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考点12 指数函数与对数函数



考点12
考纲要求

指数函数与对数函数

1.了解指数函数、对数函数的概念、图象与性质。

2.会用它们解决有关问题。

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4

m?n

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知识要点

指数函数与对数函数
对称

指数函数

对数函数

1. 指数函数:

R R+ (0,1) 减 增

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知识要点

指数函数与对数函数
对称

指数函数

对数函数

2.对数函数:

R+ R (1,0) 减 增

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指数函数与对数函数
对称

指数函数

对数函数

3.对称:

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指数函数与对数函数
方法总结

【例5】 典例剖析 【例1】 【例2】 【例3】 【例4】

本题主要考查学生对待 定系数法的理解和应用 能力.

【解】 (1)设f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1),由题意得
x

1 1 ?1? f (2) ? a 2 ? (a ? 0, a ? 1), 解得a ? ,? f ( x) ? ? ? . 9 3 ?3? (2)设f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 图像过点(8,3), ? 3 ? log a 8(a ? 0, a ? 1),? a ? 2,? f ( x) ? log 2 x, 1 则f ( 2) ? log 2 2 ? . 2
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x

解答此类问题一般采 用待定系数法,即按 “设函数的解析式, 列方程求未知数,得 出函数的解析式”的 思路进行.同时,要求 学生能熟练地进行指 数、对数运算.

例题分析

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指数函数与对数函数
方法总结

【例5】 典例剖析 【例1】 【例2】 【例3】 【例4】

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【例5】 典例剖析 【例1】 【例2】 【例3】 【例4】

指数函数与对数函数
方法总结

本题涉及指数函数图象、指 数函数的单调性等,重点是 【例2】已知函数f ( x) ? a x (a ? 1)在区间[1, 2]上 学生能否应用单调性解决相 a 函数最大值比最小值大 ,结合函数的图像和 关问题,包括应用意识和应 用能力. 2 指数函数与对数函数单调性的 单调性求a的值。 学习和应用,一是要注意两者 的定义域,即单调区间不一样, 应用中切勿弄错;二是在底数 a>1时和0<a<1时的应用类型 不一样,不能一概而论.尤其 是如果底数范围未知的,则要 据a>1和0<a<1两种情况讨论 分析;三是注意对底数a的检 验,一定要符合题意. 例题分析 显示答案 关键点拨 变式练习

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【例5】 典例剖析 【例1】 【例2】 【例3】 【例4】

指数函数与对数函数
方法总结

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【例5】 典例剖析 【例1】 【例2】 【例3】 【例4】

指数函数与对数函数
方法总结

本题主要考查对指数 函数与对数函数的单 调性.利用两种函数 解决此类问题的主要依 的增减性,不通过计 据是指数函数与对数函 算来比较两数的大小 . 数的增减性 .首先要根据 底数的范围决定函数的 对于不同底数的大小 单调性,然后依据 x11 和 判断,则还要引0和 x2的大小关系,推出f(x1) 这两个特殊值加以区 和 f(x2)的大小.另外,对 分. 于部分底数不相同的类 型,一般要利用: a0=1(a≠0),logaa=1(a>0 且a≠1)和loga1=0(a>0 且a≠1)等指数、对数性 质,再结合其单调性综 合加以判断.

x 2.2 3 2.1 ?0.5 ? ? 1, 0 ?函数 0y ? ? x ?0.5 ?0.5 ? 0.5 ? ? ? .3.14 【解】 (1) 底数 在 R 上是增函数, ? ? x (4) 底数 4.2 ? 4.2 ? 0.3 ? 0.3 ,? 4.2 ?? 0.3 4 . ? 0.25 (2) 0 ?1, 1, ? 函数 ? 0.25 在 R 上是减函数, ? 0.25 (3) 底数 0? ?0.25 0.9 ? ? 函数 yy? 0.9 在 R上是减函数, 0.9 ? 0.90 ? 1. . 底数 1,? 函数 y ? log x在x (0,+ ?)? 上是增函数, log ? log 3log 3 0.7 3 1.1. log03??0.8 0.1 log 1? ?log 1 ? log 0.1, ? log ? 0.1 ? log 0.1. 底数 ?? 1,? 函数y 在 (0,+ ) 上是减函数, ? log 5 ? log 6.

函数0.06 y ? ln x在(0,+ ?)上是增函数, ? ln60.5 ? ln1 ? 0. 0.06 0.06 0.86

0.8

6

0.8

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关键点拨

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指数函数与对数函数
方法总结

【例5】 典例剖析 【例1】 【例2】 【例3】 【例4】

答案为:

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【例5】 典例剖析 【例1】 【例2】 【例3】 【例4】

指数函数与对数函数
方法总结 定义域是一切函数最重要 的研究内容之一,应始终 贯彻在各种函数教学中, 本题要求学生结合指数函 数与对数函数的单调性, 综合讨论分析函数的定义 域.

【例4】求下列函数的定义域: (1) f ( x) ? 2 x ? 1; (2) f ( x) ? log 3 x ? 1; (3) f ( x) ? log 0.5 (4 ? x).
(1)由题意得2 x ? 1 ? 0,? 2 x ? 1 ? 20 , 根据指数函数的 单调性得x ? 0, 定义域为[0, ??). ?x ? 0 ?x ? 0 (2)由题意得 ? ,即 ? , ?log 3 x ? 1 ? 0 ?log 3 x ? 1 ? log 3 3 根据对数函数的单调性得x ? 3, 定义域为[3, ??). ?4 ? x ? 0 ?x ? 0 (3)由题意得 ? ,即 ? , ?log 0.5 (4 ? x) ? 0 ?log 0.5 (4 ? x) ? log 0.5 1 根据对数函数的单调性得3 ? x ? 4, 定义域为[3, 4).
例题分析 显示答案 关键点拨 变式练习

解决此类问题时应注意以下 几点:一是要按照使函数的 解析式有意义的要求,列出 不等式(组);二是解指数 不等式或对数不等式时,要 根据底数的范围,确定增减 性,再决定不等号是否需要 变向;三是如(2)、(3) 题中的真数判断,真数是括 号代数式,不要任意书写, 以免错误.

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【例5】 典例剖析 【例1】 【例2】 【例3】 【例4】

指数函数与对数函数
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【例5】 典例剖析 【例1】 【例2】 【例3】 【例4】

指数函数与对数函数
方法总结

【例5】某工厂2010年产值为57万元,若年平均增长率为

本题主要考查指数函数 的实际应用,要求建立 指数型函数模型来加以 解决.

12%,问2017年该工厂的产值将是多少?(设1.127 ? 2.211)
【解】设该工厂经x年后产值为y万元,由题意得 y ? 57 ? (1 ? 12%) x ? 57 ?1.12 x , 2017年时即x ? 7,? y ? 57 ? 1.127 ? 57 ? 2.211 ? 126万元, ? 2017年时该工厂的产值将达到126万元。
以指数型函数或对数型 函数为载体来解决生活 中的实际问题,是函数 实际应用的体现.

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方法总结

【例5】 典例剖析 【例1】 【例2】 【例3】 【例4】

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典例剖析 【例1】 【例2】 【例3】 【例4】 【例5】

指数函数与对数函数
方法总结

1.指数函数与对数函数的学习过程中要坚持数形结合的思想. 2.指数函数与对数函数的单调性与底数a的取值范围直接相关,要 引导学生掌握分类讨论的数学思想方法. 3.利用指数、对数函数模型解“指数方程、对数方程;指数不等式、 对数不等式”等问题,都是函数思想的直接体现.

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

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【提示】由题意得25 ? a2 (a ? 0且a ? 1),解得a ? 5。

答案为:C

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答案为:C

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【提示】由题意得a2 -4 ? 1,解得a ? 5或a ? ? 5。

答案为:C
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x轴

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(??, 2]

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