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3.4 生活中的优化问题举例(1)



3.4

生活中的优化问 题举例(1)

生活中的优化问题举例
内容:生活中的优化问题 应用: 1.海报版面尺寸的设计 2.圆柱形饮料罐的容积为定值时,所用材料最省问题 3.饮料瓶大小对饮料公司利润有影响

本课主要学习生活中的优化问题。以生活中的实际问题引 入新课。本节课设计从易到难,由浅入深地发现身边的

“数 学”,特别是对采用一题多解,一题多变的变式教学,有利 于培养学生思维的广阔性与深刻性。遵循“提出问题----分 析问题----解决问题”的思维过程,注重引导学生,了解背 景、思考推理、数学建模等活动。本课给出 3 个例题和变式 ,通过解决这些问题,培养学生数学建模的能力。 采用例题与变式结合的方法,通过例 1 探讨如何设计海报 的尺寸,使空白面积最小;例2是饮料罐的容积为定值时 ,如 何确定它的高与底半径,使得所用材料最省;例3是饮料的利 润最大问题.通过这些问题的解决,体会导数在解决实际问 题中的作用,提高将实际问题转化为数学问题的能力.

问题1:学校宣传海报比赛,要求版心面积128dm左右 边距1dm上下边距2dm,请问你将如何设计?

版心

问题2:下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品, 若它们的价格如下表所示,则 (1)对消费者而言,选择哪一种更合算呢? (2)对制造商而言,哪一种的利润更大?
生活中经常遇到求 利润最大、用料最 省、效率最高等问 题,这些问题通常 称为优化问题.

运用什么知 识解决优化 问题

规格(L) 价格(元)

2 5.1

1.25 4.5

0.6 2.5

一般地,若函数y=f (x)在[a,b]上的图象是一条连续不断的 曲线,则求f (x) 的最值的步骤是: (1)求y=f (x)在[a,b]内的极值(极大值与极小值); (2)将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较, 其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 特别地,如果函数在给定区间内只有一个极值点, 则这个极值一定是最值。
y

o

a

x1

x2

x3

x4

b

x

例1:海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。现让 你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报,要求版心面 积为 128dm2 ,上、下两边各空 2dm ,左、右两边各空 1dm ,

如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小?

x

分析:已知版心的面 积,你会如何建立函数 关系表示海报四周的面 积呢?

图3.4-1

128 解 : 设版心的高为xdm, 则版心的宽为 dm, 此时四周空白面积为 x

512 求导数,得S ( x) ? 2 ? 2 x
'

128 512 S ( x) ? ( x ? 4)( ? 2) ? 128 ? 2 x ? ? 8, x ? 0 x x

你还有其他方法 求这个最值吗?

512 令S ( x ) ? 2 ? 2 ? 0 x
'

解得:x ? 16,x ? ?16 (舍)

128 128 于是宽为: ? ?8 x 16

x
S ?( x) S ( x)

(0,16)

16 0

(16, ??)
?
???

当x ?? 0,16?时,s' ? x? ? 0; 当x ??16, ???时,s' ? x ? ? 0.

?
?

极小值

因此,x=16是函数S(x)的极小值,也是最小值点。所以, 当版心高为16dm,宽为8dm时,能使四周空白面积最小。

解法二:由解法(一)得

512 512 S ( x) ? 2 x ? ? 8 ? 2 2x ? ?8 x x

? 2 ? 32 ? 8 ? 72
512 当且仅当2x ? , 即x ? 16( x ? 0)时S 取最小值 x

128 此时y= ?8 16

答:使用版心宽为8dm,长为 16dm时,四周空白面积最小。

1.设出变量找出函数关系式; 确定出定义域; 所得结果符合问题的实际意义。 2.在实际应用题目中,若函数f(x)在定义域内只有一 个极值点 x0 , 则不需与端点比较, f(x0) 即是所求的最 大值或最小值.

(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)

练习1.一条长为 l 的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形, 要使两个正方形的面积和最小,两段铁丝的长度分别是多少?

解:设两段铁丝的长度分别为x,l-x, 其中0<x<l, 则两个正方形面积和为

x 2 l?x 2 1 S ? s1 ? s2 ? ( ) ? ( ) ? (2 x 2 ? 2lx ? l 2 ) 4 4 16 1 1 l S ? ? (4 x ? 2l ) ? (2 x ? l ) 令S ? ? 0, 得x ? 2 16 8
由问题的实际意义可知:

l l2 当x ? 时, S取最小值 . 最小值为 . 32 2

例2:某种圆柱形的饮料罐的容积为定值V时,如何确定它的高 与底半径,使得所用材料最省? 解 :设圆柱的高为h,底面半径为R. 则表面积为 S ( R) ? 2?Rh ? 2?R2 h V 2 则 h ? . 又 V ? ?R (h 定值), 2 R ?R V ? S ( R ) ? 2?R ? 2 ? 2?R 2 ? 2V ? 2?R 2 . ?R R 2V 变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 由S ?( R ) ? ? 2 ? 4?R ? 0. 解得R ? 3 V . S时, R 2? 它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用材料

V V 最省? 3 从而h ? ? 2? 2 ?R 2?

即h=2R.

可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.
答 :罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.

饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?

? 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般 比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理 吗? ? 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?

下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品,若它们 的价格如下表所示,则

(1)对消费者而言,选择哪一种更合算呢?
(2)对制造商而言,哪一种的利润更大?

规格(L) 价格(元)

2 5.1

1.25 4.5

0.6 2.5

例3: 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造 成本是 0.8pr2 分,其中 r 是瓶子的半径,单位是厘米,已知每 出售1ml的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子 的最大半径为6cm, (1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小? 解:由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是

r f '( r ) f (r)

(0,2)

减函数↘

2 0 -1.07?

(2,6]

+
增函数↗

当半径r>2时,f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增,
即半径越大,利润越高; 当半径r<2时,f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减, 即半径越大,利润越低. 1.半径为2cm 时,利润最小,这时 f (2) ? 0 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,

此时利润是负值。
2.半径为6cm时,利润最大。

换一个角度 : 如果 我 们不用导 数工具 ,直接 从函数的图象 (图 1.4 ? 4)上观察,你有什么发现 ?
从 图象上容 易看出 ,当 r ? 3 时, f ?3? ? 0, 即瓶子半径是 3cm 时, 饮料的利润与饮料瓶的 成本恰 好相等;当r ? 3 时,利润才为正值 .

y

2

o

3

r

当r ? ?0,2?时, f ?r ?是减函数 ,你能 解释它的实际意义吗 ?

图1.4-4

由上述例子,我们不难发现,解决优化问题的基本思路是:

优化问题

用函数表示的数学问题

优化问题的答案

用导数解决数学问题

上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。

解决优化问题的一般步骤: (1)审题:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论, 找出问题的主要关系;

(2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识, 建立相应的数学模型; (3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数 学方法求解;
(4)对结果进行验证评估,定性定量分析,做出正确的 判断,确定其答案。

注意:实际应用中,准确地列出函数解析式并确定函数 的定义域是关键。

必做题:

习题 A组

2, 5, 6

选做题:
1.已知:某商品生产成本C与产量q的函数关系式为

C ? 100 ? 4q , 价格p与产量q的函数关系式为
1 p ? 25 ? q ,求产量 q 为何值时,利润 L 最大? 8

1 解:利润L ? pq ? C ? (25 ? q )q ? (100 ? 4 q) 8
1 ? L ' ? ? q ? 21, 令L ' ? 0, 求得q ? 84 4
1 2 ? ? q ? 21q ?100 8

当L ' ? 0时,q ? 84, 当L ' ? 0时,q ? 84,

?当产量q为84时,利润L最大

1 另解:利润L ? pq ? C ? (25 ? q )q ? (100 ? 4q ) 8
1 2 ? ? q ? 21q ? 100 8

b 21 当q ? ? ? ? 84时,L的值最大 2a 1 4

2.一条水渠,断面为等腰梯形,如图所示,在确定 断面尺寸时, 希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时, 使得湿周 l=AB+BC+CD 最小, 这样可使水流阻力小, 渗透少,求此时的高 h 和下底边长 b.

E A h B

D 600

b

C

1 解:由梯形面积公式,得 S= (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC , 2 E D A 3 2 3 DE= h,BC=b∴AD= h+b, 3 3 h 0 1 2 3 3 60 h ? 2b)h ? ( h ? b)h ① ∴ S= ( B C 2 3 3 b h 2 2 ? h ,AB=CD.∴l= h ×2+b② ∵CD= cos30? 3 3

4 3 S 3 S S 3 h? ? h ? 3h ? 由①得 b= ? h,代入②,∴l= 3 h 3 h h 3
S S S S l′= 3 ? 2 =0,∴h= 4 , 当 h< 4 时,l′<0,h> 4 时,l′>0. h 3 3 3

24 3 S ∴h= 4 时,l 取最小值,此时 b= S. 3 3

3. A 、 B 两村距输电线(直线)分别为 1km 和 1.5km(如 CD 长 3 km . . 现两村合用一台变压器供电. 问变压器 图) , 设在何处,输电线总长 AE ? BE 最小.

分析: 法一:这是一个几何最 值问题,本题可用对称 性技巧获得解决.

?
A?

法二:只要能把 AE+BE代数化,问题就易解决

3. A 、 B 两村距输电线(直线)分别为 1km 和 1.5km(如 图) , CD 长 3 km . . 现两村合用一台变压器供电 . 问变压 器设在何处,输电线总长 AE ? BE 最小.
解 设 x 如图,并设输电线总长为 L( x) .

则有 L( x ) ? AE ? EB ? x 2 ? 1 ? (3 ? x )2 ? 1.52 , 0 ≤ x ≤ 3.
L?( x ) ? x (3 ? x )2 ? 1.52 ? (3 ? x ) x 2 ? 1 (3 ? x ) ? 1.5
2 2

?

x ?1
2

? 0,

? x (3 ? x )2 ? 1.52 ? (3 ? x ) x 2 ? 1 , ? 1.25 x 2 ? 6 x ? 9 ? 0. 解得 x ? 1.2 和 x ? ?6 (舍去). 答: ??



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