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平面向量的实际背景及基本概念教学设计



平面向量的实际背景及基本概念教学设计 本节课的内容是数学必修 4,第二章《平面向量》的引言和第一节平面向量的实际背景及基本概念两部分,所 需课时为 1 课时。 一 教材分析 向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁,对更新和完善中 学数学知识结构起着重要的作用。向量集数与形于一身,有着极其丰富的实际背景,在现实生活中随处可见的位 移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景,有向线段是它的几何背景。向量就是从这些实际对象中 抽象概括出来的数学概念,经过研究,建立起完整的知识体系之后,向量又作为数学模型,广泛地应用于解决数 学、物理学科及实际生活中的问题,因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的。 本课是“平面向量”的起始课,具有“统领全局”的作用。本节概念课,重要的不是向量的形式化定义及几 个相关概念,而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路,进而提高提出问题,解决问题的能 二 学情分析 在学生的已有经验中,与本课内容相关的有:数的抽象过程、实数的绝对值(线段的长度) 、数的相等、单 位长度、0 和 1 的特殊性、线段的平行与共线等。 三 目标定位 根据以上的分析,本节课的教学目标定位: 1) 、知识目标 ⑴ 通过对位移、速度、力等实例的分析,形成平面向量的概念; ⑵ 学会平面向量的表示方法,理解向量集形与数于一身的基本特征; ⑶ 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。 2) 、能力目标 培养用联系的观点 ,类比的方法研究向量;获得研究数学新问题的基本思路,学会概念思维; 3) 、情感目标 使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成” ;让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中, 享受寓教于乐。 重点:向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念; 难点:让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程; 四、 教学过程概述: 4.1 向量概念的形成 4.1.1 让学生感受引入概念的必要性 引子:章节 引言 意图:向量概念不是凭空产生的。用这一简单直观的问题让学生感受“既有大小又有方向的量”的客观存在,自 然引出学习内容,学生会有亲切感,有助于激发学习兴趣。 问题 1 你能否再举出一些既有大小又有方向的量? 意图:激活学生的已有相关经验。 进一步直观演示,加深印象。 追问:生活中有没有只有大小没有方向的量?请举例。 意图: 形成区别不同量的必要性。 概念抽象需要典型丰富的实例, 让学生举例可以观察到他们对概念属性的领悟, 形成对概念的初步认识,为进一步抽象概括做准备。 类比数的概念获得向量概念的定义(板书) 。 4.1.2 向量的表示方法 问题 2 数学中,定义概念后,通常要用符号表示它。怎样把你举例中的向量表示出来呢 意图:让学生先练习力的表示,让错误呈现,激发认知冲突,最后自觉接受用带有箭头的线段(有向线段)来表 示向量。 (教师引导学生进一步完善) 几何表示法: 记作 A B |A B|为 AB 的长度(又称模)。 字母表示法:a、b、c??或 a、b、c ?? 4.1.3 单位向量、零向量的概念: 问题 3 用有向线段表示向量,学生演板,提出问题,大家画得线段长度长短不一怎么回事?如何解决这问题?由 单位长度引入单位向量

意图:这样过渡学生不会感觉新的概念是从天而降,而是进一步学习的需要 归纳小结:单位向量——长度等于 1 个单位长度并与 a 同向的向量叫做 a 方向上的单位向量. 让演板学生回到座位之后利用这个情境提出问题,他位移的大小是什么? 归纳小结:零向量——长度(模)为 0 的向量,记作 0,它的方向是任意的。 提问:你们认为零向量和单位向量特殊吗?它们的特殊性体现在哪?类比实数集合中的 0 和 1. 4.2 相等向量、平行(共线)向量概念的形成 设计活动:传花游戏 ,游戏中将呈现通过学生之间传递花朵所产生的位移向量,让他们从大小和方向两个方 面展开思考,教师适时介入,强化本质特征、规范概念表达,与学生一起完成概念的定义。 意图:通过游戏调动学生的兴趣和积极性,让学生通过亲身经历去体会相等向量与平行向量的本质特征。 归纳: 1、从“方向”角度看,有方向相同或相反的非零向量就是平行向量。 记作:a ∥b ∥ c 任一组平行向量都可移到同一条直线上 ,所以平行向量也叫共线向量。 2、从“长度”角度看,有模相等的向量,︱a︱ =︱ b︱ 3、既关注方向有又关注长度有相等向量:记作:a = b a b c 规定: 0 与任一向量都平行或(共线) 。 教师通过动画演示深化上述两个概念 问题 4 由相等向量的概念知道,向量完全有它的方向和大小确定。由此,你能说说数学中的向量与物理中的矢量 的异同吗?另外,向量的平行、共线与线段的平行、共线有什么区别与联系? 意图:让学生注意把向量概念与物理背景、几何背景明确区分,真正抓住向量的本质特征,完成“数学化”的过 程。 4.3 课堂练习: 概念辨析 两个长度相等的向量一定相等. 相等向量的起点必定相同. 平行向量就是共线向量. 若 AB 与 CD 共线,则 A、B、C、D 四点必在同一条直线上. 向量 a 与 b 平行,则向量 a 与 b 的方向相同或相反. 教材例题 3、教材第 79 页,B 组第一题(选择此题,可以进一步理解位移概念,又能为后一步的学习做好铺垫) 4.4 课堂小结 (引导学生小结) 问题 5 欣赏一首关于向量的诗,布置任务能否用拟人的方式把你对向量的认识做个概述呢? 结束语:略 板书设计 5.5 明确零向量的意义和作用,不过分纠缠于细节。 首先,规定零向量与任何向量平行是完善概念系统的需要。其次,就像数零的作用在于运算一样,零向量的作用 在于运算及其表达的几何意义。因此孤立地讨论零向量与任何向量平行没有多少意义,也不必耗费过多时间。 总之,作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后,给中学数学带来了无限生机。这节“概念课” ,概 念的理解无疑是重点,也是难点。概念的教学应在概念的发生发展过程中揭示它的本来面目。要让学生参与概念 本质特征的概括活动过程,这也是培养学生创新精神和实践能力的必由之路! C O B A

三、教学诊断分析 本节是平面向量的第一堂课,属于“概念课” ,概念的理解无疑是重点,也是难点。为了帮助学生建立向量 的概念,与数、形的相关概念类比与联系是值得重视的。在学生的已有经验中,与本课内容相关的有:数的抽象 过程、实数的绝对值(线段的长度) 、数的相等、单位长度、0 和 1 的特殊性、线段的平行与共线等。具体教学中, 要设计一个能让学生开展概括活动的过程,引导他们经历从具体事例中领悟向量概念的本质特征,类比数的概念 获得向量概念的定义及表示,类比数的集合认识向量的集合,类比直线的基本关系认识向量的基本关系。使学生 从中体会到认识一个数学概念的基本思路,而不是停留在某个具体的概念学习上。这也是本堂课的核心目标。 由于数学概念的高度抽象性,学生往往要费很多周折才能理解,教师应从学生的认知水平出发,针对学生的理解 困难来展开教学,保证学生参与概念本质特征的概括活动,确保学生有自己想明白的机会和时间,这是至关重要 的。 本课的教学,我们力求使学生理了解向量概念的背景和形成过程,了解为什么要引入这个概念,怎样定义这 个概念,怎样入手研究一个新的问题。因此,在教学中教师应注意从宏观上为学生勾勒研究框架和总体思路,使 学生能“抬头看路” ,知道往哪里走,这是起始课的重要任务;微观上,引导学生通过类比,有序地给出向量的 定义、讨论向量的表示、定义特殊向量、研究特殊向量的关系。在引导学生展开对向量及其相关概念的学习过程 中,应强调“让学生参与到定义概念的活动中来” ,不轻易打断学生的思维和活动,恰如其分地“以问题引导学 习” ,在质疑——反思的过程中深化概念的理解,使概念的理解成为学生自己主动思维的结果。 本课中出现的特殊向量——零向量,很多教师都会在“零向量与任意向量平行上”花太多时间,原因是“这 是考试中的一个陷阱” 。这其实是对零向量的意义和作用理解不到位的表现:首先,规定零向量与任何向量平行 是完善概念系统的需要;其次,就像数零的作用在于运算一样,零向量的作用在于运算及其表达的几何意义。因 此孤立地讨论零向量与任何向量平行没有多少意义,也不必耗费过多时间。 四、本课教学特点及预期效果分析 在学生建立向量的概念之初,与数、形的相关概念类比与联系是值得重视的。在学生的已有经验中,与本课 内容相关的有:数的抽象过程、实数的绝对值(线段的长度) 、数的相等、单位长度、0 和 1 的特殊性、线段的平 行与共线等。因此在具体教学中,我设计了一个能让学生开展概括活动的过程,引导他们经历从具体事例中领悟 向量概念的本质特征,类比数的概念获得向量概念的定义及表示,类比数的集合认识向量的集合,类比直线的基 本关系认识向量的基本关系。使学生从中体会到认识一个数学概念的基本思路,而不是停留在某个具体的概念学 习上。 在向量的几何表示中,我让学生大胆探索,而不是“全包全揽” ,教师引导,学生补充改进,最终明确向量 几何表示的正确方法。整个过程全体同学热情参与,自我教育,互帮互学,课堂气氛生动活泼。 当同学们能将向量正确的几何表示时,我又适时地提出问题:大家画出的线段长短不一,怎么解决?由此自然过 渡到单位长度上,使得单位向量的引入也就顺理成章了。 为了帮助学生学习相等向量、平行(共线)向量的概念,本课设计了“传花游戏” ,通过学生之间传递花朵 所产生的位移向量,让学生积极参与,仔细观察,自己概括出概念的本质特征,将课堂气氛推向一个新的高潮。 在结束本课之前,为了让同学对向量加深印象,我让学生先欣赏一首关于向量的诗歌,再让学生在课外动笔写出 自己对向量的感受。 本节课是从现实世界的常见实例出发,以学生自主探究的教学方式为主。在课堂上,创建了一个以全班学生 共同参与的向量游戏平台,让学生在轻松愉悦的课堂环境中,共同参与,共同讨论,共同分析,让学生自然地、 水到渠成的完成本节内容的学习。整节课,我留给学生充足的时间,让学生参与概念本质特征的概括活动过程, 从而达到培养学生创新精神和实践能力的最终目的!



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