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课时跟踪检测(三十一) 等差数列及其关n项和



课时跟踪检测(三十一) 等差数列及其前 n 项和

1.(2011· 江西高考){an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和.若 S10=S11,则 a1=( ) B.20 D.24

A.18 C.22

2.(2012· 广州调研)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a5=8,S3=6,则 S10-S7 的值 是( ) A.24 C.60 B.48 D.72 )

3.(2012· 广州联考)等差数列{an}中,a5+a6=4,则 log2(2a1· 2a2· …· 2a10)=( A.10 C.40 B.20 D.2+log25

2 * 4.(2013· 韶关期末)已知数列{an}满足:a1=1,an>0,a2 n+1-an=1(n∈N ),那么使 an<5

成立的 n 的最大值为( A.4 C.24

) B.5 D.25

5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,并且 S10>0,S11<0,若 Sn≤Sk 对 n∈N*恒成立, 则正整数 k 的值为( A.5 C.4 ) B.6 D.7

6.数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N*).若 b3=-2,b10=12, 则 a8=( A.0 C.8 ) B.3 D.11

7.(2012· 广东高考)已知递增的等差数列{an}满足 a1=1,a3=a2 2-4,则 an=________. 8. 已知数列{an}为等差数列, Sn 为其前 n 项和, a7-a5=4, a11=21, Sk=9, 则 k=________. 9.(2013· 清远统考)设等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若对任意自然数 n Sn 2n-3 a9 a3 都有 = ,则 + 的值为________. Tn 4n-3 b5+b7 b8+b4 10.(2011· 福建高考)已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值.

11.(2012· 肇庆联考)设数列{an}的前 n 项积为 Tn,Tn=1-an,
?1? (1)证明?T ?是等差数列; ?
n?

? an ? (2)求数列?T ?的前 n 项和 Sn. ?
n?

12.(2012· 湖北高考)已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和.

1.等差数列中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则该数列前 13 项的和是( A.156 C.26 B.52 D.13

)

2.在等差数列{an}中,a1>0,a10· a11<0,若此数列的前 10 项和 S10=36,前 18 项和 S18 =12,则数列{|an|}的前 18 项和 T18 的值是( A.24 C.60 ) B.48 D.84

3.(2012· 深圳质检)数列{an}满足 an+1+an=4n-3(n∈N*). (1)若{an}是等差数列,求其通项公式; (2)若{an}满足 a1=2,Sn 为{an}的前 n 项和,求 S2n+1.





课时跟踪检测(三十一) A级 1.选 B 由 S10=S11,得 a11=S11-S10=0,a1=a11+(1-11)d=0+(-10)×(-2)=20.

? ? ?a5=a1+4d=8, ?a1=0, 2. 选 B 设等差数列{an}的公差为 d, 由题意可得? 解得? 则 ?S3=3a1+3d=6, ? ? ?d=2,

S10-S7=a8+a9+a10=3a1+24d=48. 3.选 B 依题意得, a1 + a2 + a3 +…+ a10 = 10?a1+a10? = 5(a5 + a6) = 20 ,因此有 2

log2(2a1· 2a2· …· 2a10)=a1+a2+a3+…+a10=20.
2 2 2 2 4.选 C ∵a2 n+1-an=1,∴数列{an}是以 a1=1 为首项,1 为公差的等差数列.∴an=

1+(n-1)=n.又 an>0,∴an= n.∵an<5,∴ n<5.即 n<25.故 n 的最大值为 24. 5.选 A 由 S10>0,S11<0 知 a1>0,d<0,并且 a1+a11<0,即 a6<0,又 a5+a6>0,所以 a5>0,即数列的前 5 项都为正数,第 5 项之后的都为负数,所以 S5 最大,则 k=5. 6.选 B 因为{bn}是等差数列,且 b3=-2, b10=12, 12-?-2? 故公差 d= =2.于是 b1=-6, 10-3 且 bn=2n-8(n∈N*), 即 an+1-an=2n-8. 所以 a8=a7+6=a6+4+6=a5+2+4+6=…=a1+(-6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6 =3.
2 2 7.解析:设等差数列公差为 d,∵由 a3=a2 2-4,得 1+2d=(1+d) -4,解得 d =4,

即 d=± 2.由于该数列为递增数列, 故 d=2. ∴an=1+(n-1)×2=2n-1. 答案:2n-1 8.解析:a7-a5=2d=4,则 d=2.a1=a11-10d=21-20=1, k?k-1? Sk=k+ ×2=k2=9.又 k∈N*, 2 故 k=3. 答案:3 9.解析:∵{an},{bn}为等差数列, ∴ ∵ a9 a3 a9 a3 a9+a3 a6 + = + = = . 2b6 b6 b5+b7 b8+b4 2b6 2b6 S11 a1+a11 2a6 2×11-3 19 = = = = , T11 b1+b11 2b6 4×11-3 41

a6 19 ∴ = . b6 41

19 答案: 41 10.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 则 an=a1+(n-1)d. 由 a1=1,a3=-3,可得 1+2d=-3, 解得 d=-2. 从而 an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知 an=3-2n, n[1+?3-2n?] 所以 Sn= =2n-n2. 2 由 Sk=-35,可得 2k-k2=-35, 即 k2-2k-35=0,解得 k=7 或 k=-5. 又 k∈N*,故 k=7. 11.解:(1)证明:由 Tn=1-an 得, Tn 当 n≥2 时,Tn=1- , Tn-1 1 1 两边同除以 Tn 得 - =1. Tn Tn-1 ∵T1=1-a1=a1, 1 1 1 故 a1= , = =2. 2 T1 a1
?1? ∴?T ?是首项为 2,公差为 1 的等差数列. ?
n?

1 1 (2)由(1)知 =n+1,则 Tn= , Tn n+1 n an 从而 an=1-Tn= .故 =n. n+1 Tn
?an? ∴数列?T ?是首项为 1,公差为 1 的等差数列. ?
n?

n?n+1? ∴Sn= . 2 12.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 则 a2=a1+d,a3=a1+2d.
? ?3a1+3d=-3, 由题意得? ? ?a1?a1+d??a1+2d?=8, ? ? ?a1=2, ?a1=-4, 解得? 或? ?d=-3, ? ? ?d=3.

所以由等差数列通项公式可得

an=2-3(n-1)=-3n+5 或 an=-4+3(n-1)=3n-7. 故 an=-3n+5,或 an=3n-7. (2)当 an=-3n+5 时,a2,a3,a1 分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当 an=3n-7 时,a2,a3,a1 分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.
?-3n+7,n=1,2, ? 故|an|=|3n-7|=? ? ?3n-7,n≥3.

记数列{|an|}的前 n 项和为 Sn. 当 n=1 时,S1=|a1|=4;当 n=2 时, S2=|a1|+|a2|=5; 当 n≥3 时,Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an| =5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7) ?n-2?[2+?3n-7?] 3 2 11 =5+ = n - n+10. 2 2 2 当 n=1 时,不满足此式,当 n=2 时,满足此式. 4,n=1, ? ? 综上,Sn=?3 2 11 ? ?2n - 2 n+10,n>1. B级 1.选 C ∵a3+a5=2a4,a7+a10+a13=3a10, ∴6(a4+a10)=24,故 a4+a10=4. 13?a1+a13? 13?a4+a10? ∴S13= = =26. 2 2 2.选 C 由 a1>0,a10· a11<0 可知 d<0,a10>0,a11<0,故 T18=a1+…+a10-a11-…-

a18=S10-(S18-S10)=60. 3.解:(1)由题意得 an+1+an=4n-3,① an+2+an+1=4n+1,② ②-①得 an+2-an=4, ∵{an}是等差数列,设公差为 d,∴d=2. ∵a1+a2=1,∴a1+a1+d=1, 1 ∴a1=- , 2 5 ∴an=2n- . 2 (2)∵a1=2,a1+a2=1,∴a2=-1. 又∵an+2-an=4,∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差均为 4, ∴a2n-1=4n-2,a2n=4n-5,

S2n + 1 = (a1 + a3 + … + a2n + 1) + (a2 + a4 + … + a2n) = (n + 1)×2 + n?n-1? ×4=4n2+n+2. 2

?n+1?n ×4 + n×( - 1)+ 2



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