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集合与一元二次不等式综合问题例析



集合与一元二次不等式综合问题例析
集合, 是现代数学中的一个最基本的概念. 集合概念渗透到数学各个分支中, 对于培养运用集合观念解题的能力,提高数学素养是大有好处的.集合问题多与 不等式等有关,解答此类问题时要注意各类知识的相互转化、融会贯通与综合运 用.下面就与集合与不等式有关问题选解评析几例,供读者参考. 例1 0},求 A ? 已知全集 U ={x | x 2 -3x + 2≥0},A ={x || x-2|>0},B={x |
?
x ?1 x ? 2



U

B,( ? U A) ? B.

解:U ={ x |x≤1 或 x≥2},A ={ x |x<1 或 x>3 } ,B={x |x>2 或 x<1 } ,故 A?
?
U

B =φ,( ? U A) ? B =U.

评析:本题中把二次不等式、绝对值不等式、分式不等式的解集,与集合的 交、 补运算相结合, 并、 既考察了不等式的几种类型的解法, 又考察了集合运算. 这 里准确解出不等式的解集很重要. 例2 已知 A ={x |x-a>0},B ={ x | x 2 -2ax-3a 2 <0},求 A ? B 及 A ? B.

解:A ={x |x>a},B ={ x | (x + a)(x-3a)<0}, 考虑集合 B 中-a 与 3a 的大小关系,对字母 a 进行分类讨论: ⑴当 a>0 时,-a<3a,B ={ x | -a<x<3a}, ∵-a<a<3a,∴A ? B ={ x | a<x<3a},A ? B={ x | x>-a}. ⑵当 a = 0 时,A ={x |x>0},B =φ,此时,A ? B=φ,A ? B={ x | x>0}. ⑶当 a<0 时,-a>3a,B ={ x | 3a<x<-a } , ∵3a<a<-a,∴A ? B ={ x | a<x<-a } ,A ? B ={ x | x>3a}. 评析:分类讨论时,要求既不重复讨论,也不遗漏某些特殊情况,往往是数 形结合、分类讨论交叉进行.本题还应注意到-a 与 3a 的大小比较.常常可见 到方程两根都含字母且不只是一次式时,比较这两根大小之后,再写出不等式的 解集.而作差比较的不同情况,往往就是讨论的不同步骤. 例3 关于 x 的不等式| x-
( a ? 1) 2
2

|≤

( a ? 1) 2

2

及 x 2 -3(a + 1)x + 2(3a + 1)≤0

的解集依次记为 A 和 B,求使 A ? B 时 a 的取值范围. 解:由| x-
( a ? 1) 2
2

|≤

( a ? 1) 2

2

得: -

( a ? 1) 2

2

≤x-

( a ? 1) 2

2



( a ? 1) 2

2



∴2a≤x≤a 2 + 1,即 A={ x |2a≤x≤a 2 + 1}, 由 x 2 -3(a + 1)x + 2(3a + 1)≤0 得:(x-2)[x-(3a + 1)]≤0, ① 当 3a + 1≥2,即 a≥ 时,B ={ x |2≤x≤3a+ 1},欲使 A ? B,需有
3 1

?2 ? 2a , ? 2 ?3a ? 1 ? a ? 1 .

?

1≤a≤3 ,
1

② ② 当 3a + 1<2,即 a< 时,B ={ x |3a + 1≤x≤2},欲使 A ? B,需有
3

?3a ? 1 ? 2 a , ? ? 2 ?2 ? a ? 1 .

a =-1 .

∴使 A ? B 时 a 的取值范围为 1≤a≤3 或 a =-1 . 评析:对于含有参数的不等式应考虑到:⑴参数 a 对不等式方向的影响;⑵ 参数 a 对根的大小的影响. 例 4 已知集合 A ={x |x 2 -2x + a≤0} ,B ={x | x 2 -3x + 2≤0},且 A ? B,求 ? 实数 a 的取值范围. 解:B ={x |1≤x≤2},A ={x |x 2 -2x + a≤0},由于 A ? B,所以: ? ① 当 A =φ时满足 A ? B,即 x 2 -2x + a≤0 无解,所以△= (-2) 2 -4a<0 ?
?

a>1 . ② 当 A≠φ时,由于不等式 x 2 -2x + a≤0 对应 二次函数 y = x 2 -2x + a 的对称轴是 x = 1 .要保证 A ? [1,2] ,当且仅当 A ?

={1},即△= 0,解得 a = 1 . 由①、②知当 a≥1 时,A ? B . ? 评析:将集合语言转化为图形语言,便使 a 的取值范围显而易见.所以,数 形结合是求含参数集合问题常用的思想方法.



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