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山东省临沂市某中学2016届高三上学期第一次(9月)月考数学(文)试题



高三年级文科数学 阶段质量检测题
2015/09/29 说明:本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
说明:本套试题选择题由王海刚老师命制,填空题由上官德运老师命制,解答题 16-19 题由刘容华老师命制,20,21 题由王晓明老师命制. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小

题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

1 .已知集合 A= x|x 2 ? 2 x ? a… 0 , 且1 ? A, 则实数 a 的取值范围是(
A. ? ??,1? B. ?1, ?? ? C. ? ??,1?

?

?

).

D. ?0, ???

2 ? ?x ?1 ? 0 2 .不等式组 ? 2 的解集是( ). ? ? x ? 3x ? 0 A. {x | ?1 ? x ? 1} B. {x | ?1 ? x ? 0} D. {x | 0 ? x ? 3}

C. {x | 0 ? x ? 1}

3 .如果 0 ? a ? 1 ,那么下列不等式中正确的是( A.

).

(1 ? a) ? (1 ? a)

1 3

1 2

B.

log1?a (1 ? a) ? 0

C.

(1 ? a)3 ? (1 ? a)2

D. (1 ? a)1?a ? 1
4 .不等式 f ( x) ? ax2 ? x ? c ? 0 的解集为 {x | ?2 ? x ? 1} ,则函数 y ? f (? x) 的图象为(

).

5 .等差数列 {an } 中, a1 ? a3 ? a5 ? ? ,则 cosa3 ? (
A.

).

3 2

B.

1 2

C. ?

1 2

D.

2 2

? ? ? ? ? ? 6 .平面向量 a 与 b 的夹角为 60 0 , a ? (2,0) , | b |? 1 ,则 | a ? 2b |? (
A.

).

3

B.

2 3

C.

4

D.

12

7 .设函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

) ,则下列结论正确的是(

).

A. f ( x ) 的图象关于直线 x ? ? B. f ( x ) 的图象关于点 (

?
3

对称;

?
4

, 0) 对称;

C. f ( x ) 的最小正周期为 ? , 且在[0, D.把 f ( x ) 的图象向左平移

?
6

] 上为增函数;

? 个单位,得到一个偶函数的图象. 12

8 .等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? a7 ? a11 ? 12 ,则 S13 等于( ). A. 52 B. 54 C. 56 D. 58

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 9 .在 ?ABC 中 AB ? AC ,向量 AP 满足 2 AP ? ( AB ? AC) ,下列说法正确的是( ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ① PB ? PC ? 0 ; ② PA ? ( AC ? AB) ? 0 ; ③直线 AP 平分 ? A
A. ①② B.①③ C.②③ D.①②③

).

10 .已知函数 f ( x) ?

ln x ,则下列大小关系正确的是( ). x A. f ( e)? f ( 3 B. f (e) ? f (2) ? f (3) ?) f ( 2 )
D. f ( 3 ) ? f (2 ?) f e( )

C. f (2) ? f (3) ? f (e)

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,答案须填在题中横线上.

11 .设曲线 y ?

1 在点?1,1? 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0垂直, 则a ? x ? ? ? ? 12 .已知平面向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ? ?1,3? ,则 a 与 b 夹角的大小为
13 .在锐角 △ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c ,若 sin A ?

. .

2 2 ,a ? 2, 3

S△ABC ? 2 ,则 b ? c 的值为



14 .已知 A ? { x | x2 ? x ? 0}, B ? { x | 21? x ? a? 0} ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围
是 .

? ??? ? ??? ? ??? ? ? ???? ??? 15 .已知 ?ABC 内接于以 O 为圆心,1 为半径的圆,且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0, 则 OC ? AB
的值 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16 . (本小题满分 12 分)

在平面四边形 ABCD 中,向量 a? AB??4,1? , b? BC ??3,?1? , c? CD???1,?2? .

? ? ???

? ? ???

? ? ???

(1) 若向量 a ? 2b 与向量 b ? kc 垂直,求实数 k 的值; (2) 若 DB?mDA?nDC ,求实数 m , n .

? ??? ?

?

? ? ??? ? ????

?

?

?

?

17 . (本小题满分 12 分)
在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c , 已 知 向 量

?? ? ?? ? m // n . ) , m?( c o A s , cB o sn ?),a ? ( c且 ,b 2

(I)求角 A 的大小; (II)若 b ? 2, ?ABC 的面积 S?ABC ? 2 3, 求 a 的值.

18 . (本小题满分 12 分) 已知 {an } 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12 .
(1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的值.

19 . (本题满分 12 分)
(1) 求 an 及 Sn ;

已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? a6 ? 14, S 5 ? 25 .

(2) 数列 ?bn ? 中,令 b1 ? 1 , bn ?

4 2 , n ?N*),证明:数列 ?bn ? 的前 n 项和 ( n… a ?1
2 n

Tn ? 2 .

20.(本小题满分 13 分)已知 f ?x ? ? ax ? ln x, a ? R.

(I)当 a ? 2 时,求曲线 f ?x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线方程; (II) f ?x ? 在 x ? 1 处有极值,求 f ?x ? 的单调递增区间; (III)是否存在实数 a ,使 f ?x ? 在区间 ?0, e? 的最小值是 3?若存在,求出 a 的值;若不存 在,说明理由.

21.[原创题]已知函数 f ( x) ? e2 x ? a ln x, x ? (0,1) . (1)讨论函数 f ( x ) 的导函数 f ?( x ) 的零点个数; (2)当 a ? 1 时,证明: f ( x) ? 3 .

2

高三年级文科数学 阶段质量检测题
2015/09/29

参考答案
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1 2 3 4 5 6 7 题号 答案 11. ?1 8 9 10

C
12.

B

A

C

B

B

D

A

D

C
15. ?

二、填空题:本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

? 4

13. 2 3

14. a? ? 2

1 5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16 . (本小题满分 12 分) 在平面四边形 ABCD 中,向量 a? AB??4,1? , b? BC ??3,?1? , c? CD???1,?2? .

? ? ???

? ? ???

? ? ???

(1) 若向量 a ? 2b 与向量 b ? kc 垂直,求实数 k 的值; (2) 若 DB?mDA?nDC ,求实数 m , n .
16. 【解析】(1)∵ a ? 2b ? (10, ?1) , b ? kc ? (3 ? k , ?1 ? 2k ) ,由向量 a ? 2b 与向量

? ??? ?

?

? ? ??? ? ????
? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

. ?b ? kc ? 垂直可知:10 ? (3 ? k ) ? (?1)(?1 ? 2k ) ? 0 ,可得 3k ? 31 ? 0 ? k ? ? 31 3 (2) DB?? BD ? ?( BC ? CD) ? (?2,3) , DA ? ? AD ? ?( AB ? BC ? CD) ? (?6, 2) ,

?

?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

???? ??? ? DC ??CD??1,2? .

1 ? ??? ? ??? ? ???? ??6m ? n ? ?2 ?m ? ?? 由 DB?mDA?nDC ,可得 ? 2. ? 2m ? 2n ? 3 ? ?n ? 1
17 . (本小题满分 12 分)
在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c , 已 知 向 量

?? ? ?? ? m // n . ) , m?( c o A s , cB o sn ?),a ? ( c且 ,b 2

(I)求角 A 的大小; (II)若 b ? 2, ?ABC 的面积 S?ABC ? 2 3, 求 a 的值. 17. 【解析】

18 . (本小题满分 12 分) 已知 {an } 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12 .
(1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的值.
18. 【解析】(1) 由题意, ? (2) ∵ S n ?

? a1 ? 2 ?2a1 ? 2d ? 8 ,? ? ,∴ an ? 2n . ?d ? 2 ?2a1 ? 4d ? 12

n(a1 ? an ) n(2 ? 2n) ? ? n(n ? 1) ,由题意: a1 ? Sk ?2 ? ak 2 , 2 2

即 2(k ? 2)(k ? 3) ? (2k )2 ? k 2 ? 5k ? 6 ? 0 ,故 k ? 6 或 k ? ?1 (舍) . 所求正整数 k ? 6 .

19 . (本题满分 12 分)
(1) 求 an 及 Sn ;

已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? a6 ? 14, S 5 ? 25 .

(2) 数列 ?bn ? 中,令 b1 ? 1 , bn ?

4 2 , n ?N*),证明:数列 ?bn ? 的前 n 项和 ( n… a ?1
2 n

Tn ? 2 .
19. 【解析】(1)由题意: ?

? 2a1 ? 6d ? 14 ? a1 ? 1 ,? ? ,∴ an ? 2n ? 1, Sn ? n2 . 5 a ? 10 d ? 25 d ? 2 ? ? 1

(2) ∵ bn ?

4 4 1 1 1 2 , n ? N* ) , ? 2 ? ? ? ( n… a ? 1 4n ? 4n (n ? 1)n n ? 1 n
2 n

1 1 1 1 1 1 1 1 ? )] ? 1 ? 1 ? ? 2 ? ? 2 . 1 2 2 3 n ?1 n n n 20.(本小题满分 13 分)已知 f ?x ? ? ax ? ln x, a ? R. (I)当 a ? 2 时,求曲线 f ?x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线方程; (II) f ?x ? 在 x ? 1 处有极值,求 f ?x ? 的单调递增区间; (III)是否存在实数 a ,使 f ?x ? 在区间 ?0, e? 的最小值是 3?若存在,求出 a 的值;若不存
∴ Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( 在,说明理由.

21. 【原创题】已知函数 f ( x) ? e2 x ? a ln x, x ? (0,1) . (1)讨论函数 f ( x ) 的导函数 f ?( x ) 的零点个数; (2)当 a ? 1 时,证明: f ( x) ? 3 .

2

2x 解析:(1) ∵ x ? (0,1) ,且 f ?( x) ? 2e ?

a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 分 x ① 当 a ? 0 时, f ?( x ) ? 0 在 (0,1) 上恒成立, ∴ f ?( x ) 在 (0,1) 上无零点; . . . . . . . . . . 2
2 ② 当 a … 2e 时,∵ f ??( x) ? 4e
2x



?

a ? 0 在 (0,1) 上恒成立,∴ f ?( x ) 在 (0,1) 上单 x2
, ∴

调递增, ∴ 点;

f ?( x) ? f ?(1) ? 2e2 ? a? 0
. . . . . .4 分
2x

f ?( x )



(0,1)







a ? 0 在 (0,1) 上恒成立,∴ f ?( x ) 在 (0,1) 上 x2 单调递增.又∵当 x 趋向于 0 时, f ?( x ) 趋向于 ?? ;且 f ?(1) ? 2e2 ? a ? 0 . 故由零点存在性定理可知: f ?( x ) 在 (0,1) 上存在唯一一个零点 . . . . . . .6
2 ③ 当 0 ? a ? 2e 时,∵ f ??( x) ? 4e

?


2 综上:当 a ? 0 或 a … 2e 时, f ?( x ) 在 (0,1) 上无零点;

当 0 ? a ? 2e 时, f ?( x ) 在 (0,1) 上存在唯一一个零点.
2

. . . . . .7



1 ,则由(1) 中③可知 f ?( x ) 在 (0,1) 上存在唯一一个零点, x 1 1 2x 2x (?) ? 0, 设为 x0 , 则满足:f ?( x0 ) ? 2e 0 ? 也即 e 0 ? . . . . . . 9 x0 2 x0
(2) 当 a ? 1 时, f ?( x) ? 2e
2x

?

分 且知:当 x ? (0, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减; 当 x ? ( x0 ,1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增.

∴ 当 x

? x0 时 , 函 数 f ( x) 取 得 极 小 值 , 同 时 也 是 最 小 值

. .10 分 f ( x)min ? f ( x0 ) ? e2 x0 ? ln x0 . (?) 由 式 , 可 知 1 . . . . . . .11 分 f ( x)min ? ? ln x0 2 x0 1 1 又因 f ?( ) ? 2e ? 2 ? 0 , f ?(1) ? 2e2 ? 1 ? 0 , f ?(0) 趋向于 ?? ,可知 x0 ? (0, ) . . .12 2 2 分

1 1 ? ln x , x ? (0, ) . 2x 2 1 则 h?( x) ? ? 1 2 ? 1 ? ? 1 ( 1 ? 1)2 ? 1 ? ?4 ? 0 , x ? (0, ) 2 x 2 2 2x x 1 故函数 h( x) 在区间 (0, ) 上单调递减, 2
令函数 h( x) ? 分 ∴ h( x) ? h( 1 ) ? 1 ? ln 1 ? 1 ? ln 2 ? 1 ? 1 ? 3 .

. . . . . .13

2

2

2

2

. . . . . .14

分 故函数 f ( x) ? 3 成立.

2

【评注】若证明: 3 ? f ( x) ? 4 呢?则应该继续精确零点 x0 的范围为 ( , ) 才可以达到.

2

1 1 4 2



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