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8.2


第2节
三点剖析:

椭圆的简单几何性质

一、教学大纲及考试大纲要求: 熟练掌握椭圆的范围,对称性,顶点等简单几何性质

王新敞
奎屯

新疆

2.掌握标准方程中 a, b, c 的几何意义,以及 a, b, c, e 的相互关系

王新敞
奎屯

新疆

3.理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法 2.理解椭圆第二定义与第一定义的等价性;

王新敞
奎屯

新疆

能推导,掌握椭圆的焦半径公式,并能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题; 2.能利用椭圆的有关知识解决实际问题,及综合问题 二、重点与难点 教学重点:椭圆的几何性质,椭圆的第二定义、椭圆的准线方程
王新敞
奎屯 新疆

教学难点:如何贯彻数形结合思想,运用曲线方程研究几何性质 三、本节知识理解 1.学法点拨 椭圆 定义 图形
N1 K1 P

1 到两定点 F1,F2 的距离之和为定值 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 2.与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.(0<e<1)
y

y
B2
K2
N2 F2

N2 P

A2
F2

A1

F1

O

A2

K2

x

B1

O

B2
N1

x

B1

A1
K1

F1



标 准 方 程 参 数 方 程

x2 y2 ? ?1 a2 b2
( a ? b >0)

x2 y2 ? ?1 a2 b2
( a ? b >0)



? x ? a cos? ? y ? b sin ? ? (参数?为离心角)
─a?x?a,─b?y?b 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)

? x ? a cos? ? y ? b sin ? ? (参数?为离心角)
─a?x?a,─b?y?b 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) X 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b

范围 中心 顶点 对称轴

X 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b
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焦点 焦距 离心率 准线 2c

F1(c,0), F2(─c,0) (其中 c= a 2 ? b 2 )

F1(c,0), F2(─c,0) 2c (其中 c= a 2 ? b 2 )

e?

c (0 ? e ? 1) a

e?

c (0 ? e ? 1) a

a2 x= ? c
r ? a ? ex

a2 x= ? c
r ? a ? ex

焦半径 通径

2b 2 a

2b 2 a

精题精讲
例 1 求椭圆 16x 2 ? 25y 2 ? 400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图 形.

例 2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图,并求出顶点坐标和离心率。 (1)

x2 y2 ? ?1 25 16

(2)

x2 y2 ? ?1 25 9

例 3 分别在两个坐标系中,画出以下椭圆的简图并比较它们的离心率。

x2 y2 ? ?1 (1) 9 4

x2 y2 ? ?1 (2) 49 36

第 2 页 共 15 页

例 4 写出下列椭圆的准线方程: (1) x ? 4 y ? 4
2 2

x2 y2 ? ?1 (2) 16 81

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例 5. 分别求出符合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆过(3,0)点,离心率 e=

6 。 3

(2)过点(3,-2)且与椭圆 4x 2 ? 9y2 ? 36 有相同焦点。 (3)长轴长与短轴长之和为 10,焦距为 4 5 。

(4)中心在原点,离心率为

5 ,准线方程为 x ? 3 。 3

(5)中心在原点,对称轴在坐标轴上,x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与 长轴上较近的端点距离是 10 ? 5 。

例 6 求满足下列条件的椭圆的离心率. (1)若椭圆两准线间的距离是该椭圆焦距的 2 倍. (2)若椭圆的一个顶点与它的两个焦点构成的三角形是等边三角形. (3) 设F 1, F 2 为椭圆

x 2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点, 以 F1 为圆心过椭圆中心的圆与椭圆有一个交点 M, a 2 b2

若直线 F2 M 与圆 F1 相切.

x 2 y2 (4) 若F 右焦点, P 是以 F 1, F 2 分别为椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左、 1F 2 为直径的圆与椭圆的一个交点, a b
且 ?PFF 1 2 ? 5?PF 2F 1.
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x2 y2 例 7 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与 x 轴的正半轴交于 A,O 是原点,若椭圆上存在一点 M,使 MA⊥MO, a b
求椭圆离心率的取值范围
王新敞
奎屯 新疆

例 8 椭圆

x2 y2 ? ? 1 上有一点 P,它到椭圆的左准线距离为 10,求点 P 到椭圆的右焦点的距离 100 36

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解:椭圆

4 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 e ? ,根据椭圆的第二定义 5 100 36
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奎屯 新疆

y
N1 K1 10 P

B2
O F2

得,点 P 到椭圆的左焦点距离为 10e ? 8 20-8=12

再根据椭圆的第一定义得,点 P 到椭圆的右焦点的距离为
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奎屯 新疆

A1

F1

A2

x

B1
x 2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,P ? x0 , y0 ? 是椭圆上一点,求 a 2 b2

例 9 设F 1 ? ?c, 0? , F 2 ? c, 0? 分别为椭圆 证: PF 1 ? a ? ex 0 , PF 2 ? a ? ex 0

王新敞
奎屯

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第 4 页 共 15 页

x2 y2 例 10 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其上一点 P(3, y )到两焦点的距离分别是 6.5 和 3.5,求椭圆方程 a b
解:由椭圆的焦半径公式,得

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?a ? 3e ? 6.5 1 5 2 75 2 2 ,解得 a ? 5, e ? ,从而有 c ? , b ? a ? c ? ? 2 2 4 ?a ? 3e ? 3.5
所求椭圆方程为

王新敞
奎屯

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x2 4y2 ? ?1 25 75

王新敞
奎屯

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例 11 已知椭圆的中心在原点,长轴在 x 轴上,离心率 e ? 距离是 7 ,求这个椭圆方程.

3 3 ,已知点 P ( 0, ) 到这个椭圆上的点的最远 2 2

例 12 已知 F 1, F 2 是椭圆 (1) 若 ?F1PF2 ?

x 2 y2 ? ? 1的两个焦点,点 P 是椭圆上一点. 100 64

? ,求 ? PFF 1 2 的面积; 3

(2) 若 ?F 1PF 2 为钝角,求点 P 横坐标的取值范围.

第 5 页 共 15 页

x 2 y2 例 13 已知椭圆 ,F 是椭圆的右焦点,点 M 在椭圆上, (1)求点 M 坐标,使 ? ? 1 内一点 P(1,-1) 4 3
(2)求点 M 坐标,使 PM ? MF 最大. PM ? 2 MF 最小; 解:A( a ,0),设 M 点的坐标为 (a cos? , b sin ? ) ( 0 ? ? ?

?
2

) ,由 MA⊥MO 得

b sin ? b sin ? ? ? ?1 a cos? ? a a cos?
化简得

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b 2 cos? (1 ? cos? ) cos? 1 ? 1? ? ? ? 1? ? ? 0, ? 2 2 1 ? cos? 1 ? cos? ? 2 ? a sin ?
e ? 1? b2 ? 2 ? ?? ,1? ? a2 ? ? 2 ?

王新敞
奎屯

新疆

所以

王新敞
奎屯

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例 14 把下列参数方程化为普通方程,普通方程化为参数方程 (1) ?

? x ? 3 cos? (?为参数) ? y ? 4 sin ?

(2)

x2 ? y2 ? 1. 8

解:(1) ?

? x ? 3 cos? x2 y2 (?为参数) ? 2 ? 2 ? 1 3 4 ? y ? 4 sin ?
? x ? 2 2 cos? x2 (?为参数) ? y2 ? 1 ? ? 8 y ? sin ? ?

(2)

例 15 已知椭圆 ? 解: x ?

? x ? cos? 1 (a ? 0, b ? 0, ?为参数) 上的点 P( x, y ),求 x ? y 的取值范围. 2 ? y ? 2 sin ?

1 ? y = cos ? ? sin ? ? 2 sin(? ? ) ? ? 2 , 2 2 4
2 2

?

?

例 16 已知直线 l 与椭圆 4x ? 9y ? 36 相交于 A、B 两点,弦 AB 中点坐标(1,1) ,求 AB 及直线 l 的 方程。

第 6 页 共 15 页

x2 ? y2 ? 1 例 17 已知椭圆 2
(1)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程; (2)过 A(2,1) 引椭圆的割线,求截得得弦的中点轨迹方程; (3) 求过点 P ( , ) ,且被 P 平分的弦所在的直线方程.

1 1 2 2

例 18 已知中心在原点,一个焦点为 0, 50 的椭圆被直线 y ? 3x ? 2 截得的弦的中点横坐标为 椭圆的方程.

?

?

1 ,求此 2

例 19 已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,直线 x ? y ? 1被椭圆截得的弦 AB 的长为 2 2 ,且 AB 的中点 C 与椭圆中心的连线的斜率为

2 ,求这个椭圆的方程. 2

例 20 已知椭圆

x 2 y2 ? ? 1 上有两个不同点关于直线 y ? 4x ? m 对称,求 m 的取值范围. 4 3

基础达标
1.椭圆 6x2+y2=6 的长轴的端点坐标是( A.(-1,0)、(1,0) C.(- 6 ,0)、( 6 ,0) ) B.(-6,0)、(6,0) D.(0,- 6 )、(0, 6 )

2.已知点(m,n)在椭圆 8x2+3y2=24 上,则 2m+4 的取值范围是( ) A.[4-2 3 ,4+2 3 ] C.[4-2 2 ,4+2 2 ] B.[4- 3 ,4+ 3 ] D.[4- 2 ,4+ 2 ]
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3.椭圆 25x2+9y2=225 的长轴上、短轴长、离心率依次是( ) A.5,3,0.8 B.10,6,0.8 C.5,3,0.6 D.10,6,0.6

4.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的设心率是( ) A.

1 5

B.

3 4

C.

3 3

D.

1 2

x2 y2 y2 x2 x2 y2 x2 y2 + 2 =1 与椭圆 + =1 有相同的长轴,椭圆 2 + 2 =1 的短轴长与椭圆 + =1 的 2 21 9 25 16 b b a a 短轴长相等,则( ) 2 2 A.a =25,b =16 B.a2=9,b2=25 C.a2=25,b2=9 或 a2=9,b2=25 D.a2=25,b2=9
5.已知椭圆

6.已知椭圆 C:

x2 y2 x2 y2 + =1 与椭圆 + =1 有相同离心率,则椭圆 C 的方程可能是( 9 4 a2 b2 x2 y2 x2 y2 A. + =m2(m≠0) B. + =1 4 8 16 64 x2 y2 C. + =1 D.以上都不可能 2 8



7.椭圆

x2 y2 ? =1(a>b>0)的准线方程是( b2 a2



A.y=±

a2 a2 ? b2 b2 a2 ? b2

B.y=±

a2 a2 ? b2 a2 a2 ? b2

C.y=±

D.x=±

8.若椭圆上的点 P 到焦点的距离最小,则 P 点是( ) A.椭圆的短轴的端点 B.椭圆的长轴的一个端点 C.不是椭圆的端点 D.以上都不对 【答案】B 9.已知椭圆

x2 y2 16 3 3 ? 2 =1(a>b>0)的两准线间的距离为 ,离心率为 ,则椭圆方程为( 2 3 2 a b
B.



A.

x2 y2 ? =1 4 3

x2 y2 ? =1 16 3

C.

x2 y2 ? =1 16 12

D.

x2 y2 ? =1 16 4

【解析】 由

2a 2 16 3 a 3 = , = ,得 a2=16,b4=4. c 3 2 c
第 8 页 共 15 页

【答案】 D 10.两对称轴都与坐标轴重合,离心率 e=0.8,焦点与相应准线的距离等于

9 的椭圆的方程是( 4



y2 x2 x2 y2 ? ? =1 或 =1 25 9 25 9 x2 y2 x2 y2 ? ? B. =1 或 =1 25 9 25 16 x2 y2 C. + =1 16 9 y2 x2 ? D. =1 25 16 【解】 设所求椭圆的方程为 x2 y2 ? =1(a>b>0) a2 b2 y2 x2 或 2 ? 2 =1(a>b>0). a b
A.

?c ? a ? 0.8 ? 2 9 ?a 由题意,得 ? ?c? 4 ?c ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?
?a ? 5 ? 解这个方程组,得 ?b ? 3 . ?c ? 4 ?
∴所求椭圆的方程为: 【答案】 A 11.已知椭圆 的方程为(
2

y2 x2 x2 y2 ? ? =1 或 =1. 25 9 25 9

x2 y2 7 3 4 3 ? 2 =1(a>b>0)的左焦点到右准线的距离为 ,中心到准线的距离为 ,则椭圆 2 3 3 a b
x2 2 +y =1 2 x2 y2 + =1 2 4 x2 y2 + =1 4 8

) B. C. D.

A.

x +y2=1 4

【解析】 由 【答案】 A

a2 7 3 a2 4 3 -(-c)= , = 得 a2=4,b2=1. c c 3 3

12.椭圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 = A.

3x ? 4 y ? 8 25

的离心率为( C.

) D.无法确定

1 25

B.

1 5

1 10

第 9 页 共 15 页

【解析】 由

( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 3x ? 4 y ? 8 5

=

1 1 知 e= . 5 5

【答案】 B ∴椭圆上一点的坐标可设为(acos ? ,bsin ? ). 【答案】 A

? x ? 3 cos ? ? 13.设 O 是椭圆 ? 的中心,P 是椭圆上对应于 ? = 的点,那么直线 OP 的斜率为( 6 ? y ? 2 sin ?
A.



3 3

B. 3

C.

3 3 2

D.

2 3 9

? 3 3 ?x ? 【解析】 当 ? = 时, ? 2 6 ?y ?1 ?

?

2 3 . 9 【答案】 D
∴kOP=

? x ? 4 cos ? 14.点(2,3 3 )对应曲线 ? (θ 为参数)中参数θ 的值为( ? y ? 6 sin?
A.kπ +



?
6

(k∈Z)

B.kπ +

?
3

(k∈Z)

C.2kπ +

?
6

(k∈Z)

D.2kπ +

?
3

(k∈Z)

1 ? cos ? ? ? 2 ? 4 cos ? ? 2 ? ? 【解析】 由 ? 得? , ? ?3 3 ? 6 sin? ?sin? ? 3 ? 2 ?
∴θ =2kπ + 【答案】 D

?
3

(k∈Z).

? x ? 5 cos ? 15.曲线 ? (θ 为参数)的准线方程为( ? y ? 4 sin?
A.x=±



25 3

B.y=±

25 3

C.x=±

25 4

D.y=±

25 4

【答案】 A

综合发展
y2 x2 x2 y2 + =1 与 + =1(0<k<9)的关系为( 9 25 9?k 25 ? k A.有相等的长、短轴 B.有相等的焦距 C.有相同的焦点 D.有相同的准线 【解析】 ∵25-k-(9-k)=16,∴焦距相等. 【答案】 B
1.椭圆
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2.椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5,焦点到椭圆中心的距离为 3,则椭圆的标准方程是 )

y2 y2 y2 y2 x2 x2 x2 x2 + =1 或 + =1 B. + =1 或 + =1 9 16 9 25 16 9 25 9 y2 y2 x2 x2 C. + =1 或 + =1 D.椭圆的方程无法确定 16 25 25 16 【解析】 由题意,a=5,c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16,
A. ∴椭圆的标准方程为

y2 y2 x2 x2 + =1 或 + =1. 16 25 25 16


【答案】 C 3.中心在原点, 焦点在 x 轴上, 若长轴长为 18, 且两个焦点恰好将长轴三等分, 则此椭圆的方程是 (

y x + =1 81 72 y2 x2 C. + =1 81 45
A. 【解析】 ∵2a=18,2c= 【答案】 A

2

2

y x + =1 81 9 y2 x2 D. + =1 81 36
B.

2

2

1 ×2a=6,∴a=9,c=3,b2=81-9=72. 3

y2 x2 + =1 上,则( ) b2 a2 A.点(-3,-2)不在椭圆上 B.点(3,-2)不在椭圆上 C.点(-3,2)在椭圆上 D.无法判断点(-3,-2) 、 (3,-2) 、 (-3,2)是否在椭圆上 2 y2 x 【解析】 ∵点(3,2)在椭圆 2 + 2 =1 上, b a 2 2 2 2 ( ?3) ( ?2) 3 2 ? ∴ 2 + 2 =1,∴ =1. 2 a b2 a b y2 x2 即点(±3,±2)在椭圆 2 + 2 =1 上. b a 【答案】 C 5.已知椭圆的对称轴是坐标轴,O 为坐标原点,F 是一个焦点,A 是一个顶点,若椭圆的长轴长是 26,
4.已知点(3,2)在椭圆 cos ? OFA=

5 ,则椭圆的方程是( ) 13
B.

A.

x2 y2 ? =1 169 144
y2 x2 x2 y2 ? ? =1 或 =1 144 25 169 144

y2 x2 ? =1 169 144

C.

D.

x2 y2 y2 x2 ? ? =1 或 =1 169 144 169 144

【解析】由 cosOFA=

5 c 5 ,知 A 是短轴的端点.∵长轴长是 26,∴|FA|=13 即 a=13.∴ = ,c=5, 13 13 13

b2=132-52=122=144.∴椭圆的方程为 【答案】D

x2 y2 y2 x2 ? ? =1 或 =1. 169 144 169 144

第 11 页 共 15 页

x2 y2 ? 6.曲线 =xy( ) 25 9
A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 D.以上都不对 【解析】同时以-x 代 x,以-y 代 y,方程不变,所以曲线关于原点对称. 【答案】C 7.求椭圆 25x2+y2=25 的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标及离心率. 【解】 把已知方程化成标准方程:

y2 2 +x =1,这里 a=5,b=1,所以 c= 25 ? 1 =2 6 . 25

因此,椭圆的长轴和短轴的长分别是 2a=10 和 2b=2,两个焦点分别是 F1(0,-2 6 )、F2(0,2 6 ),椭圆 的四个顶点是 A1(0,-5)、A2(0,5)、B1(-1,0)和 B2(1,0).椭圆的离心率是 8.AA′是椭圆

2 6 5

x2 y2 ? =1(a>b>0)的长轴,CD 是垂直于长轴的弦,求直线 A′C 和 AD 的交点 P 的轨迹 a2 b2

方程. 【解】 设 P(x,y),C(x0,y0),D(x0,-y0) 由 A′、C、P 共线得:

y0 y = x ? a x0 ? a



由 D、A、P 共线得:

? y0 y = x ? a x0 ? a



? a2 x0 ? 2 2 2 2 2 ? ? x 代入 x 0 ? y 0 =1 中得 a + a y =1, 由①②联立求出 ? x2 b2x2 a2 b2 ? y ? ay 0 ? x ? 2 2 y x 整理得 2 ? 2 =1. a b

y2 x2 9.椭圆 2 ? 2 =1(a>b>0)的焦点到准线的距离为( ) a b
A.

b2 a2 ? b2

B.

2a 2 ? b 2 a2 ? b2

C.

b2 a2 ? b2



2a 2 ? b 2 a2 ? b2

D.

a2 a2 ? b2

a2 a2 b2 2a 2 ? b 2 【解析】焦点到准线的距离为 -c 或 +c,即 或 . c c a2 ? b2 a2 ? b2
【答案】C 10.若椭圆两准线间的距离等于焦距的 4 倍,则这个椭圆的离心率为( A. )

1 4

B.

2 2

C.

2 4

D.

1 2

【解析】 椭圆的两准线之间的距离为 ∴由题意,得

a2 a2 2a 2 -(- )= . c c c

2a 2 c 1 =4×2c,∴ = . c a 2
第 12 页 共 15 页

【答案】 D

x2 y2 ? =1 上点 P 到右焦点的最值为( ) 25 9 A.最大值为 5,最小值为 4 B.最大值为 10,最小值为 8 C.最大值为 10,最小值为 6 D.最大值为 9,最小值为 1
11.椭圆 【解析】 e=

4 4 ,由焦半径公式得|PF2|=5- x0,∵-5≤x0 ≤5,∴当 x0=5 时|PF2|min=1,当 x0=-5 时, 5 5

|PF2|max=9. 【答案】 D 12.椭圆的长轴长为 10,短轴长为 8,则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是( ) A.[8,10] B.[4,5] C.[6,10] D.[2,8] 【解析】由 2a=10,2b=8,得 a=5,b=4. 【答案】B 13.若椭圆的长轴长为 200,短轴长为 160,则椭圆上的点到焦点的距离的范围是( ) A.[40,160] B.[0,100] C.[40,100] D.[80,100] 【 解 析 】 由 题 知 2a=200 , 2b=160 , ∴ a=100 , b=80 , c=60. ∴ 椭 圆 上 的 点 到 焦 点 的 距 离 范 围 是 [100-60,100+60],即[40,160]. 【答案】A 14.P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点,F1、F2 是两个焦点,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差是 4 3
1 2 x .∴|PF1|·|PF2|的最大值为 4,最小值为 3. 4

.

【解析】设 P(x,y) ,则|PF1|·|PF2|=4【答案】1 15.椭圆

y2 x2 3 ? 2 ? 1 (a>b>0)的两焦点为 F1(0,-c) ,F2(0,c)(c>0),离心率 e= ,焦点到椭圆上 2 2 a b

点的最短距离为 2- 3 ,求椭圆的方程. 【解】∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短,∴a-c=2- 3 .

又 e=

c 3 = ,∴a=2.故 b=1. a 2

∴椭圆的方程为

y2 2 +x =1. 4

2 ,求椭圆的方程. 2 【解】设 P(x,y)为椭圆上任意一点,∵椭圆的一个焦点是 F(1,1)与它相对应的准线是 x+y-4=0,
16.已知椭圆的一个焦点是 F(1,1) ,与它相对应的准线是 x+y-4=0,离心率为 离心率为

2 , 2



( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 x? y?4 2

?

2 , 2

第 13 页 共 15 页

∴4(x-1)2+4(y-1)2=(x+y-4)2. 即 3x2+3y2-2xy-8=0 为所求.

y2 x2 ? =1 上(a>b>0),F1、F2 为椭圆的两个焦点,求|PF1|·|PF2|的取值范围. a2 b2 a2 【解】 设 P ( x0,y0 ) , 椭圆的准线方程为 y= ± , 不妨设 F1 、 F2 分别为下焦点、上焦点,则 c
17.已知点 P 在椭圆

PF1 y0 ? a c
2

?

PF2 c c , 2 ? , a a a ? y0 c

c c y0+a,|PF2|=a- y0, a a c2 c c ∴|PF1|·|PF2|=(a+ y0)(a- y0)=a2- 2 y02 a a a
∴|PF1|= ∵-a≤y0≤a ∴当 y0=0 时,|PF1|·|PF2|最大,最大值为 a2.当 y0=±a 时,|PF1|·|PF2|最小,最小值为 a2-c2=b2.因此, |PF1|·|PF2|的取值范围是[b2,a2]. 18.已知点 P 在椭圆 x2+8y2=8 上,并且 P 到直线 l:x-y+4=0 的距离最小,求 P 点的坐标 【解析】 ∵P 点在椭圆上,∴设 P(2 2 cosθ ,sinθ )则有 P 到 l 的距离为

d=

2 2 cos ? ? sin ? ? 4 2

?

? 3 sin(? ? ? ) ? 4 2

,

其中 tan ? =2 2 ,当θ - ? = 此时 cosθ =sin ? = ∴P(

?
2

时 d 最小,

2 2 1 ,sinθ =cos ? = . 3 3

8 1 , ) 3 3
y2 x2 ? =1 上的点,求 u=x+y 的取值范围. 144 25

19.已知 P(x,y)是椭圆

? x ? 12 cos ? 【解】 ∵椭圆的参数方程可写为 ? , ? y ? 5 sin ?
∴可设 P 点的坐标为(12cos ? ,5sin ? ). 从而 u=12cos ? +5sin ? =13sin( ? +arctan ∵-13≤13sin( ? +arctan

12 ). 5

12 )≤13, 5

∴u 的取值范围是-13≤u≤13.

x2 y2 ? 20.已知点 A(0,-1)及椭圆 =1,在椭圆上求一点 P 使|PA|的值最大. 169 144
【解】∵点 P 在椭圆上,∴设 P 的坐标为(13cosθ ,12sinθ ). ∴|PA|2=(13cosθ )2+(12sinθ +1)2=170-25sin2θ +24sinθ .
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∴当 sinθ =-

? 24 12 481 ? 时,|PA|2 最大,此时 cosθ =± . 2 ? 25 25 25

∴点 P 的坐标为(±

13 481 144 , ). 25 25

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