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必修五水平考试复习课件


必修五水平考试复习课件.ppt

第1讲 数列的概念与简单表示法

【复习要求】 1.理解数列的概念与简单表示法。 . 2.熟练掌握求解数列通项公式的基本方法,尤其是已知递推关系求通 项这种基本的方法,另外注意累加法、累积法的灵活应用. 3.掌握已知 Sn 与 an 的关系求 an 等.

基础梳理 1.数列的定义
一定顺序排列着的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列 按照一

的项.

2.数列的分类
分类原则 按项数分类 按项与项间 的大小关系 分类 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数列 有界数列 按其他 标准分类 满足条件 项数 有限 项数 无限 an+1>an an+1< an an+1=an 其中 n∈N*

存在正数M,使|an|≤M an的符号正负相间,如 1,-1,1,-1,?

摆动数列

3.数列的表示法: 数列有三种表示法,它们分别是 列表法、图象法

和解析法.
4.数列的通项公式 如果数列 {a n } 的第 n 项 a n 与 序号n 之间的关系可 以用一个公式 an=f(n) 来表示,那么这个公式叫 做这个数列的通项公式.

(n ? 1) ? S1 , 5. 已知 S n , 则an ? ? .数列{an }中 , 若an ? Sn-Sn-1 , (n ? 2) ?an ? an-1 , ?an ? an-1, 最大 , 则? 若an最小, 则? ?an ? an+1. ?an ? an+1.

一个联系 数列是一种特殊的函数, 即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上 的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数 列.因此,在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数 列方法的特殊性. 两个区别 (1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的两 个数列,这有别于集合中元素的无序性. (2) 数列中的数可以重复出现,而集合中的元素不能重复出现.

三种方法 由递推式求通项 an 的方法: (1)an+1-an=f(n)型,采用叠加法; an+1 (2) =f(n)型,采用叠乘法; an (3)an+1=pan+q(p≠0,1, q≠0)型, 采用待定系数法转化为等比数列解决.

双基自测 1.(人教A版教材习题改编)已知数列{an}的前4项分别为2,0,2,0,则下 列各式不可以作为数列{an}的通项公式的一项是( A.an=1+(-1)
n+1

).

nπ B.an=2sin 2
? ?2,n为奇数 D.an=? ? ?0,n为偶数

C.an=1-cos nπ

解析 根据数列的前4项验证. 答案 B

2.在数列{an}中,a1=1,an=2an- 1+1,则 a5 的值为( A.30 B.31 C.32 D.33 解析

).

a5= 2a4+ 1= 2(2a3+ 1)+ 1= 22a3 + 2+ 1= 23a2+ 22+ 2+ 1= 24a1

+23+22+2+1=31. 答案 B

3.已知 an+1- an-3= 0,则数列{an}是( A.递增数列 C.常数列 解析 B.递减数列 D.不确定

).

∵ an+1- an-3= 0,∴ an+ 1-an= 3> 0,∴an+1>an.

故数列{an}为递增数列. 答案 A

4.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,则 a8 的值为( A.15 B. 16 C.49 D. 64 解析 由于 Sn= n2,∴ a1=S1=1.

).

当 n≥ 2 时,an=Sn-Sn-1= n2-(n-1)2= 2n-1,又 a1=1 适合上式. ∴ an= 2n- 1,∴a8= 2×8- 1=15. 答案 A

5.数列 1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,?中 x 的值为________. 解析 观察数列中项的规律, 易看出数列从第三项开始每一项都是其前

两项的和. 答案 21

考向一

由数列的前几项求数列的通项

【例 1】 ?写出下面各数列的一个通项公式: (1)3,5,7,9,?; 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,?; 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)- 1, ,- , ,- , ,?; 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333,? . [审题视点 ] 先观察各项的特点,然后归纳出其通项公式,要注意项与项之间 的关系,项与前后项之间的关系.



(1)各项减去 1 后为正偶数,所以 an= 2n+1.

(2)每一项的分子比分母少 1,而分母组成数列 21,22,23,24,?,所以 an 2n- 1 = n . 2 (3)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因子(-1)n;各项绝对值 的分母组成数列 1,2,3,4,?;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数 项为 1,偶数项为 3,即奇数项为 2- 1,偶数项为 2+1,所以 an= (-
n 2 + ? - 1 ? 1)n· . n

? 1 ?-n, n为正奇数, 也可写为 an=? ?3 ,n为正偶数 . ?n

9 99 999 9 999 (4)将数列各项改写为: , , , ,?, 3 3 3 3 分母都是 3,而分子分别是 10-1,102-1,103-1,104-1,?,所以 an 1 = (10n-1). 3

根据数列的前几项求通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下 几方面的特征:(1)分式中分子、分母的特征;(2)相邻项的变化特征;(3) 拆项后的特征:把数列的项分成变化的部分和不变的部分;(4)各项符号 特征. 若关系不明显时, 应将部分项作适当的变形, 统一成相同的形式, 让规律凸现出来.

考向二

由 an 与 Sn 的关系求通项 an

【例 2】?已知数列{an}的前 n 项和为 Sn= 3n-1,则它的通项公式为 an = ________. [审题视点] 利用 an=Sn-Sn-1(n≥2)求解. 解析 当 n≥ 2 时,an=Sn- Sn-1=3n- 1-(3n- 1- 1)=2· 3n- 1;当 n= 1

时,a1= S1= 2 也满足 an=2· 3n-1. 故数列{an}的通项公式为 an= 2· 3n 1.


答案

2· 3n-1

?S , n= 1, ? 1 数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an=? ? ?Sn- Sn-1,

n≥2.

当 n=1 时,a1 若适合 Sn-Sn-1,则 n=1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,a1 若不适合 Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.

考向三

由数列的递推公式求通项

【例 3】?根据下列条件,确定数列{an}的通项公式. (1)a1=1,an+1=3an+2; n-1 (2)a1=1,an= a (n≥2); n n- 1 (3)已知数列{an}满足 an+1=an+3n+2,且 a1=2,求 an.



(1)∵ an+ 1= 3an+ 2,∴ an+ 1+ 1= 3(an+ 1),

an+1+ 1 ∴ = 3,∴数列{an+ 1}为等比数列,公比 q= 3, an+ 1 又 a1+ 1=2,∴ an+ 1= 2· 3n 1,∴ an= 2· 3n 1- 1.
- -

n- 1 n- 2 1 (2)∵ an= a (n≥ 2),∴ an- 1 = a - ,?, a2= a1. 以上 (n- 1) n n- 1 2 n- 1 n 2 个式子相乘得 1 2 n- 1 a1 1 an= a1··· ?· = = . 23 n n n (3)∵ an+1-an= 3n+ 2,∴ an- an-1= 3n- 1(n≥ 2), n? 3n+ 1? ∴ an= (an- an-1)+ (an-1- an-2)+?+ (a2- a1)+ a1= (n≥ 2).当 2 1 3 n n= 1 时,a1= × (3× 1+ 1)= 2 符合公式,∴ an= n2+ . 2 2 2

已知数列的递推关系,求数列的通项时,通常用累加、累乘、 构造法求解.当出现 an=an-1+m 时,构造等差数列;当出现 an=xan-
1+ y

时,构造等比数列;当出现 an=an-1+f(n)时,用累加法求解;当

an 出现 =f(n)时,用累乘法求解. an-1

考向四 【例 4】?已知数列{an}的通项

数列性质的应用
?10 ? an=(n+ 1)? ?n(n∈N+ ),试问该数列{an} ?11 ?

有没有最大项?若有,求最大项的项数;若没有,说明理由.



?10 ? + ?10 ? ?10 ? 9- n n 1 n ∵ an+1- an=(n+ 2)? ? -(n+1)? ? =? ?n . ?11 ? ?11 ? ?11 ? 11

当 n< 9 时,an+1-an> 0,即 an+1>an; 当 n= 9 时,an+1-an= 0,即 an+1=an; 当 n> 9 时,an+1-an< 0,即 an+1<an; 故 a1< a2< a3<?< a9= a10> a11>a12>?,所以数列中有最大项为第 9,10 项.

(1)数列可以看作是一类特殊的函数,因此要用函数的知识,函 数的思想方法来解决. (2)数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大项、最小项、数列 有界性问题均可借助数列的单调性来解决,判断单调性时常用①作差 法,②作商法,③结合函数图象等方法.

第2讲 等差数列及其前n项和

【复习要求】 1.理解等差数列的有关概念。 2.掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前 n 项和公式等. 3.掌握等差数列的判断方法,等差数列求和的方法.

基础梳理 1.等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于

同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数 叫做等差数列的 公差 ,通常用字母 d 表示.
2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则其通项公式为 an=

a1+(n-1)d .

3.等差中项 a+ b 如果 A= ,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 2 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广: an=am+

(n-m)d (n,m∈N*).

(2)若 {an}为等差数列,且 m+ n= p+q, 则

am+an=ap+aq

(m,n, p,q∈ N*).

(3)若 {an}是等差数列,公差为 d,则 ak, ak+ m,ak+ 2m,?(k, m∈ N*) 是公差为md 的等差数列.

(4)数列 Sm,S2m- Sm, S3m- S2m,?也是等差数列. (5)S2n-1=(2n- 1)an. nd (6)若 n 为偶数,则 S 偶- S 奇= ; 2 若 n 为奇数,则 S 奇- S 偶= a 中 (中间项 ). 5.等差数列的前 n 项和公式 n? a1+ an? 若已知首项 a1 和末项 an,则 Sn= ,或等差数列 {an}的首项是 2 n? n- 1? a1,公差是 d,则其前 n 项和公式为 Sn= na1+ d. 2

6.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 d 2 ? d? Sn = n + ?a1- ? n ,数列 {an} 是等差数列的充要条件是 Sn = An2 + 2 2? ? Bn(A, B 为常数 ). 7.最值问题 在等差数列{an}中, a1> 0, d< 0,则 Sn 存在最大值 ,若 a1< 0, d > 0,则 Sn 存在 最小值 .

一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前 n 项和公式:

Sn=a1+a2+a3+?+an,① Sn=an+an-1+?+a1,②
①+②得:Sn= 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元. (1) 若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为?, a-2d,a- d,

n a1+an
2

.

a,a+d,a+2d,?.
(2) 若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为?, a-3d,a- d,

a+d,a+3d,?,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.

四种方法 等差数列的判断方法 (1) 定义法:对于 n ≥2 的任意自然数,验证 an-an-1 为同一常数; (2) 等差中项法:验证 2an-1=an +an-2(n≥3 ,n∈N )都成立; (3) 通项公式法:验证 an=pn+q ; (4) 前 n 项和公式法:验证 Sn=An2+Bn. 注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差 数列.
*

双基自测 1. (人教 A 版教材习题改编 )已知 {an}为等差数列, a2+ a8=12,则 a5 等于 ( ).

A. 4 B.5 C.6 D. 7 解析 答案 a2+a8= 2a5,∴a5= 6. C

2.设数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a6= 2 且 S5= 30,则 S8 等于( A. 31 ). B. 32 C. 33 D. 34

解析

26 ? a = ?a + 5d= 2, ? 1 3, ? 1 由已知可得? 解得? ? ?5a1+ 10d= 30, ?d=- 4. 3 ?

8× 7 ∴ S8= 8a1+ d= 32. 2 答案 B

3.(2011· 江西)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn+Sm=Sn+ m,且 a1=1.那么 a10=( ).

A.1 B.9 C.10 D.55 解析 答案 由 Sn+Sm= Sn+ m,得 S1+S9=S10?a10=S10- S9=S1=a1=1. A

4.设 Sn 是等差数列 {an}的前 n 项和,已知 a2=3,a6= 11,则 S7 等于 ( ). B. 35 C. 49 D. 63

A. 13 解析 答案

7? a1+ a7? ∵ a1+ a7=a2+a6= 3+ 11= 14,∴ S7= = 49. 2 C

5.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则 a6=________. 解析 设公差为 d.

则 a5-a2=3d=6, ∴a6=a3+3d=7+6=13. 答案 13

考向一

等差数列基本量的计算

【例 1】 ?(2011· 福建)在等差数列 {an}中, a1= 1,a3=- 3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=- 35,求 k 的值.



(1)设等差数列 {an}的公差为 d,则 an= a1+(n- 1)d.

由 a1= 1,a3=- 3 可得 1+ 2d=- 3. 解得 d=-2.从而, an=1+(n-1)×(- 2)= 3-2n. (2)由 (1)可知 an=3- 2n. n[1+? 3- 2n? ] 所以 Sn= = 2n-n2. 2 进而由 Sk=- 35 可得 2k- k2=- 35. 即 k2- 2k-35= 0,解得 k= 7 或 k=-5. 又 k∈ N*,故 k=7 为所求.

等差数列的通项公式及前 n 项和公式中,共涉及五个量,知 三可求二,如果已知两个条件,就可以列出方程组解之.如果利用等 差数列的性质、几何意义去考虑也可以.体现了用方程思想解决问题 的方法.

考向二

等差数列的判定或证明

【例 2】 ?已知数列 {an}的前 n 项和为 Sn 且满足 an+ 2Sn· Sn-1= 0(n≥ 2), 1 a1= . 2
?1 ? (1)求证:? ?是等差数列; ?Sn?

(2)求 an 的表达式.

(1)证明

∵ an=Sn- Sn- 1(n≥ 2),又 an=- 2Sn· Sn-1,

1 1 ∴ Sn-1- Sn= 2Sn· Sn-1,Sn≠ 0,∴ - = 2(n≥ 2). Sn Sn- 1
?1 ? 1 1 由等差数列的定义知? ?是以 = = 2 为首项, 以 S S a ? n? 1 1

2 为公差的等差数

列. (2)解 1 1 由(1)知 = + (n- 1)d= 2+ (n- 1)× 2= 2n, Sn S1

1 1 ∴ Sn= .当 n≥ 2 时,有 an=- 2Sn× Sn-1=- , 2n 2n? n- 1? ?1 , n= 1, ? 2 1 又∵ a1= ,不适合上式,∴ an=? 1 2 ?- , n≥ 2. ? 2n? n- 1?

等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法,而对于通 项公式法和前 n 项和公式法主要适合在选择题中简单判断.

考向三

等差数列前 n 项和的最值

【例 3】?设等差数列{an}满足 a3=5,a10=- 9. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值.



(1)由 an= a1+(n- 1)d 及 a3=5, a10=- 9 得
? ?a1= 9, 可解得? ? ?d=- 2.

? ?a1+ 2d= 5, ? ? ?a1+ 9d=- 9,

数列{an}的通项公式为 an=11-2n. n? n- 1? (2)由 (1)知, Sn= na1+ d=10n- n2. 2 因为 Sn=- (n- 5)2+ 25,所以当 n= 5 时,Sn 取得最大值.

求等差数列前 n 项和的最值,常用的方法: (1)利用等差数列的单调性或性质,求出其正负转折项,便可求得和的 最值. (2)利用等差数列的前 n 项和 Sn=An2+Bn(A、B 为常数)为二次函数, 根据二次函数的性质求最值.

考向四

等差数列性质的应用

【例 4】 ?设等差数列的前 n 项和为 Sn, 已知前 6 项和为 36, Sn=324, 最后 6 项的和为 180(n>6),求数列的项数 n.



由题意可知 a1+ a2+?+ a6= 36①

an+ an- 1+ an- 2+?+ an-5= 180② ①+②得 (a1+ an)+ (a2+ an- 1)+?+(a6+ an- 5)= 6(a1+ an)= 216. n? a1+ an? ∴ a1+ an= 36.又 Sn= = 324, 2 ∴ 18n= 324. ∴ n= 18. 本题的解题关键是将性质 m+ n= p+ q? am+ an= ap+ aq 与前 n n? a1+ an? 项和公式 Sn= 结合在一起,采用整体思想,简化解题过程. 2

第3讲 等比数列及其前n项和

【复习要求】 1.理解等比数列的有关概念。 2.掌握等比数列的定义与性质、通项公式、前 n 项和公式等. 3.掌握等比数列的判断方法,等差数列求和的方法.

基础梳理 1.等比数列的定义

2项起,每一项与它的前一项的比等于 同一个 常数,那么这 q 个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 公比,通常用字母 表示.
如果一个数列从第 2.等比数列的通项公式

a · qn-1 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an= 1 .

3.等比中项

b(ab≠0) ,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 若 G2=a·
4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广: an= am·q
n- m

,(n, m∈ N+).

(2)若 {an}为等比数列,且 k+ l= m+ n(k, l, m,n∈ N+ ),则

ak· al=am· an .

?1 ? 2 ? ?, (3)若 {an}, {bn}(项数相同 )是等比数列, 则{λan}(λ≠ 0), {an }, {an· bn}, ?an ? ?an? ? ?仍是等比数列. ?bn?

(4)公比不为- 1 的等比数列 {an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn, S2n- Sn, S3n
n q - S2n 仍成等比数列,其公比为 .

5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠ 0),其前 n 项和为 Sn, 当 q= 1 时,Sn= na1; a1? 1- qn? a1- anq 当 q≠ 1 时,Sn= = . 1- q 1- q

一个推导 利用错位相减法推导等比数列的前 n 项和:

Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn-1,
同乘 q 得:qSn=a1 q+a1q +a1 q +?+a1q ,
n a 1 - q 1 两式相减得(1-q) Sn=a1-a1qn ,∴Sn= (q≠ 1). 1-q
2 3

n

两个防范 (1) 由 an+1=qan, q≠0 并不能立即断言{an}为等比数列, 还要验证 a1≠0. (2) 在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q=1 与 q≠ 1 分类 讨论,防止因忽略 q= 1 这一特殊情形导致解题失误.

三种方法 等比数列的判断方法有:

an+1 an (1) 定义法:若 =q (q 为非零常数 )或 =q(q 为非零常数且 n≥2 an an-1
且 n∈ N*),则{an }是等比数列. (2) 中项公式法:在数列{an}中, an≠0 且 an+1=an·an+2 (n∈N ),则数 列{an }是等比数列. (3) 通项公式法:若数列通项公式可写成 an=c·qn(c ,q 均是不为 0 的 常数, n∈N*),则{ an}是等比数列. 注:前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列.
2 *

双基自测 1. (人教 A 版教材习题改编 )在等比数列 {an}中,如果公比 q<1,那么 等比数列{an}是( A.递增数列 C.常数列 解析 ). B.递减数列 D.无法确定数列的增减性

当 a1> 0,0<q< 1,数列{an}为递减数列,

当 q< 0,数列{an}为摆动数列. 答案 D

1 2.已知 {an}是等比数列, a2= 2, a5= ,则公比 q 等于 ( 4 1 A.- 2 解析 答案 B.- 2 C. 2 1 D. 2

).

a5 1 1 由题意知: q3= = ,∴ q= . a2 8 2 D

3.在等比数列{an}中,a4=4,则 a2· a6 等于( A.4 B.8 C.16 D.32 解析 答案
2 由等比数列的性质得: a2a6=a4 =16.

).

C

S5 4.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和, 8a2+ a5=0,则 = ( S2 A.- 11 B.- 8 C. 5 D.11 解析

).

设等比数列的首项为 a1,公比为 q.因为 8a2+ a5= 0,所以 8a1q

+ a1q4= 0. ∴ q3+ 8=0,∴ q=- 2,
5 S5 a1? 1- q ? 1- q ∴ = · S2 1- q a1? 1- q2?

1- q5 1-?- 2?5 = = =- 11. 1- q2 1- 4 答案 A

5. (2011· 广东 )等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1= 1, ak + a4= 0,则 k= ________. 解析 9× 8 设{an}的公差为 d,由 S9= S4 及 a1= 1,得 9× 1+ d= 4× 1 2

? ? 1? ? 4× 3 1 + d , 所 以 d = - . 又 ak + a4 = 0 , 所 以 ?1+? k- 1?×?- ? ? + 2 6 ? ? 6? ? ? ? 1? ?1+? 4- 1?×?- ? ? ? 6?

]= 0,即 k= 10.

答案

10

考向一

等比数列基本量的计算

【例 1】? (2011· 全国)设等比数列 {an}的前 n 项和为 Sn,已知 a2= 6,6a1 + a3= 30.求 an 和 Sn. [审题视点 ] 列方程组求首项 a1 和公差 d. 解 设 {an}的公比为
? ?a1q= 6, q,由题设得? 2 ? ?6a1+ a1q = 30,

? ?a1= 3, 解得? ? ?q= 2

? ?a1= 2, 或? ? ?q= 3.


当 a1= 3, q= 2 时, an= 3· 2n 1, Sn= 3· (2n- 1); 当 a1= 2, q= 3 时, an= 2· 3n 1, Sn= 3n- 1.


等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列 中有五个量 a1,n,q,an,Sn 一般可以“知三求二”,通过列方程(组) 可迎刃而解.

考向二

等比数列的判定或证明

an+an+ 1 【例 2】 ?已知数列 {an}满足 a1=1, a2= 2, an+2= ,n∈N*. 2 (1)令 bn=an+1- an,证明: {bn}是等比数列; (2)求 {an}的通项公式.

(1)证明

b1=a2-a1=1.

an-1+an 1 1 当 n≥ 2 时, bn=an+1- an= -an=- (an- an-1)=- bn-1, 2 2 2 1 ∴{bn}是以 1 为首项,- 为公比的等比数列. 2

(2)解

由(1)知

? 1? - bn= an+ 1-an=?- ?n 1, ? 2?

当 n≥ 2

? 1? 时, an=a1+ (a2- a1)+(a3-a2)+?+ (an- an- 1)=1+ 1+?- ? ? 2?

? 1? - +?+?- ?n 2 ? 2? ? 1? - 1-?- ?n 1 2? ? 1 ?n-1? ? 2? = 1+ =1+ ?1- ?- ? ? ? 1? 3? ? 2 ? ? 1-?- ? ? 2?

5 2? 1?n-1 = - ?- ? . 3 3? 2? 5 2? 1 ?1-1 当 n= 1 时, - ?- ? = 1= a1, 3 3? 2 ? 5 2? 1?n- 1 ∴ an= - ?- ? (n∈ N*). 3 3? 2?

证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方 法只用于选择、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只 要证明存在连续三项不成等比数列即可.

考向三

等比数列的性质及应用

【例 3】?已知等比数列前 n 项的和为 2,其后 2n 项的和为 12,求再 后面 3n 项的和. [审题视点 ] 利用等比数列的性质:依次 n 项的和成等比数列.

∵Sn=2,其后2n项为S3n-Sn=S3n-2=12, ∴S3n=14. 由等比数列的性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列, 即(S2n-2)2=2· (14-S2n)解得S2n=-4,或S2n=6.



当 S2n=- 4 时, Sn, S2n- Sn,S3n- S2n,?是首项为 2,公比为- 3 的 等比数列, 则 S6n= Sn+ (S2n- Sn)+?+ (S6n-S5n)=- 364, ∴再后 3n 项的和为 S6n-S3n=- 364- 14=- 378. 当 S2n= 6 时,同理可得再后 3n 项的和为 S6n- S3n= 126- 14= 112. 故所求的和为- 378 或 112. 本题利用了等比数列的性质中的第 4 条,其和 Sn, S2n- Sn, S3n- S2n 成等比数列,若把数列{an}平均分成若干组,其积也为等比数 列.

第4讲 数列求和

【复习要求】 1.熟练掌握和应用等差、等比数列的前 n 项和公式. 2.熟练掌握常考的错位相减法,裂项相消以及分组求和这些基本方法, 注意计算的准确性和方法选择的灵活性.

基础梳理 数列求和的常用方法 1.公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和 (1)等差数列的前 n 项和公式: n? a1+an? n? n-1? Sn= =na1+ d; 2 2 (2)等比数列的前 n 项和公式: ?na1,q=1, ? Sn=?a1-anq a1? 1-qn? ? 1-q = 1-q ,q≠1. ?

2.倒序相加法 如果一个数列 {an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等 于同一个常数,那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法,如等差 数列的前 n 项和公式即是用此法推导的. 3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构 成的,那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求,如等比数列的前 n 项 和公式就是用此法推导的. 4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从 而求得其和.

5.分组转化求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组 成,则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减. 6.并项求和法 一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 an = (- 1)nf(n)类型,可采用两项合并求解. 例如, Sn= 1002- 992+982-972+?+ 22-12= (100+ 99)+ (98+97)+? + (2+ 1)= 5 050.

一种思路 一般数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通项,然后通过对通项 变形,转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式,从而选 择合适的方法求和. 两个提醒 在利用裂项相消法求和时应注意: (1) 在把通项裂开后,是否恰好等于相应的两项之差; (2) 在正负项抵消后,是否只剩下了第一项和最后一项,或有时前面剩下 两项,后面也剩下两项.

三个公式 1 1 1 (1) = - ; n n? n+1? n+ 1
? 1 1? ? 1 - 1 ? (2) = ?; 2 n - 1 2 n + 1 ? 2n-1??2n+1? 2? ? ?

(3)

1 n+ n+ 1

= n+1- n.

双基自测 1 1. (人教 A 版教材习题改编 )等比数列 {an}的公比 q= , a8= 1,则 S8= 2 ( A. 254 解析 B. 255 C. 256 D. 257 ).

1 由 a8= 1, q= 得 a1= 27, 2
7

a1? 1- q8? 2 ∴ S8= = 1- q 答案 B

? ?1 ?8 ? ?1-? ? ? ? ?2 ? ?

1 1- 2

= 28- 1= 255.

2. 等差数列 {an}的通项公式为 an= 2n+ 1, 其前 n 项的和为 的前 10 项的和为 ( A. 120 C. 75 解析 B. 70 D. 100 n? 3+ 2n+ 1? S ∵Sn= = n(n+ 2),∴ n= n+ 2. 2 n 10 项的和为: (1+ 2+? + 10)+ 20= 75. ).

?Sn ? Sn, 则数列? ? ?n ?

?Sn ? ∴数列? ?前 ?n ?

答案

C

3.设数列{(- 1)n}的前 n 项和为 Sn,则对任意正整数 n, Sn=( n[?- 1?n- 1] A. 2 ?- 1?n+ 1 C. 2 解析 ?- 1?n-1+ 1 B. 2 ?- 1?n- 1 D. 2

).

因为数列 {(- 1)n}是首项与公比均为- 1 的等比数列,所以 Sn=

- 1-?- 1?n×?- 1? ?- 1?n- 1 = . 2 1-?- 1? 答案 D

4.若 Sn=1-2+3-4+?+(-1)n 1· n,S50=________.


解析

S50=1-2+3-4+?+49-50

=(-1)×25=-25. 答案 -25

考向一

公式法求和

【例 1】?已知数列{an}是首项 a1= 4,公比 q≠ 1 的等比数列,Sn 是其 前 n 项和,且 4a1, a5,-2a3 成等差数列. (1)求公比 q 的值; (2)求 Tn= a2+ a4+ a6+?+ a2n 的值.



(1)由题意得 2a5= 4a1- 2a3.

∵ {an}是等比数列且 a1= 4,公比 q≠ 1, ∴ 2a1q4= 4a1- 2a1q2,∴ q4+q2- 2= 0, 解得 q2=- 2(舍去 )或 q2= 1,∴ q=- 1. (2)∵ a2, a4,a6,?, a2n 是首项为 a2= 4× (-1)=- 4,公比为 q2= 1 的 等比数列,∴Tn=na2=- 4n. 应用公式法求和时,要保证公式使用的正确性,尤其要区分好 等差数列、等比数列的通项公式及前 n 项和公式.

考向二

分组转化求和

【例 2】?已知数列 {xn}的首项 x1= 3,通项 xn=2np+ nq(n∈ N*, p, q 为 常数 ),且 x1, x4, x5 成等差数列.求: (1)p, q 的值; (2)数列{xn}前 n 项和 Sn 的公式.



(1)由 x1= 3,得 2p+q=3,又因为 x4=24p+ 4q,x5= 25p+5q,且 x1

+x5=2x4,得 3+25p+5q=25p+8q,解得 p=1,q=1. (2)由(1),知 xn=2n+n,所以 Sn=(2+22+?+ 2n)+ (1+2+?+n)= 2n+
1

n? n+1? - 2+ . 2 对于不能由等差数列、等比数列的前 n 项和公式直接求和的问

题,一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分,转化成若干个等差数 列、等比数列的求和.

考向三

裂项相消法求和
? ? ?

1 2 ? 【例 3】 ? 在数列 {an}中, a1= 1, 当 n≥ 2 时, 其前 n 项和 Sn 满足 Sn= an Sn- ?. 2? (1)求 Sn 的表达式; S (2)设 bn= n ,求 {bn}的前 n 项和 Tn. 2n+ 1



1 2 (1)∵ Sn = an?Sn- ?, an= Sn- Sn-1(n≥ 2),
?

?

?

2?

1 ? ?, ∴ S2 = ( S - S ) S - - n n n 1 n
?

?

?

2?

即 2Sn-1Sn= Sn-1- Sn,① 由题意 Sn-1· Sn≠ 0, 1 1 ①式两边同除以 Sn- 1· Sn,得 - = 2, Sn Sn- 1
?1 ? 1 1 ? ? ∴数列 是首项为 = = 1,公差为 S1 a1 ?Sn ?

2 的等差数列.

1 1 ∴ = 1+ 2(n- 1)= 2n- 1,∴ Sn= . Sn 2n- 1 Sn 1 (2)又 bn= = 2n+ 1 ? 2n- 1??2n+ 1? 1 ? 1? ? 1 ? - = ? , 2?2n- 1 2n+ 1 ? ?

∴Tn=b1+ b2+?+bn
? 1 ? ? 1 ? 1 ? ?1 1? 1? ? ? ?? - = ??1- ?+? - ?+?+? ?? 2?? 3 ? ?3 5? ?2n- 1 2n+ 1? ? ? 1? n ?1- 1 ? = ? = . 2? 2n+1? ? 2n+ 1

使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留 了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点, 实质上造成正负相消是此法的根源与目的.

考向四

错位相减法求和

【例 4】 ?(2011· 辽宁)已知等差数列 {an}满足 a2=0, a6+ a8=- 10. (1)求数列{an}的通项公式;
? ? an ? ? (2)求数列? n-1?的前 ? ? ?2 ?

n 项和.



(1)设等差数列 {an}的公差为

?a + d= 0, ? 1 d,由已知条件可得? ? ?2a1+ 12d=- 10,

? ?a1= 1, 解得? ? ?d=- 1.

故数列 {an}的通项公式为 an= 2- n.
? ? an ? ? (2)设数列? n-1?的前 ? ? ?2 ?

n 项和为 Sn,

an 2- n 1 n ∵ n-1= n-1 = n-2- n-1, 2 2 2 2
? ? 1 1 1 ? 2 3 n ? ? ? ? ∴ Sn=?2+ 1+2+22+?+ n-2?-?1+ 2+22+?+ n-1? ?. 2 2 ? ? ? ?

2 3 n 记 Tn= 1+ + 2+?+ n-1,① 2 2 2 1 1 2 3 n 则 Tn= + 2+ 3+?+ n,② 2 2 2 2 2

1 1 1 1 n ①-②得: Tn= 1+ + 2+?+ n-1- n, 2 2 2 2 2 1 1 2n n ∴ Tn= - . 2 1 2n 1- 2 1- 即
? 1? n ? Tn= 4 1- n?- n-1. 2? 2 ? ? ?1 ?n? 2?1- ?2 ? ? ? ? ? ?

∴ Sn=

1 1- 2

? 1? n ? ? - 4 1- n + n - 1 2? 2 ?

? 1? ? 1? n ? ? ? ? = 4 1- n - 4 1- n + n-1 2? ? 2? 2 ?



. 2n-1

n

用错位相减法求和时,应注意 (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形; (2) 在写出 “Sn”与 “qSn”的表达式时应特别注意将两式 “错项对齐 ”以便 下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.

第5讲 不等关系与不等式

【复习要求】 1.理解不等式的性质,掌握一元二次不等式的解法 2.不等式的性质是解(证)不等式的基础,关键是正确理解和运用,要弄 清条件和结论。 3.掌握一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题.

基础梳理 1.不等式的定义 在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号

>、<、≥、≤、≠
2.比较两个实数的大小

连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系,

含有这些不等号的式子,叫做不等式.

两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的,有 a-b>0? b=0?

a>b ;a-

a=b

;a-b<0?

a a . 另外,若 b > 0 ,则有 > 1 ? a > b ; = a<b b b

a 1?a=b; <1?a<b. b

3.不等式的性质 (1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性:a>b,b>c? a>c ; (3)可加性:a>b?a+c > b+c,a>b,c>d?a+c>b+d; (4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b>0,c>d>0?ac>bd; (5)可乘方:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2); (6)可开方:a>b>0? a> b(n∈N,n≥2). n n

4.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式 ax2+ bx+c>0(a>0)或 ax2+bx+c<0(a>0). (2)求出相应的一元二次方程的根. (3)利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集.

5.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如下表:

判别式Δ= b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx +c (a>0)的图 象

Δ>0

Δ=0

Δ<0

一元二次方程 ax +bx+c= 0(a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
2

有两相等 有两相异实根 x1,x2(x1<x2) 实根 x1=x2 b =- 2a
? ? b? ? ?x|x≠- ? ? 2a ? ? ?

没有 实数 根 R

{x|x>x2 或 x<x1}

{x|x1<x<x2}

?

?

二个技巧 1.作差法变形的技巧:作差法中变形是关键,常进行因式分解或配方.

2.一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集的确定受a的符 号、b2-4ac的符号的影响,且与相应的二次函数、一元二 次方程有密切联系,可结合相应的函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象,数形结合求得不等式的解集.若一元二次不等式经 过不等式的同解变形后,化为ax2+bx+c>0(或<0)(其中a >0)的形式,其对应的方程ax2+bx+c=0有两个不等实根 x1,x2,(x1<x2)(此时Δ=b2-4ac>0),则可根据“大于 取两边,小于夹中间”求解集.

两条常用性质 (1)倒数性质: 1 1 ①a>b,ab>0? < ; a b 1 1 ②a<0<b? < ; a b a b ③a>b>0,0<c<d? > ; c d 1 1 1 ④0<a<x<b 或 a<x<b<0? < < . b x a (2)若 a>b>0,m>0,则 ①真分数的性质: b b+m b b-m < ; > (b-m>0); a a+m a a-m ②假分数的性质: a a+m a a-m > ; < (b-m>0). b b+m b b-m

两个防范 (1)二次项系数中含有参数时,参数的符号影响不等式的解集;不要忘 了二次项系数是否为零的情况; (2)解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进 行分类讨论;若不能因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不 重不漏.

双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)给出下列命题:①a>b?ac2>bc2;②a>|b| ?a2>b2;③a>b?a3>b3;④|a|>b?a2>b2.其中正确的命题是( A.①② B.②③ C.③④ 解析 D.①④ ).

当 c=0 时,ac2=bc2,∴①不正确;a>|b|≥0,a2>|b|2=b2,∴
3 3 2 2

②正确; a -b =(a-b)(a +ab+b

?? ? 1 ? ?? ? 2 3 2? )=(a-b)· ∴③正 ??a+2b? +4b ?>0, ? ?? ?

确;取 a=2,b=-3,则 |a|>b,但 a2=4<b2=9,∴④不正确. 答案 B

2.(2011· 广东)不等式 2x2-x-1>0 的解集是(
? 1 ? ? A.?- ,1? ? ? 2 ?

).

B.(1,+∞)
? 1? ? D.?-∞,- ? ∪(1,+∞) 2? ? ?

C.(-∞,1)∪(2,+∞) 解析

∵2x2-x-1=(x-1)(2x+1)>0,

1 ∴x>1 或 x<- . 2
? 1? ? 故原不等式的解集为?-∞,- ? ∪(1,+∞). 2? ? ?

答案

D

3.已知 a>b,c>d,且 c,d 不为 0,那么下列不等式成立的是( A.ad>bc B.ac>bd C.a-c>b-d 解析 答案 D.a+c>b+d

).

由不等式性质知:a>b,c>d?a+c>b+d. D

4.若不等式 ax +bx-2<0 A.-28 B.-26 解析 C.28

2

? ? ? 1? ? 的解集为?x|-2<x< ? ,则 ? 4? ?

ab=(

).

D.26

1 ∵ x = - 2 , 是 方 程 ax2 + bx - 2 = 0 的 两 根 , ∴ 4

?-2 1 1 = ? - 2 ? × =- , ? a 4 2 ? ?-b=-7, 4 ? a ∴a=4,b=7.∴ab=28. 答案 C

5.不等式 ax2+2ax+1≥0 对一切 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围 为________. 解析 当 a=0 时,不等式为 1≥0 恒成立; 当 a≠0
? ?a>0, 时,须? ? ?Δ≤0, ? ?a>0, 即? 2 ? ?4a -4a≤0.

∴0<a≤1,综上 0≤a≤1. 答案 [0,1]

考向一

比较大小

【例 1】?已知 a,b,c 是实数,试比较 a2+b2+c2 与 ab+bc+ca 的大小. 1 ∵a +b +c -(ab+bc+ca)= [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0, 2
2 2 2



当且仅当 a=b=c 时取等号. ∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 比较大小的方法常采用作差法与作商法, 但题型为选择题时可以用 特殊值法来比较大小.

考向二

不等式的性质

a b 【例 2】?若 a>0>b>-a,c<d<0,则下列命题:(1)ad>bc;(2) + d c <0;(3)a-c>b-d;(4)a· (d-c)>b(d-c)中能成立的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 ).

[审题视点] 利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假.

解析

∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0,∴ad<bc,

∴(1)错误. ∵a>0>b>-a,∴a>-b>0, ∵c<d<0,∴-c>-d>0, ∴a(-c)>(-b)(-d), a b ac+bd ∴ac+bd<0,∴ + = <0,∴(2)正确. d c cd ∵c<d,∴-c>-d,∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d), a-c>b-d,∴(3)正确. ∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c),∴(4)正确,故选 C. 答案 C

在判断一个关于不等式的命题真假时, 先把要判断的命题和不 等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题 真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比如对数函数,指数函数的 性质等.

考向三 不等式性质的应用 【例 3】?已知函数 f(x)=ax2+bx,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.求 f(-2) 的取值范围. [审题视点] 可利用待定系数法寻找目标式 f(-2)与已知式 f(-1),f(1) 之间的关系,即用 f(-1),f(1)整体表示 f(-2),再利用不等式的性质求 f(-2)的范围.



f(-1)=a-b,f(1)=a+b.f(-2)=4a-2b.

设 m(a+b)+n(a-b)=4a-2b.
? ?m+n=4, ∴? ? ?m-n=-2, ? ?m=1, ∴? ? ?n=3.

∴f(-2)=(a+b)+3(a-b)=f(1)+3f(-1). ∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤f(-2)≤10. 由 a<f(x,y)<b,c<g(x,y)<d,求 F(x,y)的取值范围,可 利用待定系数法解决,即设 F(x,y)=mf(x,y)+ng(x,y),用恒等变形 求得 m,n,再利用不等式的性质求得 F(x,y)的取值范围.

【训练3】 解

?-1≤α+β≤1, ? 若α,β满足? ? ? 1≤α+2β≤3,

试求α+3β的取值范围.

设α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β.
? ?x=-1, 解得? ? ?y=2.

? ?x+y=1, 由? ? ?x+2y=3,

∵-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6, ∴两式相加,得1≤α+3β≤7.

考向四 【例 4】?已知函数

一元二次不等式的解法 解不等式 f(x)>3.

2 ? ?x +2x,x≥0, f(x)=? 2 ? ?-x +2x,x<0,

[审题视点] 对 x 分 x≥0、x<0 进行讨论从而把 f(x)>3 变成两个不等 式组. 解
? ?x≥0, 由题意知? 2 ? ?x +2x>3 ? ?x<0, 或? 2 ? ?-x +2x>3,

解得:x>1.

故原不等式的解集为{x|x>1}.

解一元二次不等式的一般步骤是:(1)化为标准形式;(2)确定 判别式 Δ 的符号;(3)若 Δ≥0,则求出该不等式对应的二次方程的根, 若 Δ<0,则对应的二次方程无根;(4)结合二次函数的图象得出不等式 的解集.特别地,若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式, 则可立即写出不等式的解集.

考向五

含参数的一元二次不等式的解法

【例 5】?求不等式 12x2-ax>a2(a∈R)的解集. [审题视点] 先求方程 12x2-ax=a2 的根,讨论根的大小,确定不等式 的解集. 解 ∵12x2-ax>a2,∴12x2-ax-a2>0,

即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0, a a 得:x1=- ,x2= . 4 3
? ? a a? ? a a ? ①a>0 时,- < ,解集为?x|x<-4或x>3? ; ? 4 3 ? ?

②a=0 时,x2>0,解集为{x|x∈R 且 x≠0};
? ? a a? ? a a x|x< 或x>- ?. ③a<0 时,- > ,解集为? ? 3 4? 4 3 ? ?

综上所述:当 a>0

? ? ? a a? ? 时,不等式的解集为?x|x<-4或x>3? ; ? ? ?

当 a=0 时,不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠0}; 当 a<0
? ? a a? ? x|x< 或x>- ?. 时,不等式的解集为? ? 3 4? ? ?

解含参数的一元二次不等式的一般步骤: (1)二次项若含有参数应讨论是等于 0,小于 0,还是大于 0,然后将不 等式转化为二次项系数为正的形式. (2)判断方程的根的个数,讨论判别式 Δ 与 0 的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的 大小关系,从而确定解集形式.

考向六

不等式恒成立问题

【例 6】?已知不等式 ax2+4x+a>1-2x2 对一切实数 x 恒成立,求实 数 a 的取值范围. [审题视点] 化为标准形式 ax2+bx+c>0 后分 a=0 与 a≠0 讨论.当 a≠0
? ?a>0, 时,有? 2 ? ?Δ=b -4ac<0.

解 原不等式等价于(a+2)x2+4x+a-1>0 对一切实数恒成立,显然 a=-2 时,解集不是 R,因此 a≠-2,
? ?a+2>0, 从而有? 2 ? Δ = 4 -4?a+2??a-1?<0, ? ? ?a>-2, 整理,得? ? ??a-2??a+3?>0, ? ?a>-2, 所以? ? ?a<-3或a>2,

所以 a>2. 故 a 的取值范围是(2,+∞).

不等式 ax2+bx+c>0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a=0 时,b=0,c>0;当 a≠0
? ?a>0, 时,? ? ?Δ<0;

不等式 ax2+bx+c<0 的

解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a=0 时,b=0,c<0;当 a≠0 时,
? ?a<0, ? ? ?Δ<0.

第六讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

【复习要求】 1.理解二元一次不等式(组)与平面区域的关系,能作出二元一次不等式 (组)表示的平面区域 2.掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域). 3.理解目标函数的几何意义,掌握解决简单线性规划问题的方法(图解 法)。

基础梳理 1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,直线 l:ax+by+c=0 把直角坐标平面分成了三个部分: ①直线 l 上的点(x,y)的坐标满足 ax+by+c=0 ; ②直线 l 一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足 ax+by+c>0; ③直线 l 另一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足 ax+by+c<0. 所以,只需在直线 l 的某一侧的平面区域内,任取一特殊点(x0,y0),从 ax0 +by0+c 值的正负,即可判断不等式表示的平面区域.

(2)由于对直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y) 代入 Ax+By+C 所得到实数的符号都 相同 ,所以只需在此直线的某一

符号 即可判断 Ax+By+C 侧取一个特殊点(x0,y0),由 Ax0+By0+C 的
>0 表示直线 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域.

2.线性规划相关概念









目标函 数

欲求 最大值 或 最小值 的函数

约束条件 线性约 束条件 线性目 标函数 可行解 可行域 最优解
线性规 划问题

目标函数中的变量所要满足的不等式组
由x,y的一次不等式(或方程)组成的不 等式组 目标函数是关于变量的一次函数

满足 线性约束条件 的解 所有 可行解 组成的集合 使目标函数取得最大值 或 最小值 的点 的坐标 在线性约束条件下,求线性目标函数的 最大值 或 最小值 问题

一种方法 确定二元一次不等式表示的平面区域时,经常采用 “直线定界,特殊点 定域”的方法. (1)直线定界,即若不等式不含等号,则应把直线画成虚线;若不等式含 有等号,把直线画成实线. (2)特殊点定域,即在直线 Ax+By+C=0 的某一侧取一个特殊点(x0,y0) 作为测试点代入不等式检验,若满足不等式,则表示的就是包括该点的 这一侧,否则就表示直线的另一侧.特别地,当 C≠0 时,常把原点作为 测试点;当 C=0 时,常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点.

一个步骤 利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是: (1)在平面直角坐标系内作出可行域; (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形; (3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定 最优解; (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.

两个防范 (1)画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准 化. (2)求二元一次函数 z=ax+by(ab≠0)的最值, 将函数 z=ax+by 转化为直 a z z 线的斜截式: y=- x+ ,通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最 b b b z z 值.要注意:当 b>0 时,截距 取最大值时,z 也取最大值;截距 取最 b b z 小值时,z 也取最小值;当 b<0 时,截距 取最大值时,z 取最小值;截 b z 距 取最小值时,z 取最大值. b

双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影部分),用不等式 表示为( ).

A.2x-y-3<0 B.2x-y-3>0 C.2x-y-3≤0 D.2x-y-3≥0 解析 将原点(0,0)代入 2x-y-3 得 2×0-0-3=-3<0, 所以不等式为 2x-y-3>0. 答案 B

2.下列各点中,不在 x+y-1≤0 表示的平面区域内的点是( A.(0,0) B.(-1,1) 解析 答案 C.(-1,3) D.(2,-3)

).

逐一代入得点(-1,3)不在 x+y-1≤0 表示的平面区域内. C

3.如图所示,阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是 ( ).

? ?x+y-1≥0 A.? ? ?x-2y+2≥0 ? ?x+y-1≥0 C.? ? ?x-2y+2≤0

? ?x+y-1≤0 B.? ? ?x-2y+2≤0 ? ?x+y-1≤0 D.? ? ?x-2y+2≥0

解析

两条直线方程为:x+y-1=0,x-2y+2=0.

将原点(0,0)代入 x+y-1 得-1<0, 代入 x-2y+2 得 2>0, 即点(0,0)在 x-2y+2≥0 的内部, 在 x+y-1≤0 的外部,
? ?x+y-1≥0, 故所求二元一次不等式组为? ? ?x-2y+2≥0.

答案

A

4.(2011· 安徽)设变量 x,y 满足|x|+|y|≤1,则 x+2y 的最大值和最小值 分别为( ).

A.1,-1 B.2,-2 C.1,-2 D.2,-1 解析 法一 特殊值验证:当 y=1,x=0 时,x+2y=2,排除 A,C; 当 y=-1,x=0 时,x+2y=-2,排除 D,故选 B. 法二 直接求解:如图,先画出不等式|x|+|y|≤1 表示的平面区域,易知 当直线 x+2y=u 经过点 B, D 时分别对应 u 的最大值和最小值, 所以 umax =2,umin=-2.
答案 B

考向一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 ? ?x≥0 ?y≥0, 【例 1】?(2011· 湖北)直线 2x+y-10=0 与不等式组? ?x-y≥-2, ? ?4x+3y≤20 表示的平面区域的公共点有( A.0 个 B.1 个 C.2 个 ). D.无数个

解析 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分). 直线 2x+y-10=0 恰过点 A(5,0),

4 且斜率 k=-2<kAB=- , 即直线 2x+y-10=0 与平面区域仅有一个公 3 共点 A(5,0). 答案 B 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集 的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

考向二 求线性目标函数的最值 【例 2】?(2011· 广东)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ?0≤x≤ 2, ? ?y≤2, ? ?x≤ 2y

给定.若 M(x,y)为 D 上的动点,点 A 的坐标为( 2,

→· 1)则 z=OM O→ A 的最大值为(
A.3 B.4 C.3 2 D.4 2

).

解析

→· 画出区域 D,如图中阴影部分所示,而 z=OM O→ A = 2x+y,∴

y=- 2x+z,令 l0:y=- 2x,将 l0 平移到过点( 2,2)时,截距 z 有最 大值,故 zmax= 2× 2+2=4.

答案

B 求目标函数的最大值或最小值,必须先求出准确的可行域,令

目标函数等于 0, 将其对应的直线平行移动, 最先通过或最后通过的顶点 便是最优解.

考向三

求非线性目标函数的最值

?x-4y+3≤0, ? 【例 3】?变量 x、y 满足?3x+5y-25≤0, ?x≥1. ? y (1)设 z= ,求 z 的最小值; x (2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围. [审题视点] 利用目标函数所表示的几何意义求解.



?x-4y+3≤0, ? 由约束条件?3x+5y-25≤0, ?x≥1. ?

作出(x,y)的可行域如图所示.
? ?x=1, 由? ? ?3x+5y-25=0, ? ?x=1, 由? ? ?x-4y+3=0,

解得

? 22? ? A?1, ? . 5? ? ?

解得 C(1,1).

? ?x-4y+3=0, 由? ? ?3x+5y-25=0,

解得 B(5,2).

y y -0 (1)∵z= = .∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率.观察 x x-0 2 图形可知 zmin=kOB= . 5 (2)z=x2+y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方. 结合图 形可知,可行域上的点到原点的距离中, dmin=|OC|= 2,dmax=|OB|= 29.∴2≤z≤29. 求目标函数的最值,必须先准确地作出线性约束条件表示的可 行域,再根据目标函数的几何意义确定取得最优解的点,进而求出目标 函数的最值.

第7讲 基本不等式

【复习要求】 1.掌握两个正数的基本不等式. 2.能应用基本不等式解决实际问题.

基础梳理 a+b 1.基本不等式: ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:

a>0,b>0

.

(2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥

2ab

(a,b∈R);

b a (2) + ≥2(a,b 同号); a b
?a+b? ?2 (3)ab≤? ? 2 ? (a,b∈R); ? ? ? a2+b2 ? ?a+b?2 (4) ≥? ? (a,b∈R). 2 ? 2 ?

3.算术平均数与几何平均数 a+b 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 ,几何平均数为 ab,基 2 本不等式可叙述为

两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数
4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则



(1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值是 2 p.(简 记:积定和最小) (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当 记:和定积最大)

x=y

p2 时,xy 有最大值是 .(简 4

一个技巧 运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如 a2
2 2 ?a+b? a + b a+b ? 2 +b ≥2ab 逆用就是 ab≤ ; ≥ ab(a, b>0)逆用就是 ab≤? ? 2 ? 2 2 ? ? 2

(a,b>0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等. 两个变形

? a2+b2 ? ?a+b?2 (1) ≥? ? ≥ab(a,b∈ R,当且仅当 a=b 时取等号); 2 2 ? ?

(2)

a2+b2 a+b 2 ≥ ≥ ab≥ (a>0, b>0, 当且仅当 a=b 时取等号). 2 2 1 1 + a b

这两个不等式链用处很大,注意掌握它们.

三个注意 (1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提“一正、二 定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其 满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. (3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母 取值存在且一致.

双基自测 1 1.(人教 A 版教材习题改编)函数 y=x+ (x>0)的值域为( x A.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.[2,+∞) 1 解析 ∵x>0,∴y=x+ ≥2, x 当且仅当 x=1 时取等号. 答案 C B.(0,+∞) D.(2,+∞) ).

a+b 1 2 2.下列不等式:①a +1>2a;② ≤2;③x + 2 ≥1,其中正确的 x +1 ab
2

个数是( A.0

). C.2 D.3
2

B.1

1 1 2 解析 ①②不正确,③正确,x + 2 =(x +1)+ 2 -1≥2-1=1. x +1 x +1 答案 B

3.若 a>0,b>0,且 a+2b-2=0,则 ab 的最大值为( 1 A. B.1 2 解析 C.2 D.4

).

∵a>0,b>0,a+2b=2,

1 ∴a+2b=2≥2 2ab,即 ab≤ . 2 答案 A

1 4.(2011· 重庆)若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a= x-2 ( A.1+ 2 B.1+ 3 C.3 D.4 1 ?x-2?× x-2 ).

1 解析 当 x>2 时,x-2>0,f(x)=(x-2)+ +2≥2 x-2

1 +2=4,当且仅当 x-2= (x>2),即 x=3 时取等号,即当 f(x)取得 x-2 最小值时,x=3,即 a=3. 答案 C

t2-4t+1 5.已知 t>0,则函数 y= 的最小值为________. t 解析 t2-4t+1 1 ∵t>0,∴y= =t+ -4≥2-4=-2,当且仅当 t=1 时 t t

取等号. 答案 -2

考向一

利用基本不等式求最值

1 1 【例 1】 ?(1)已知 x>0, y>0, 且 2x+y=1, 则 + 的最小值为________; x y 2x (2)当 x>0 时,则 f(x)= 2 的最大值为________. x +1

解析

(1)∵x>0,y>0,且 2x+y=1,

1 1 2x+y 2x+y ∴ + = + x y x y y 2x =3+ + ≥3+2 2. x y y 2x 当且仅当 = 时,取等号. x y (2)∵x>0, ∴f(x)= 2x 2 2 = ≤ =1, 1 2 x2+1 x+ x

1 当且仅当 x= ,即 x=1 时取等号. x 答案 (1)3+2 2 (2)1

利用基本不等式求函数最值时,注意“一正、二定、三相等, 和定积最大,积定和最小”.常用的方法为:拆、凑、代换、平方.

考向二 利用基本不等式证明不等式 bc ca ab 【例 2】?已知 a>0,b>0,c>0,求证: + + ≥a+b+c. a b c [审题视点] 先局部运用基本不等式,再利用不等式的性质相加得到. 证明 ∵a>0,b>0,c>0, bc ca ∴ + ≥2 a b bc ab + ≥2 a c ca ab + ≥2 b c bc ca · =2c; a b bc ab · =2b; a c ca ab · =2a. b c

?bc ca ab? ? + + 以上三式相加得:2? ≥2(a+b+c), ?a b c? ? ?

bc ca ab 即 + + ≥a+b+c. a b c

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况, 证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发, 借助不等式的性质和有 关定理,经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.

考向三 利用基本不等式解实际问题 【例 3】?某单位建造一间地面面积为 12 m2 的背面靠墙的矩形小房,由 于地理位置的限制,房子侧面的长度 x 不得超过 5 m.房屋正面的造价为 400 元/m2,房屋侧面的造价为 150 元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为 5 800 元,如果墙高为 3 m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多 少时,总造价最低? [审题视点] 用长度 x 表示出造价,利用基本不等式求最值即可.还应注 意定义域 0<x≤5;函数取最小值时的 x 是否在定义域内,若不在定义域 内,不能用基本不等式求最值,可以考虑单调性.



? 16? 12 ? 由题意可得,造价 y = 3(2x×150 + ×400) + 5 800 = 900 ?x+ ? +5 x? x ? ?

800(0<x≤5), 则
? 16? ? y=900?x+ ? +5 x? ? ?

800≥900×2

16 x× +5 800=13 000(元), x

16 当且仅当 x= ,即 x=4 时取等号. x 故当侧面的长度为 4 米时,总造价最低.

解实际应用题要注意以下几点: (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数; (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数 的最值; (3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取 值范围)内求解.



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