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2013-2014学年江苏省南京市高一(上)期末数学试卷




2013-2014 学年江苏省南京市高一(上)期末数学试卷
一、填空题 1. 已知全集 U={0, 1, 2, 3, 4, 5}, 集合 A={0, 3, 5}, B={1, 3}, 则? U (A∪ B) = 2.已知函数 f(x)=lg(1﹣x),则其定义域为 . 3.函数 f(x)=3cos( x+ )的最小正周期为 . . . _________ .

4.已知向量 a ? (4,3) , b ? ( x,6) ,且 a b ,则实数 x 的值为 5.如果函数 f(x)=(a﹣1)x 在 R 上是减函数,那么实数 a 的取值范围是

? ? 6.将函数 f(x)=sin(x+ )的图象向右平移 个单位,所得图象的函数解析式为 3 6
_________ . 7.已知角 α 的终边经过点 P(﹣1,3),则 sinα﹣2cosα=
0.6 2



8. 已知 a ? log 1 2 , b=2 , c=0.6 , 则 a, b, c 的大小关系为 _________ (用“<”连接) .
3

9.已知函数 f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的图象如图所示,则 a﹣b 的值为 _________ . 10.在△ abc 中,已知 sina+cosa= ,则△ ABC 为 角”、“直角”、“钝角”中,选择恰当的一种填空). 11.若函数 f ( x ) ? 三角形(在“锐

(2 x ? 1)( x ? a ) 为奇函数,则实数 a 的值为 x
,则 f(f(3))的值为



12.已知函数 f(x)=



13.在△ ABC 中,已知 AB=AC,BC=4,点 P 在边 BC 上,

?

的最小值为



14.已知函数 f(x)=x(2+a|x|),且关于 x 的不等式 f(x+a)<f(x)的解集为 A,若[﹣ , ]?A,则实数 a 的取值范围是 _________ . 二、解答题 15.已知向量 a ? (2,1) , b =(1,﹣2). (1)求( a + b )?(2 a ﹣ b )的值;(2)求向量 a 与 a + b 的夹角.

16.已知 tanα=3,π<α<

, +α)+sin(π+α)的值.

(1)求 cosα 的值;(2)求 sin(

17.已知函数 f(x)=asin(ωx+φ)(a>0,ω>0,|φ|< 象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的单调增区间; (3)若 x∈ [?

)的图

?
2

,0],求函数 f(x)的值域.

18.如图,在? ABCD 中,已知 AB=2,AD=1,∠ DAB=60° ,m 为 DC 的中点. (1)求 AM ? BD 的值; (2)设 =λ ,若 AC⊥ DP,求实数 λ 的值.

19.用一根长为 10m 的绳索围成一个圆心角为 α(0<α<π),半径不超过 2m 的扇形场地, 设扇形的半径为 x m,面积为 S m2. (1)写出 S 关于 x 的表达式,并求出此函数的定义域 (2)当半径 x 和圆心角 α 分别是多少时,所围成的扇形场地的 面积 S 最大,并求最大面积.

20.已知 M 是所有同时满足下列两个性质的函数 f(x)的集合: ① 函数 f(x)在其定义域上是单调函数; ② 在函数 f(x)的定义域内存在闭区间[a,b]使得 f(x)在[a,b]上的最小值是 a,最大值是 b.请解答以下问题 (1)判断函数 g(x)=﹣x2(x∈ [0,+∞))是否属于集合 M?若是,请求出相应的区间[a, b];若不是,请说明理由. (2)证明函数 f(x)=3log2x 属于集合 M; (3)若函数 f ( x) ?

mx 属于集合 M,求实数 m 的取值范围. 1? | x |

2013-2014 学年江苏省南京市高一(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,满分 42 分,请把答案填写在答题纸相应位 置上。 1.已知全集 U={0,1,2,3,4,5},集合 a={0,3,5},b={1,3},则? U(a∪ b)= {2, 4} . 考点: 交、并、补集的混合运算.菁优网版权所有 专题: 集合. 分析: 由 a 与 b 求出两集合的并集,根据全集 U 求出并集的补集即可. 解答: 解:∵ 全集 U={0,1,2,3,4,5},a={0,3,5},b={1,3}, ∴ a∪ b={0,1,3,5}, 则? U(a∪ b)={2,4}. 故答案为:{2,4} 点评: 此题考查了交、 并、 补集的混合运算, 熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2.已知函数 f(x)=lg(1﹣x),则其定义域为: (﹣∞,1) . 考点: 对数函数的定义域.菁优网版权所有 专题: 计算题. 分析: 依据对数函数的定义知,其真数大于 0,即由 1﹣x>0 即可解得. 解答: 解:∵ 1﹣x>0, ∴ x<1, ∴ 函数 f(x)=lg(1﹣x)的定义域(﹣∞,1) 故答案为(﹣∞,1) 点评: 本题属于以函数的定义的基础题,也是高考常会考的题型. )的最小正周期为 4π .

3.函数 f(x)=3cos( x+

考点: 专题: 分析: 解答:

三角函数的周期性及其求法.菁优网版权所有 三角函数的图像与性质. 利用 y=acos(ωx+φ)的周期等于 T= 解:函数 f(x)=3cos( x+ ,从而得出结论. =4π,

)的最小正周期为

故答案为:4π. 点评: 本题主要考查三角函数的周期性及其求法,利用了 y=acos(ωx+φ)的周期 等于 T= ,属于基础题.

4.已知向量 =(4,﹣3), =(x,6),且 ∥ ,则实数 x 的值为 ﹣8 .

考点: 专题: 分析: 解答:

平面向量共线(平行)的坐标表示.菁优网版权所有 平面向量及应用. 直接由向量共线的坐标运算得答案. 解:∵ 量 =(4,﹣3), =(x,6),且 ∥ ,

则 4× 6﹣(﹣3)x=0. 解得:x=﹣8. 故答案为:﹣8. 点评: 平行问题是一个重要的知识点,在高考题中常常出现,常与向量的模、向量 的坐标表示等联系在一起,要特别注意垂直与平行的区别.若 =(a1,a2), =(b1,b2), 则 ⊥ ? a1a2+b1b2=0, ∥ ? a1b2﹣a2b1=0,是基础题. 5.如果函数 f(x)=(a﹣1)x 在 R 上是减函数,那么实数 a 的取值范围是 1<a<2 . 考点: 指数函数单调性的应用.菁优网版权所有 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数的单调性与底数之间的关系确定底数的取值范围, 即可求出实 数 a 的取值范围. 解答: 解:∵ 函数 f(x)=(a﹣1)x 在实数集 R 上是减函数, ∴ 0<a﹣1<1,解得 1<a<2. 点评: 本题主要考查指数函数的单调性与底数之间的关系, 要求熟练掌握指数函数 的图象和性质.

6.将函数 f(x)=sin(x+ (x+ ) .

)的图象向右平移

个单位,所得图象的函数解析式为

y=sin

考点: 专题: 分析: 解答:

函数 y=asin(ωx+φ)的图象变换.菁优网版权所有 三角函数的图像与性质. 由条件利用 y=asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解:将函数 f(x)=sin(x+ + )的图象向右平移 )=sin(x+ ), 个单位,

所得图象的函数解析式为 y=sin(x﹣ 故答案为:y=sin(x+ 点评: ).

本题主要考查 y=asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.

7.已知角 α 的终边经过点 P(﹣1,3),则 sinα﹣2cosα= 考点: 专题: 分析: 解答:



任意角的三角函数的定义.菁优网版权所有 三角函数的求值. 利用三角函数的定义,求出 sinα、cosα,即可得到结论. 解:∵ 角 α 的终边经过点(﹣1,3), =

∴ x=﹣1,y=3,r= ∴ sinα= ,cosα= = .

∴ sinα﹣2cosα= 故答案为: 点评:



本题考查三角函数的定义,考查学生的计算能力,属于基础题.

8.已知 a=log

2,b=20.6,c=0.62,则 a,b,c 的大小关系为 a<c<b (用“<”连接).

考点: 专题: 分析: 解答:

不等式比较大小;对数的运算性质.菁优网版权所有 不等式的解法及应用. 判断三个数与 0,1 的大小,即可得到结果. 解:a=log 2<0,b=20.6>1,c=0.62∈ (0,1).

所以 a<c<b. 故答案为:a<c<b. 点评: 本题考查数值大小的比较,注意中间量的应用,基本知识的考查. 9.已知函数 f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的图象如图所示,则 a﹣b 的值为 4 .

考点: 指数函数的图像与性质.菁优网版权所有 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知中函数 y=ax+b 的图象经过(0,﹣1)点和(1,0)点,代入构造关 于 a,b 的方程,解方程可得答案. 解答: 解:∵ 函数 y=ax+b 的图象经过(0,﹣1)点和(1,0)点, 故 1+b=﹣1,且 a+b=0, 解得:b=﹣2,a=2, 故 a﹣b=4,

故答案为:4 点评: 本题考查的知识点是待定系数法,求函数的解析式,指数函数图象的变换, 难度不大,属于基础题. 10.在△ ABC 中,已知 sina+cosa= ,则△ ABC 为 钝角 三角形(在“锐角”、“直角”、“钝 角”中,选择恰当的一种填空). 考点: 专题: 分析: 二倍角的正弦.菁优网版权所有 解三角形. 由 sina+cosa= ,求得 sina?cosa=﹣ <0,且 0<a<π,可得 a 为钝角,从

而得到△ abc 是钝角三角形. 解答: 解:∵ 在△ abc 中 sina+cosa= ,平方可得 1+2sina?cosa= ,∴ sina?cosa=﹣

<0,且 0<a<π,故 a 为钝角,故△ abc 是钝角三角形. 故答案为:钝角. 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系,以及三角函数在各个象限中的符 号,属于中档题.

11.若函数 f(x)=

为奇函数,则实数 a 的值为



考点: 专题: 分析:

函数奇偶性的性质.菁优网版权所有 函数的性质及应用. 根据 f(x)为奇函数有:f(﹣x)=﹣f(x),所以得到: ,所以﹣(2a+1)=2a+1,所以 2a+1=0,所以

a= 解答: =

. 解:f(﹣x) = ;

∴ 2x2﹣(2a+1)x+a=2x2+(2a+1)x+a; ∴ ﹣(2a+1)=2a+1,∴ a= 故答案为: 点评: x). . 考查奇函数的概念,也可先将 f(x)中的(2x+1)(x+a)展开,再求 f(﹣ .

12.已知函数 f(x)=

,则 f(f(3))的值为



考点: 专题: 分析:

函数的值.菁优网版权所有 函数的性质及应用. 利用分段函数的性质求解.

解答:

解:∵ f(x)=



∴ f(3)=log23, f(f(3))=( ) 故答案为: . 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意分段函数的性 质的合理运用. = .

13.在△ abc 中,已知 ab=ac,bc=4,点 P 在边 bc 上,

?

的最小值为 ﹣1 .

考点: 专题: 分析:

平面向量数量积的运算.菁优网版权所有 平面向量及应用. 本题可利用等腰三角形底边上的中线垂直于底边,建立平面直角坐标系,设 ? 转化为二次函数在区间上的值域, 研究二次函数, 得到本题结论.

出动点 P 的坐标, 将

解答: 解:∵ 在△ abc 中,已知 ab=ac, ∴ 取 bc 中点 O 建立如图所示的平面直角坐标系.

∵ bc=4, ∴ b(﹣2,0),c(2,0). 设 a(0,b),P(x,0),(﹣2≤x≤2). ∴ , ,



?

=﹣x(2﹣x)=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1≥﹣1.

当且仅当 x=1 时,取最小值. ∴ ? 的最小值为﹣1.

故答案为:﹣1. 点评: 本题考查了平面向量的坐标运算,解题时要注意变量 x 的取值范围,本题思 维难度不大,属于基础题,

14.已知函数 f(x)=x(2+a|x|),且关于 x 的不等式 f(x+a)<f(x)的解集为 A,若[﹣ , ]?A,则实数 a 的取值范围是

(?1, 0)



考点: 函数单调性的性质.菁优网版权所有 专题: 函数的性质及应用. 分析: 通过讨论 x 的范围,得出函数的表达式,通过讨论 a 的范围,结合二次函数 的性质,从而得出 a 的范围. 解答: 解:当 x≥0 时,f(x)=ax2+2x=a(x+ )2﹣ ,

当 x<0 时,g(x)=﹣ax2+2x=﹣a(x﹣ )2+ , 当 a=0 时,a 是空集,舍去, 当 a>0 时,二次函数 f(x)开口向上,对称轴 x=﹣ ,f(x)在 x≥0 上是增函数,a 是空集, 二次函数 g(x)开口向下,对称轴 x= ,g(x)在 x<0 上是增函数,a 是空集, 当 a<0 时,二次函数 f(x)开口向下,在[0,﹣ ]上是增函数,在( ,+∞)上是减函数, 二次函数 g(x)开口向上,在(﹣∞, ]上是减函数,在( ,0)上是增函数, ∴ a<0 时,a 非空集, 对于任意的 x 属于[﹣ , ],f(x+a)<f(x)成立. 当 x≤0 时,g(x+a)<g(x)=g( ﹣x)≤0,由 g(x)区间单调性知, x+a<x 且 x+a> ﹣x,解得,﹣1<a<0 当 x>0 时, <﹣ ,函数 f(x)在单调增区间内满足 f(x+a)<f(x), ∴ a 的取值范围为,﹣1<a<0, 故答案为:(﹣1,0). 点评: 本题考查了函数的单调性问题, 考查了二次函数的性质, 考查分类讨论思想, 是一道中档题.

二、解答题:本大题共 6 小题,满分 58 分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知向量 =(2,1), =(1,﹣2). (1)求( + )?(2 ﹣ )的值; (2)求向量 与 + 的夹角.

考点: 平面向量数量积的运算.菁优网版权所有 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)运用向量的数量积的坐标运算求解,(2)求出数量积,运用夹角公式 求解,先求余弦值,再求角. 解答: 解;∵ (1) =(2,1), =(1,﹣2)

∴ + =(3,﹣1),2 ﹣ )=(3,4), ( + )?(2 ﹣ )=3× 3+(﹣1)× 4=5, (2)向量 与 + 的夹角为 θ, ?( + )=2× 3+1× (﹣1)=5, | |= ,| + |= = , , ,

∴ cosθ=

∵ θ∈ [0,π],∴ θ= 点评:

本题考查了向量的坐标运算, 运用求数量积, 夹角, 模等问题, 较容易的题.

16.已知 tanα=3,π<α< (1)求 cosα 的值 (2)求 sin(



+α)+sin(π+α)的值.

考点: 同角三角函数基本关系的运用.菁优网版权所有 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由 tanα 的值及 α 的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosα 的值即可; (2)由 cosα 的值及 α 的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinα 的值,原式利用 诱导公式变形后将各自的值代入计算即可求出值.

解答:

解:(1)∵ tanα=3,π<α< =﹣ ;



∴ cosα=﹣

(2)∵ cosα=﹣ ∴ sinα=﹣ 则原式=cosα﹣sinα=

,π<α< =﹣ .

, ,

点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,以及诱导公式的作用,熟练掌握 基本关系是解本题的关键. 17.已知函数 f(x)=asin(ωx+φ)(a>0,ω>0,|φ|< (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的单调增区间; (3)若 x∈ [﹣ ,0],求函数 f(x)的值域.

)的图象如图所示.

考点: 由 y=asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的图象.菁优网版 权所有 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由函数的最值求出 a,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,可 得函数的解析式. (2)令 2kπ﹣ (3)由 x∈ [﹣ 解答: ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈ z,求得 x 的范围,可得函数的增区间.

,0],利用正弦函数的定义域和值域求得 f(x)的值域. 解:(1)由函数的图象可得 a=2, T= ? +φ= ,∴ φ= = ﹣ ,求得 ω=2.

再根据五点法作图可得 2× (2)令 2kπ﹣ ≤2x+

,故 f(x)=2sin(2x+ ≤x≤kπ+ ,

).

≤2kπ+

,k∈ z,求得 kπ﹣

故函数的增区间为[kπ﹣ (3)若 x∈ [﹣

,kπ+

],k∈ z. ∈ [﹣ , ],∴ sin(2x+ )∈ [﹣1, ],

,0],则 2x+

故 f(x)∈ [﹣2,1]. 点评: 本题主要考查由函数 y=asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,正弦函数的增 区间、正弦函数的定义域和值值域,属于基础题. 18.如图,在? abcD 中,已知 ab=2,aD=1,∠ Dab=60° ,m 为 Dc 的中点. (1)求 (2)设 ? =λ 的值; ,若 ac⊥ DP,求实数 λ 的值.

考点: 专题: 分析:

平面向量数量积的运算;向量加减混合运算及其几何意义.菁优网版权所有 平面向量及应用. (1)设 , ,可得 = .再利用向量的三

角形法则、数量积运算即可得出; (2)利用向量的三角形法则、向量垂直与数量积的关系即可得出. 解答: = ∴ ? = = , = =0, =0, , = =﹣ 解:(1)设 , = . , ,∴ . = =﹣ . = = =1.

(2) ∵ ∴ 化为

∴ ﹣1+(λ﹣1)×1+4λ=0, 解得 λ= . 点评: 本题考查了向量的三角形法则、向量垂直与数量积的关系,属于基础题.

19.用一根长为 10m 的绳索围成一个圆心角为 α(0<α<π),半径不超过 2m 的扇形场地, 设扇形的半径为 x m,面积为 S m2. (1)写出 S 关于 x 的表达式,并求出此函数的定义域 (2)当半径 x 和圆心角 α 分别是多少时,所围成的扇形场地的面积 S 最大,并求最大面积. 考点: 扇形面积公式;基本不等式.菁优网版权所有 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)直接利用扇形的周长公式以及面积公式写出 S 关于 x 的表达式,并求 出此函数的定义域. (2)利用二次函数的单调性求出当半径 x 和圆心角 α 分别是多少时,所围成的扇形场地的 面积 S 最大,直接求最大面积. 解答: 解:(1)扇形的半径为 x m,扇形的周长 10m, 扇形的弧长为:10﹣2x,m ∴ S= (10﹣2x)x=﹣x2+5x,x∈ ( (2)∵ S=﹣x2+5x,x∈ ( ]. ].函数 S 在 x∈ ( ]上是增函数,

∴ x=2 时扇形面积最大,此时扇形的圆心角: =3, 扇形面积的最大值为:6m2. 点评: 本题考查扇形面积公式以及周长公式的应用,二次函数的最大值的求法. 20.已知 M 是所有同时满足下列两个性质的函数 f(x)的集合: ① 函数 f(x)在其定义域上是单调函数; ② 在函数 f(x)的定义域内存在闭区间[a,b]使得 f(x)在[a,b]上的最小值是 a,最大值是 b.请解答以下问题 (1)判断函数 g(x)=﹣x2(x∈ [0,+∞))是否属于集合 M?若是,请求出相应的区间[a, b];若不是,请说明理由. (2)证明函数 f(x)=3log2x 属于集合 M; (3)若函数 f(x)= 属于集合 M,求实数 m 的取值范围.

考点: 函数的最值及其几何意义.菁优网版权所有 专题: 新定义;函数的性质及应用. 分析: (1)利用函数的单调性定义推导函数是否单调,然后假设满足条件② ,利 用单调性求最值,进行推导;(2)先单调性可以利用定义法证明函数的单调性,然后数形 结合,利用根的存在性定理说明存在性;(3)函数在定义域 R 上连续,利用函数的性质证 明单调,然后假设属于 m,求 m 范围. 解答: 解:(1)设 x1,x2∈ [0,+∞),且 x1<x2 则 g(x1)﹣g(x2)=﹣x +x =(x2+x1)(x2﹣x1),

∵ x1,x2∈ [0,+∞),x1<x2, ∴ x2+x1>0,x2﹣x1>0, ∴ (x2+x1)(x2﹣x1)>0,

即 g(x1)﹣g(x2)>0, g(x1)>g(x2), 函数 g(x)=﹣x2(x∈ [0,+∞))在其定义域上是单调递减,满足① ; 假设函数 g(x)∈ m,则存在区间[a,b]使得 f(x)在[a,b]上的最小值是 a,最大值是 b. 又由① 可知函数 g(x)=﹣x2(x∈ [0,+∞))在其定义域上是单调递减, 则函数 g(x)在其[a,b]上是单调递减,



满足条件的解不存在,

则假设不成立,函数 g(x)=﹣x2(x∈ [0,+∞))不属于集合 M. (2)证明:函数 f(x)=3log2x 定义域为{x|x>0}, 设 x1,x2∈ (0,+∞),且 x1<x2 则 f(x1)﹣f(x2)=3log2x1﹣3log2x2=3log2 ∵ x1,x2∈ (0,+∞),且 x1<x2, ∴ <1, ,

∴ 3log2

<0,

∴ f(x1)﹣f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2), 函数 f(x)=3log2x 在其定义域上是单调递增. 假设 f(x)∈ M,在函数 f(x)的定义域内存在闭区间[a,b],使得 f(x)在[a,b]上的最小 值是 a,最大值是 b, 则 >0,如右图 ,令 g(x)=2 ﹣x,则有 g(1)>0,g(3)<0,g(9)<0,g(12)

存在 1<a<3,9<b<12,使得 g(a)=0,g(b)=0, 也就是函数 f(x)的定义域内存在闭区间[a,b]使得 f(x)在[a,b]上的最小值是 a,最大值 是b

综上,函数 f(x)=3log2x 属于集合 M 得证. (3)m=0 时,函数 f(x)=0,不属于 M,则 m≠0

f(x)的定义域为 R,函数 f(x)=

=

当 m>0 时,f(x)分别在(﹣∞,0)和(0,+∞)上单调递增,且? x<0,f(x)<0,? x >0,f(x)>0,则 f(x)在 R 上单调递增, 同理可证当 m<0 时,f(x)在 R 上单调递减,则函数在定义域上为单调函数. 若函数 f(x)= 属于集合 M,则在函数 f(x)的定义域 R 内存在闭区间[a,b]使得 f

(x)在[a,b]上的最小值是 a,最大值是 b. 即方程数 =x 有两个不等实根,也就是 =1,则 m=1+|x|>1

综上,m>1 点评: 本题新定义题,注意条件的使用,在(2)中转化为函数后,使用根的存在 性定理判断,降低计算难度.



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