2 x2 + =1 的长轴长为 10,焦点在 x 轴上,椭圆 + =1 的短轴长为 6, 25 16 21 9

基础达标
1.椭圆 6x2+y2=6 的长轴的端点坐标是( A.(-1,0)、(1,0) C.(- 6 ,0)、( 6 ,0) ) B.(-6,0)、(6,0) D.(0,- 6 )、(0, 6 )

x2 y2 x2 y2 + 2 =1 与椭圆 + =1 有相同离心率,则椭圆 C 的方程可能是( 4 9 a2 b x2 y2 x2 y2 A. + =m2(m≠0) B. + =1 8 4 16 64 x2 y2 + =1 D.以上都不可能 C. 8 2
6.已知椭圆 C:
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【解析】 把方程

x2 y2 x2 y2 + =m2 写成 + =1,则 a2=8m2,b2=4m2, 2 2 8 4 8m 4m

∴c2=4m2,∴ 【答案】 A 7.椭圆

c2 4 1 c 2 x2 y2 2 = = ,e= = ,而椭圆 + =1 的离心率为 . 2 8 2 a 2 4 8 2 a

x2 y2 + =1(a>b>0)的准线方程是( b2 a2
a2 a2 + b2 b2 a2 ? b2



A.y=±

B.y=±

a2 a2 ? b2 a2 a2 ? b2

x2 y2 x2 y2 + =1 或 + =1 25 9 25 16 x2 y2 C. + =1 16 9 y2 x2 D. + =1 25 16 【解】 设所求椭圆的方程为 x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 y2 x2 或 2 + 2 =1(a>b>0). a b
B.

C.y=±

D.x=±

【解析】 ∵椭圆焦点在 y 轴上,且 c= a 2 ? b 2 ∴椭圆的准线方程为 y=±

a2 a2 ? b2

.

?c ? a = 0.8 ? 2 9 ?a 由题意,得 ? ?c= 4 ?c 2 2 ?a ? b = c 2 ? ?
?a = 5 ? 解这个方程组,得 ?b = 3 . ?c = 4 ?
∴所求椭圆的方程为: 【答案】 A 11.已知椭圆

【答案】 B 8.若椭圆上的点 P 到焦点的距离最小,则 P 点是( ) A.椭圆的短轴的端点 B.椭圆的长轴的一个端点 C.不是椭圆的端点 D.以上都不对 【答案】B

x2 y2 y2 x2 + =1 或 + =1. 25 9 25 9

x2 y2 16 3 3 9.已知椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的两准线间的距离为 ,离心率为 ,则椭圆方程为 3 2 a b
( A. )

x2 y2 7 3 4 3 + 2 =1(a>b>0)的左焦点到右准线的距离为 ,中心到准线的距离为 , 2 3 3 a b
) B. D.

x2 y2 x2 + =1 B. + 4 3 16 2a 2 16 3 a 【解析】 由 = , = c 3 c 【答案】 D

y2 x2 y2 =1 C. + =1 3 16 12 3 ,得 a2=16,b4=4. 2

D.

x2 y2 + =1 16 4

则椭圆的方程为( A.

10.两对称轴都与坐标轴重合,离心率 e=0.8,焦点与相应准线的距离等于 ( A. )

9 的椭圆的方程是 4

x2 y2 y2 x2 + =1 或 + =1 25 9 25 9

x2 2 x2 y2 +y =1 C. + =1 2 4 2 a2 7 3 a2 4 3 【解析】 由 -(-c)= , = 得 a2=4,b2=1. c 3 c 3 【答案】 A 3x + 4 y + 8 12.椭圆 ( x ? 2) 2 + ( y ? 2) 2 = 的离心率为( ) 25 1 1 1 B. C. A. 25 5 10 x +y2=1 4

2

x2 y2 + =1 8 4

D.无法确定

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【解析】 由

( x ? 2) 2 + ( y ? 2) 2 3x + 4 y + 8 5

=

1 1 知 e= . 5 5

综合发展
x2 x2 y2 y2 + =1 与 + =1(0<k<9)的关系为( ) 25 9 9?k 25 ? k A.有相等的长、短轴 B.有相等的焦距 C.有相同的焦点 D.有相同的准线 【解析】 ∵25-k-(9-k)=16,∴焦距相等. 【答案】 B 2.椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5,焦点到椭圆中心的距离为 3,则椭圆的标准 方程是( )
1.椭圆 A.

【答案】 B ∴椭圆上一点的坐标可设为(acos ? ,bsin ? ). 【答案】 A

? x = 3 cos ? π 13.设 O 是椭圆 ? 的中心, 是椭圆上对应于 ? = 的点, P 那么直线 OP 的斜率为 ( 6 ? y = 2 sin ?
A.



3 3

B. 3

C.

3 3 2

D.

2 3 9

π ?x = 【解析】 当 ? = 时, ? 2 6 ?y =1 ?
∴kOP=

?

3 3

x2 y2 x2 y2 x2 y2 y2 x2 + =1 或 + =1 B. + =1 或 + =1 16 9 9 16 25 9 25 9 x2 y2 y2 x2 C. + =1 或 + =1 D.椭圆的方程无法确定 25 16 25 16 【解析】 由题意,a=5,c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16,
∴椭圆的标准方程为

2 3 . 9 【答案】 D ? x = 4 cos θ 14.点(2,3 3 )对应曲线 ? (θ为参数)中参数θ的值为( ? y = 6 sin θ
A.kπ+ )

x2 y2 y2 x2 + =1 或 + =1. 25 16 25 16

【答案】 C 3.中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方 程是( ) A. D.2kπ+

π
6

(k∈Z)

B.kπ+

π
3

(k∈Z)

C.2kπ+

π
6

(k∈Z)

π
3

(k∈Z)

y2 x2 + =1 81 72 y2 x2 C. + =1 81 45
【解析】 ∵2a=18,2c=

B.

y2 x2 + =1 81 9 y2 x2 D. + =1 81 36

? ?cos θ = ?2 = 4 cos θ ? ? 【解析】 由 ? 得? ?3 3 = 6 sin θ ? ? sin θ = ? ?
∴θ=2kπ+ 【答案】 D

1 2 3 2

1 ×2a=6,∴a=9,c=3,b2=81-9=72. 3



【答案】 A

π
3

(k∈Z).

? x = 5 cos θ 15.曲线 ? (θ为参数)的准线方程为( ? y = 4 sin θ
A.x=±



25 3 【答案】 A

B.y=±

25 3

C.x=±

25 4

D.y=±

25 4

x2 y2 + 2 =1 上,则( ) a2 b A.点(-3,-2)不在椭圆上 B.点(3,-2)不在椭圆上 C.点(-3,2)在椭圆上 D.无法判断点(-3,-2)(3,-2)(-3,2)是否在椭圆上 、 、 2 x y2 【解析】 ∵点(3,2)在椭圆 2 + 2 =1 上, a b 2 2 2 2 3 2 (±3) (±2) ∴ 2 + 2 =1,∴ + =1. 2 a b a b2 x2 y2 即点(±3,±2)在椭圆 2 + 2 =1 上. a b
4.已知点(3,2)在椭圆
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【答案】 C 5.已知椭圆的对称轴是坐标轴,O 为坐标原点,F 是一个焦点,A 是一个顶点,若椭圆的长轴 长是 26,cos ∠ OFA=

5 ,则椭圆的方程是( ) 13
B.

A.

x2 y2 + =1 169 144 y2 x2 x2 y2 + =1 或 + =1 144 25 169 144

y2 x2 + =1 169 144 x2 y2 y2 x2 + =1 或 + =1 169 144 169 144

? a2 2 2 2 2 2 ? x0 = ? x 代入 x 0 + y 0 =1 中得 a + a y =1, 由①②联立求出 ? a2 b2 x2 b2 x2 ? y = ay ? 0 x ? 2 2 x y 整理得 2 ? 2 =1. a b
9.椭圆

C.

D.

y2 x2 + =1(a>b>0)的焦点到准线的距离为( ) a2 b2

【解析】由 cosOFA=

5 c 5 ,知 A 是短轴的端点.∵长轴长是 26,∴|FA|=13 即 a=13.∴ = , 13 13 13
x2 y2 y2 x2 + =1 或 + =1. 169 144 169 144

A.

b2 a2 ? b2

B.

2a 2 ? b 2 a2 ? b2

C.

b2 a2 ? b2



2a 2 ? b 2 a2 ? b2

D.

a2 a2 ? b2

c=5,b2=132-52=122=144.∴椭圆的方程为 【答案】D

【解析】焦点到准线的距离为

a2 a2 b2 2a 2 ? b 2 -c 或 +c,即 或 . c c a2 ? b2 a2 ? b2


x2 y2 + =xy( ) 6.曲线 25 9
A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 D.以上都不对 【解析】同时以-x 代 x,以-y 代 y,方程不变,所以曲线关于原点对称. 【答案】C 7.求椭圆 25x2+y2=25 的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标及离心率. 【解】 把已知方程化成标准方程:

【答案】C 10.若椭圆两准线间的距离等于焦距的 4 倍,则这个椭圆的离心率为( A.

1 4

B.

2 2

C.

2 4

D.

1 2

【解析】 椭圆的两准线之间的距离为 ∴由题意,得 【答案】 D

a2 a 2 2a 2 -(- )= . c c c

2a 2 c 1 =4×2c,∴ = . c a 2

y2 2 +x =1,这里 a=5,b=1,所以 c= 25 ? 1 =2 6 . 25

因此,椭圆的长轴和短轴的长分别是 2a=10 和 2b=2,两个焦点分别是 F1(0,-2 6 )、F2(0,2 6 ), 椭圆的四个顶点是 A1(0,-5)、A2(0,5)、B1(-1,0)和 B2(1,0).椭圆的离心率是 8.AA′是椭圆

2 6 5

x2 y2 + =1(a>b>0)的长轴,CD 是垂直于长轴的弦,求直线 A′C 和 AD 的交点 P a2 b2

的轨迹方程. 【解】 设 P(x,y),C(x0,y0),D(x0,-y0) 由 A′、C、P 共线得:

y0 y = x + a x0 + a



由 D、A、P 共线得:

? y0 y = x ? a x0 ? a



x2 y2 + =1 上点 P 到右焦点的最值为( ) 25 9 A.最大值为 5,最小值为 4 B.最大值为 10,最小值为 8 C.最大值为 10,最小值为 6 D.最大值为 9,最小值为 1 4 4 【解析】e= ,由焦半径公式得|PF2|=5- x0,∵-5≤x0≤5,∴当 x0=5 时|PF2|min=1,当 x0=-5 时, 5 5 |PF2|max=9. 【答案】 D 12.椭圆的长轴长为 10,短轴长为 8,则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是( ) A.[8,10] B.[4,5] C.[6,10] D.[2,8] 【解析】由 2a=10,2b=8,得 a=5,b=4. 【答案】B 13.若椭圆的长轴长为 200,短轴长为 160,则椭圆上的点到焦点的距离的范围是( ) A.[40,160] B.[0,100] C.[40,100] D.[80,100] 【解析】由题知 2a=200,2b=160,∴a=100,b=80,c=60.∴椭圆上的点到焦点的距离范围是
11.椭圆

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[100-60,100+60],即[40,160]. 【答案】A 14.P 是椭圆 是 . 【解析】设 P(x,y) ,则|PF1|·|PF2|=4【答案】1 15.椭圆

PF1 y0 + a2 c

=

x y + = 1 上的点,F1、F2 是两个焦点,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差 4 3
1 2 x .∴|PF1|·|PF2|的最大值为 4,最小值为 3. 4

2

2

PF2 c c , 2 = , a a a ? y0 c

y2 x2 3 + 2 = 1 (a>b>0)的两焦点为 F1(0,-c) 2(0,c)(c>0),离心率 e= ,F ,焦点 2 2 a b

c c y0+a,|PF2|=a- y0, a a c c c2 ∴|PF1|·|PF2|=(a+ y0)(a- y0)=a2- 2 y02 a a a ∵-a≤y0≤a ∴当 y0=0 时, 1|· 2|最大, |PF |PF 最大值为 a2.当 y0=±a 时, 1|· 2|最小, |PF |PF 最小值为 a2-c2=b2. 因此,|PF1|·|PF2|的取值范围是[b2,a2].
∴|PF1|= 18.已知点 P 在椭圆 x2+8y2=8 上,并且 P 到直线 l:x-y+4=0 的距离最小,求 P 点的坐标 【解析】 ∵P 点在椭圆上,∴设 P(2 2 cosθ,sinθ)则有 P 到 l 的距离为

到椭圆上点的最短距离为 2- 3 ,求椭圆的方程. 【解】∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短,∴a-c=2- 3 .

2 2 cos θ ? sin θ + 4
d=

c 3 又 e= = ,∴a=2.故 b=1. a 2
∴椭圆的方程为

2

=

? 3 sin(θ ? ? ) + 4
2

,

其中 tan ? =2 2 ,当θ- ? = 此时 cosθ=sin ? =

π
2

时 d 最小,

y +x2=1. 4
2 ,求椭圆的 2

2

2 2 1 ,sinθ=cos ? = . 3 3

16.已知椭圆的一个焦点是 F(1,1) ,与它相对应的准线是 x+y-4=0,离心率为

∴P(

8 1 , ) 3 3 x2 y2 + =1 上的点,求 u=x+y 的取值范围. 144 25

方程. 【解】设 P(x,y)为椭圆上任意一点,∵椭圆的一个焦点是 F(1,1)与它相对应的准线是 x+y -4=0,离心率为

19.已知 P(x,y)是椭圆

2 , 2

? x = 12 cos ? , 【解】 ∵椭圆的参数方程可写为 ? ? y = 5 sin ?



( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 x+ y?4 2

=

2 , 2

∴可设 P 点的坐标为(12cos ? ,5sin ? ). 从而 u=12cos ? +5sin ? =13sin( ? +arctan ∵-13≤13sin( ? +arctan

12 ). 5

∴4(x-1)2+4(y-1)2=(x+y-4)2. 即 3x2+3y2-2xy-8=0 为所求. 17.已知点 P 在椭圆 范围. 【解】 设 P(x0,y0),椭圆的准线方程为 y=±

y2 x2 + =1 上(a>b>0),F1、F2 为椭圆的两个焦点,求|PF1|·|PF2|的取值 a2 b2 a2 ,不妨设 F1、F2 分别为下焦点、上焦点,则 c

12 )≤13, 5 ∴u 的取值范围是-13≤u≤13.

20.已知点 A(0,-1)及椭圆

x2 y2 + =1,在椭圆上求一点 P 使|PA|的值最大. 169 144

【解】∵点 P 在椭圆上,∴设 P 的坐标为(13cosθ,12sinθ).

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∴|PA|2=(13cosθ)2+(12sinθ+1)2=170-25sin2θ+24sinθ. ∴当 sinθ=-

? 24 12 481 = 时,|PA|2 最大,此时 cosθ=± . 2 × 25 25 25

∴点 P 的坐标为(±

13 481 144 , ). 25 25

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