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2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版 (1) 2



2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷 I)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013 课标全国Ⅰ,理 1)已知集合 A={x|x -2x>0},B={x|- 5 <x< 5 },则( A.A∩B= B.A∪B=R C.B ? A D.A ? B 2.(2013 课标全国Ⅰ,理 2)若复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( ).
2

).

A.-4 C.4 3.(2013 课标全国Ⅰ,理 3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学 生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力 情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ). A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 4. (2013 课标全国Ⅰ, 理 4)已知双曲线 C: 则 C 的渐近线方程为( ).

4 ? B. 5

4 D. 5

x2 y 2 5 ? 2 =1 (a>0, b>0)的离心率为 , 2 2 a b

1 ? x A.y= 4

1 ? x B.y= 3

1 ? x C.y= 2

D.y=±x

5.(2013 课标全国Ⅰ,理 5)执行下面的程序框图,如果输入的 t∈[-1,3],则输出 的 s 属于( ). A.[-3,4] B.[-5,2] C.[-4,3] D.[-2,5] 6.(2013 课标全国Ⅰ,理 6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放 在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积 为( ).

500 π A. 3 cm3 1372π C. 3 cm3

866 π B. 3 cm3 2048π D. 3 cm3
).

7. (2013 课标全国Ⅰ, 理 7)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 Sm-1=-2, Sm=0,Sm+1=3,则 m=( A.3 B.4 C.5 D.6 8.(2013 课标全国Ⅰ,理 8)某几何体的三视图如图所示,则该 几何体的体积为( ). A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π

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全国新课标卷 1 理科数学

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9.(2013 课标全国Ⅰ,理 9)设 m 为正整数,(x+y) 展开式的二项式系数的最大值为 a,(x+y) 的二项式系数的最大值为 b.若 13a=7b,则 m=( ). A.5 B.6 C.7 D.8 10.(2013 课标全国Ⅰ,理 10)已知椭圆 E:
2 2 2 2

2m

2m+1

展开式

x2 y2 ? =1 (a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E a 2 b2
).

于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为(

x y ? =1 A. 45 36

x y ? =1 B. 36 27

x y ? =1 C. 27 18
? ? x 2 ? 2 x,x ? 0, ?ln( x ? 1),x ? 0.

2

2

x2 y2 ? =1 D. 18 9
若|f(x)|≥ax, 则 a 的取值范围是( ).

11. (2013 课标全国Ⅰ, 理 11)已知函数 f(x)= ?

A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0] 12.(2013 课标全国Ⅰ,理 12)设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n=1,2,3,…. 若 b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=

cn ? an b ? an ,cn+1= n ,则( 2 2

).

A.{Sn}为递减数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列

B.{Sn}为递增数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~ 第(24)题为选考题,考生根据要求做答.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
13.(2013 课标全国Ⅰ,理 13)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60°,c=ta+(1-t)b.若 b?c=0, 则 t=__________.

2 1 Sn ? an ? 3 3, 14. (2013 课标全国Ⅰ, 理 14)若数列{an}的前 n 项和 则{an}的通项公式是 an=_______.
15.(2013 课标全国Ⅰ,理 15)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则 cos θ = __________. 16. (2013 课标全国Ⅰ, 理 16)若函数 f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线 x=-2 对称, 则 f(x) 的最大值为__________.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(2013 课标全国Ⅰ,理 17)(本小题满分 12 分)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°. (1)若 PB=

1 ,求 PA; 2

(2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA.

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18.(2013 课标全国Ⅰ,理 18)(本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1 =60°. (1)证明:AB⊥A1C; (2)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.

19.(2013 课标全国Ⅰ,理 19)(本小题满分 12 分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产 品中任取 4 件作检验,这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验, 若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批 产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为

1 ,且各件产品是否为优质品相 2

互独立. (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品的检验费用为 100 元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费 用记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望.

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20.(2013 课标全国Ⅰ,理 20)(本小题满分 12 分)已知圆 M:(x+1) +y =1,圆 N:(x-1) +y =9,动 圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|.

2

2

2

2

21.(2013 课标全国Ⅰ,理 21)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=x +ax+b,g(x)=e (cx+d).若曲线 y =f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2. (1)求 a,b,c,d 的值; (2)若 x≥-2 时,f(x)≤kg(x),求 k 的取值范围.

2

x

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请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的 第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(2013 课标全国Ⅰ,理 22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于 点 D. (1)证明:DB=DC; (2)设圆的半径为 1,BC= 3 ,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径.

23.(2013 课标全国Ⅰ,理 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 ? y ? 5 ? 5sin t

标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2sin θ . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ).

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24.(2013 课标全国Ⅰ,理 24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲:已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x +a|,g(x)=x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (2)设 a>-1,且当 x∈ ? ?

? a 1? , ? 时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. ? 2 2?

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2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国卷 I 新课标)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 答案:B 解析:∵x(x-2)>0,∴x<0 或 x>2. ∴集合 A 与 B 可用图象表示为: 由图象可以看出 A∪B=R,故选 B. 2. 答案:D 解析:∵(3-4i)z=|4+3i|,

5 5(3 ? 4i) 3 4 ? ? ? i. 3 ? 4i (3 ? 4i)(3 ? 4i) 5 5 4 故 z 的虚部为 ,选 D. 5
∴z ? 3. 答案:C 解析:因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜用分层抽样. 4. 答案:C

c 2 a 2 ? b2 5 c 5 2 解析:∵ e ? ? ,∴ e ? 2 ? ? . a 2 a a2 4 b 1 2 2 ∴a =4b , = ? . a 2 b 1 ∴渐近线方程为 y ? ? x ? x . a 2
5. 答案:A 解析:若 t∈[-1,1),则执行 s=3t,故 s∈[-3,3). 2 若 t∈[1,3],则执行 s=4t-t ,其对称轴为 t=2. 故当 t=2 时,s 取得最大值 4.当 t=1 或 3 时,s 取得最小值 3,则 s∈[3,4]. 综上可知,输出的 s∈[-3,4].故选 A. 6. 答案:A 解析:设球半径为 R,由题可知 R,R-2,正方体棱长一半可构成直角三角形,即△OBA 为直角三角形,如 图.

BC=2,BA=4,OB=R-2,OA=R, 2 2 2 由 R =(R-2) +4 ,得 R=5,
所以球的体积为

4 3 500 π5 ? π (cm3),故选 A. 3 3

7. 答案:C 解析:∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3, ∴am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3. ∴d=am+1-am=3-2=1.
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m? m ? 1? m ?1 ?1=0,∴ a1 ? ? . 2 2 m ?1 又∵am+1=a1+m?1=3,∴ ? ?m ? 3. 2
∵Sm=ma1+ ∴m=5.故选 C. 8. 答案:A 解析:由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体,由图中数据可知圆柱底面半径 r=2,长为 4,在 长方体中,长为 4,宽为 2,高为 2,所以几何体的体积为 π r ?4? 9. 答案:B 解析:由题意可知,a= C2 m ,b= C 2 m ?1 , 又∵13a=7b,∴ 13 ? 即
m m
2

1 +4?2?2=8π +16.故选 A. 2

? 2m ? ! ? 2m ? 1?! , =7 ? m !m ! m !? m ? 1?!

13 2m ? 1 .解得 m=6.故选 B. ? 7 m ?1

10. 答案:D 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),∵A,B 在椭圆上,

? x12 y12 ? ? 1, ① ? ? a 2 b2 ∴? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1, ② ? ? a2 b2
①-②,得

? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? =0 , a2 b2 ? y ? y2 ?? y1 ? y2 ? b2 即 2 =? 1 , a ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ?
∵AB 的中点为(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2, 而

y1 ? y2 b2 1 0 ? ??1? 1 =kAB= = ,∴ 2 = . x1 ? x2 a 2 3 ?1 2
2 2 2 2

又∵a -b =9,∴a =18,b =9.

x2 y2 ? =1 .故选 D. ∴椭圆 E 的方程为 18 9
11. 答案:D 解析:由 y=|f(x)|的图象知: ①当 x>0 时,y=ax 只有 a≤0 时,才能满足|f(x)|≥ax,可排除 B,C. 2 2 ②当 x≤0 时,y=|f(x)|=|-x +2x|=x -2x. 2 故由|f(x)|≥ax 得 x -2x≥ax. 当 x=0 时,不等式为 0≥0 成立. 当 x<0 时,不等式等价于 x-2≤a. ∵x-2<-2,∴a≥-2. 综上可知:a∈[-2,0]. 12. 答案:B
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第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~ 第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.答案:2 解析:∵c=ta+(1-t)b, 2 ∴b?c=ta?b+(1-t)|b| . 又∵|a|=|b|=1,且 a 与 b 夹角为 60°,b⊥c, ∴0=t|a||b|cos 60°+(1-t), 0=

1 t +1-t. 2

∴t=2. n-1 14.答案:(-2)

2 1 an ? ,① 3 3 2 1 ∴当 n≥2 时, Sn ?1 ? an ?1 ? .② 3 3 2 2 ①-②,得 an ? an ? an ?1 , 3 3 an 即 =-2. an ?1 2 1 ∵a1=S1= a1 ? , 3 3
解析:∵ Sn ? ∴a1=1. n-1 ∴{an}是以 1 为首项,-2 为公比的等比数列,an=(-2) . 15.答案: ?

2 5 5

解析:f(x)=sin x-2cos x

2 ? 1 ? sin x ? cos x ? , 5 ? 5 ? 1 2 令 cos α = ,sin α = ? , 5 5 则 f(x)= 5 sin(α +x), π 当 x=2kπ + -α (k∈Z)时,sin(α +x)有最大值 1,f(x)有最大值 5 , 2 π 即 θ =2kπ + -α (k∈Z), 2 2 2 5 π ? ? ?π ? ?? 所以 cos θ = cos ? 2kπ+ ? ? ? = cos ? ? ? ? =sin α = ? . 5 2 5 ? ? ?2 ?
= 5? 16.答案:16 解析:∵函数 f(x)的图像关于直线 x=-2 对称, ∴f(x)满足 f(0)=f(-4),f(-1)=f(-3), 即?

?b ? ?15?16 ? 4a ? b ?, ?0 ? ?8?9 ? 3a ? b ?, ? a ? 8, ?b ? 15.
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解得 ?

∴f(x)=-x -8x -14x +8x+15. 3 2 由 f′(x)=-4x -24x -28x+8=0, 得 x1=-2- 5 ,x2=-2,x3=-2+ 5 . 易知,f(x)在(-∞,-2- 5 )上为增函数,在(-2- 5 ,-2)上为减函数,在(-2,-2+ 5 )上为 增函数,在(-2+ 5 ,+∞)上为减函数. ∴f(-2- 5 )=[1-(-2- 5 ) ][(-2- 5 ) +8(-2- 5 )+15] =(-8- 4 5 )(8- 4 5 ) =80-64=16. f(-2)=[1-(-2)2][(-2)2+8?(-2)+15] =-3(4-16+15) =-9.
2 2

4

3

2

f(-2+ 5 )=[1-(-2+ 5 )2][(-2+ 5 )2+8(-2+ 5 )+15]
=(-8+ 4 5 )(8+ 4 5 ) =80-64=16. 故 f(x)的最大值为 16. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解:(1)由已知得∠PBC=60°,所以∠PBA=30°. 在△PBA 中,由余弦定理得 PA = 3 ?
2

1 1 7 ? 2 ? 3 ? cos 30? ? . 4 2 4

故 PA=

7 . 2
3 sin ? ? , sin150? sin(30? ? ? )

(2)设∠PBA=α ,由已知得 PB=sin α . 在△PBA 中,由正弦定理得

化简得 3 cos α =4sin α . 所以 tan α =

3 3 ,即 tan∠PBA= . 4 4

18. (1)证明:取 AB 的中点 O,连结 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB,所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60°, 故△AA1B 为等边三角形, 所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C ? 平面 OA1C,故 AB⊥A1C. (2)解:由(1)知 OC⊥AB,OA1⊥AB. 又平面 ABC⊥平面 AA1B1B,交线为 AB, 所以 OC⊥平面 AA1B1B, 故 OA,OA1,OC 两两相互垂直.

以 O 为坐标原点,OA 的方向为 x 轴的正方向,| OA |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz. 由题设知 A(1,0,0),A1(0, 3 ,0),C(0,0, 3 ),B(-1,0,0). 则 BC =(1,0, 3 ), BB1 = AA1 =(-1, 3 ,0), A1C =(0, ? 3 , 3 ). 设 n=(x,y,z)是平面 BB1C1C 的法向量,

??? ?

??? ?

??? ?

????

????

????

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??? ? ? ?n ? BC ? 0, ? ? x ? 3z ? 0, 则 ? ???? 即? 可取 n=( 3 ,1,-1). ? ?n ? BB1 ? 0, ? ?? x ? 3 y ? 0. ???? ???? 10 n ? A1C 故 cos〈n, A1C 〉= . ???? = ? 5 n A1C
所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为

10 . 5

19. 解:(1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1,第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A2,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1,第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 B2,这批产品通 过检验为事件 A,依题意有 A=(A1B1)∪(A2B2),且 A1B1 与 A2B2 互斥,所以 P(A)=P(A1B1)+P(A2B2) =P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2) =

4 1 1 1 3 ? ? ? ? . 16 16 16 2 64 4 1 11 1 1 ? ? ,P(X=500)= ,P(X=800)= . 4 16 16 16 16
X P
400 500 800

(2)X 可能的取值为 400,500,800,并且

P(X=400)= 1 ?

所以 X 的分布列为

11 16

1 16

1 4

EX= 400 ?

11 1 1 +500 ? +800 ? =506.25. 16 16 4

20. 解:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3. 设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3 的椭圆(左顶点除外), 其方程为

x2 y2 ? =1 (x≠-2). 4 3

(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2, 所以 R≤2,当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2. 2 2 所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2) +y =4. 若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= 2 3 . 若 l 的倾斜角不为 90°, 由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴, 设 l 与 x 轴的交点为 Q, 则 4,0),所以可设 l:y=k(x+4). 由 l 与圆 M 相切得 解得 k= ? 当 k=

| QP | R ? , 可求得 Q(- | QM | r1

| 3k | 1? k 2

=1 ,

2 . 4

x2 y2 2 2 x ? 2 代入 ? =1 , 时,将 y ? 4 4 4 3
2

并整理得 7x +8x-8=0,
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解得 x1,2=

?4 ? 6 2 . 7

所以|AB|= 1 ? k 2 | x2 ? x1 |? 当k ? ?

18 . 7

2 18 时,由图形的对称性可知|AB|= . 4 7 18 综上,|AB|= 2 3 或|AB|= . 7
21. 解:(1)由已知得 f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4. x 而 f′(x)=2x+a,g′(x)=e (cx+d+c), 故 b=2,d=2,a=4,d+c=4. 从而 a=4,b=2,c=2,d=2. 2 x (2)由(1)知,f(x)=x +4x+2,g(x)=2e (x+1). x 2 设函数 F(x)=kg(x)-f(x)=2ke (x+1)-x -4x-2, x x 则 F′(x)=2ke (x+2)-2x-4=2(x+2)(ke -1). 由题设可得 F(0)≥0,即 k≥1. 令 F′(x)=0 得 x1=-ln k,x2=-2. 2 ①若 1≤k<e ,则-2<x1≤0.从而当 x∈(-2,x1)时,F′(x)<0;当 x∈(x1,+∞)时,F′(x)>0.即 F(x)在(-2,x1)单调递减,在(x1,+∞)单调递增.故 F(x)在[-2,+∞)的最小值为 F(x1). 而 F(x1)=2x1+2- x1 -4x1-2=-x1(x1+2)≥0. 故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. 2 2 x -2 ②若 k=e ,则 F′(x)=2e (x+2)(e -e ). 从而当 x>-2 时,F′(x)>0,即 F(x)在(-2,+∞)单调递增. 而 F(-2)=0,故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. 2 -2 -2 2 ③若 k>e ,则 F(-2)=-2ke +2=-2e (k-e )<0. 从而当 x≥-2 时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立. 2 综上,k 的取值范围是[1,e ]. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的 第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22. (1)证明:连结 DE,交 BC 于点 G. 由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE. 而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE. 又因为 DB⊥BE, 所以 DE 为直径,∠DCE=90°, 由勾股定理可得 DB=DC. (2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC, 故 DG 是 BC 的中垂线,所以 BG=
2

3 . 2

设 DE 的中点为 O,连结 BO,则∠BOG=60°. 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°, 所以 CF⊥BF,故 Rt△BCF 外接圆的半径等于 23. 解:(1)将 ?
2

3 . 2

? x ? 4 ? 5cos t , 2 2 消去参数 t,化为普通方程(x-4) +(y-5) =25, ? y ? 5 ? 5sin t
2

即 C1:x +y -8x-10y+16=0.
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将?
2

? x ? ? cos ? , 2 2 代入 x +y -8x-10y+16=0 得 y ? ? sin ? ?

ρ -8ρ cos θ -10ρ sin θ +16=0. 所以 C1 的极坐标方程为 2 ρ -8ρ cos θ -10ρ sin θ +16=0. 2 2 (2)C2 的普通方程为 x +y -2y=0.

? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0, 由? 2 2 ?x ? y ? 2 y ? 0 ? x ? 1, ? x ? 0, 解得 ? 或? ? y ? 1 ? y ? 2.
所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ? 2,

? ?

π? ? π? ? , ? 2, ? . 4? ? 2?

24. 解:(1)当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,

1 ? ? ?5 x , x ? 2 , ? 1 ? 则 y= ? ? x ? 2, ? x ? 1, 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1. ? ?
其图像如图所示.从图像可知,当且仅当 x∈(0,2)时,y<0. 所以原不等式的解集是{x|0<x<2}. (2)当 x∈ ? ?

? a 1? , ? 时,f(x)=1+a. ? 2 2?

不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3.

? a 1? , ? 都成立. ? 2 2? a 4 故 ? ≥a-2,即 a ? . 3 2 4? ? 从而 a 的取值范围是 ? ?1, ? . 3? ?
所以 x≥a-2 对 x∈ ? ?

2013

全国新课标卷 1 理科数学

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